Geometria Analitica

23 29 31 Produto Escalar Definição 311 Chamase produto escalar ou produto interno de dois vetores u x1 i y1 j z1 k e v x2 i y2 j z2 k e se representa por u v ao número real u v x1x2 y1y2 z1z2 O produto escalar de u por v também é denotado por u v e se lê u escalar v Exemplo 311 Dados os vetores u 3i 5j 8k e v 4i 2j k temse u v 34 52 81 12 10 8 14 Definição 312 Módulo ou norma de um vetor v denotado por v é o número real não negativo v v v Caso v x y teremos v x yx y ou ainda v x2 y2 Apartir de cada vetor v não nulo é possível obter um vetor unitário u fazendo 37 3 Produtos de Vetores 24 30 u v v Vamos agora explorarmos algumas propriedades básicas do produto escalar Para quaisquer vetores u v e w e o número real α é fácil verificar que 1 u v v u 2 u v w u v u w e u v w u w v w 3 αu v αu v u αv 4 u u 0 se u 0 e u u 0 se u 0 0 0 0 5 u u u 2 32 Ângulo entre Vetores Definição 321 O ângulo de dois vetores não nulos u e v é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB e tal que 0 θ π A ideia agora é estabelecermos uma maneira de calcular o ângulo formado entre dois vetores a partir de suas componentes Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da 38 25 31 figura abaixo temos u v 2 u 2 v 2 2u v cos θ 31 Por outro lado temse u v 2 u 2 v 2 2u v 32 Comparando as igualdades 31 e 32 resulta em u 2 v 2 2u v u 2 v 2 2u v cosθ e daí u v u v cos θ 33 para 0o θ 180o Conclusão O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado Exemplo 321 Calcule o ângulo entre os vetores u 1 1 4 e v 1 2 2 cos θ u v u v 1 1 4 1 2 2 1 1 161 4 4 1 2 8 18 9 9 3 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 Como cos θ 2 2 concluimos que θ π 4 radianos Agora vamos questionar o seguinte fato O que ocorre com a relação 33 caso u v 0 Podemos verificar que neste caso cos θ deve ser igual a zero isto é cos θ 0 o que implica θ 90o ou seja θ é ângulo reto 39 26 32 Assim podemos afirmar que dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar deles é nulo isto é se u v 0 e esses vetores serão denotados por u v lêse vetor u ortogonal ao vetor v Exemplo 322 Verifique que u 2 3 2 é ortogonal a v 1 2 4 u v 21 32 24 2 6 8 0 Portanto u v Vamos discutir agora a questão da projeção vetorial Mas o que vem a ser isso Considere os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles Pretendemos decompor um dos vetores digamos v tal que v v 1 v 2 sendo v 1u e v 2 u A figura a seguir ilustra as duas situações possíveis podendo ser θ um ângulo agudo ou obtuso O vetor v 1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e denotado por v 1 proj u v 34 40 27 33 Ora sendo v 1u temos v 1 αu e como v 2 v v1 v αu é ortogonal a u vem v αu u 0 ou v u αu u 0 e α v u u u Portanto sendo v 1 αu por 34 concluise que proj u v v u u u u 35 Exemplo 323 Determine o vetor projeção de u 2 3 4 sobre v 1 1 0 proj v u u v v v v 2 3 4 1 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 2 3 0 1 1 01 1 0 1 21 1 0 Atividades 1 Mostre que u u u 2 2u v u 2 2 Determine o valor de n para que o vetor u n 2 5 4 5 seja unitário 3 Calcule o perímetro do triângulo de vértices A0 1 2 B1 0 1 e C2 1 0 4 Determine os ângulos do triângulo de vértices A2 1 3 B1 0 1 e C1 2 1 5 Determine o vetor projeção do vetor u 1 2 3 na direção de v 2 1 2 41 28 34 33 Produto Vetorial Faremos algumas considerações importantes antes de definirmos produto vetorial O produto vetorial é um vetor ao contrário do produto escalar u v que é um escalar número real Para simplicidade do cálculo do produto vetorial faremos uso de determinantes Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção a a permutação de duas linhas de uma matriz inverte o sinal do determinante associado a essa matriz b se duas linhas de uma matriz forem constituídas de elementos proporcionais seu determinante é igual a zeroduas linhas iguais é um caso particular c se uma das linhas de uma matriz for constituída de zeros o determinante é igual a zero O determinante associado a uma matriz de ordem 3 pode ser dado por det a b c x1 y1 z1 x2 y2 z2 det y1 z1 y2 z2 a det x1 z1 x2 z2 b det x1 y1 x2 y2 c A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teo rema de Laplace aplicado à primeira linha 42 29 35 Definição 331 Chamase produto vetorial de dois vetores u x1 i y1 j z1 k e v x2 i y2 j z2 k tomados