Geometria Analítica e Vetores

Geometria Analítica Atividade 1 Quinzena Fascículo 1 Fascículo 2 Fazer exercícios 1 e 2 Fascículo 3 Fazer exercícios 3 e 5 Fazer exercício 1 2 Quinzena Fazer exercícios 4 e 5 Fazer exercício 1 3 Quinzena Fazer exercícios 1 e 2 4 Quinzena Fazer exercícios 1 2 e 3 1 Dados os vetores u 3 1 e v 1 2 obtenha o vetor w tal que 3w 2v u 24w 3u Inicialmente isolaremos o vetor w na equação 3w 2v u 24w 3u 3w 2v u 8w 6u 3w 8w 6u 2v u 5w 7u 2v w 75 u 25 v Sendo u 3 1 e v 1 2 substituindo no resultado acima obtemos w 75 3 1 25 1 2 w 215 75 25 45 w 215 25 75 45 w 235 115 2 Dados os pontos A13 B10 e C21 determine o ponto D de modo que DC BA Sabendo que DC BA é o mesmo que C D A B isolando D obtemos C D A B D A B C Multiplicando toda a equação por 1 obtemos D A B C Sendo A 13 B 10 e C 21 substituindo na equação acima temos D 13 10 21 D 11 2 3 0 1 D 4 4 1 Mostre que u v u2 2uv v2 Acredito que há algum erro de digitação aqui pois nem sequer há um vetor v em u u Isso na verdade é 2u 2u Essa igualdade seria satisfeita para o seguinte caso u v2 u2 2uv v2 2 Determine o valor de n para que o vetor u n 25 45 seja unitário O vetor será unitário se u 1 Assim u m2 252 452 m2 425 1625 m2 2025 m2 45 Sendo u 1 segue que m2 45 1 m2 45 1 m2 1 45 m2 55 45 m2 15 m 15 3 Calcule o perímetro do triângulo de vértices A012 B101 e C210 O perímetro será dado por P dAB dAC dBC dAB xB xA2 yB yA2 zB zA2 102 012 122 1 1 9 11 dAC 2 02 1 12 0 22 4 4 4 12 23 dBC 2 12 1 02 0 12 9 1 1 11 Portanto P 11 23 11 211 23 P 23 11 4 Determine os ângulos do triângulo de vértices A213 B101 e C121 Ao lado podemos ter uma visualização do triângulo de vértices ABC Queremos determinar AÊ BÊ e CÊ Sabemos que cosθ uv uv