nesta ordem e se representa por u v ao vetor u v det y1 z1 y2 z2 i det x1 z1 x2 z2 j det x1 y1 x2 y2 k 36 O produto vetorial de u por v também é denotado por u v e lêse u vetorial v Observemos que a definição de u v dada em 36 pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace item d acima substituindose a b e c pelo vetores unitários i j e k fato que sugere a notação u v det i j k x1 y1 z1 x2 y2 z2 37 Atenção O símbolo à direita de 37 não é um determinante pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares No entanto usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial Exemplo 331 Calcular u v para u 5i 4j 3k e v i k det i j k 5 4 3 1 0 1 det 4 3 0 1 i det 5 3 1 1 j det 5 4 1 0 k 4 0i 5 3j 0 4k 4i 2j 4k Agora conforme fizemos com o produto escalar vamos discutir algumas propriedades do produto vetorial 43 30 36 Levandose em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes concluímos de imediato que 1 v u u v isto é os vetores v u e u v são opostos pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial u v implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2 ou seja troca de sinal de todas as suas componentes 2 u v 0 se e somente se u v pois neste caso todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais Estão aí também incluídos os casos particulares I u u 0 determinantes de ordem 2 com linhas iguais II u 0 0 determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros Características do vetor u v Consideremos os vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 a Direção de u v O vetor u v é simultaneamente ortogonal a u e v b Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determinado utilizandose a regra da mão direita Sendo θ o ângulo entre u e v suponhamos que u 1o vetor sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação então o polegar estendido indicará o sentido de u v A figura acima b mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão quando então o dedo polegar estará apontando para baixo 44 31 37 c Comprimento de u v Se θ é o ângulo entre os vetores u e v nãonulos então u v u v sen θ Proposição 331 O módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u AB e v AC Demonstração De fato a área ABCD u h u v sin θ u v sin θ Usando o fato que u v u v sin θ segue o resultado Atividades 1 Considere os vetores u 2 1 1 v 1 1 0 e w 1 2 2 Calcule v w v u w 2 Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u 3 1 2 e v 4 1 0 45 32 38 34 Produto Misto Definição 341 Chamase produto misto dos vetores u x1 i y1 j z1 k v x2 i y2 j z2 k e w x3 i y3 j z3 k tomados nesta ordem ao número real u v w O produto misto de u v e w também pode ser denotado por u v w Tendo em vista que v w det i j k x2 y2 z2 x3 y3 z3 det y2 z2 y3 z3 i det x2 z2 x3 z3 j det x2 y2 x3 y3 k vem u v w x1det y1 z1 y2 z2 y1det x1 z1 x2 z2 z1det x1 y1 x2 y2 e portanto u v w det x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 38 Exemplo 341 Calcular o produto misto dos vetores u 2i 3j 5k v i 3j 3k e w 4i 3j 2k u v w det 2 3 5 1 3 3 4 3 2 27 46 33 39 Vejamos agora algumas propriedades do produto misto 1 O produto misto u v w muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores Então se em relação ao produto misto u v w ocorrer a uma permutação haverá troca de sinal b duas permutações não altera o valor Resulta desta propriedade que os sinais e podem ser permutados isto é u v w u v w 2 u x v w u v w x v w u v x w u v w u x w u v w x u v w u v x 3 αu v w u αv w u v α w αu v w 4 u v w 0 se e somente se os três vetores forem coplanares Exemplo 342 Verificar se são coplanares os vetores u 2 1 1 v 1 0 1 e w 2 1 4 u v w det 2 1 1 1 0 1 2 1 4 3 0 Portanto os vetores não são coplanares 47 34 40 Exemplo 343 Qual deve ser o valor de m para que os vetores u 2 m 0 v 1 1 2 e w 1 3 1 sejam coplanares Devemos ter u v w 0 isto é det 2 m 0 1 1 2 1 3 1 0 ou 22m12m 0 e portanto m 10 Exemplo 344 Verifique se os pontos A1 2 4 B1 0 2 C0 2 2 e D2 1 3 estão no mesmo plano Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB AC e AD e para tanto devese ter AB AC AD 0 Como AB AC AD 2 2 6 1 0 2 3 1 7 0 Portanto os pontos A B C e D são coplanares Atividades 1 Verifique se os vetores u 3 1 2 v 1 2 1 e w 2 3 4 são coplanares 2 Para que valores de a os pontos Aa 1 2 B2 2 3 C5 1 1 e D3 2 2 são coplanares 48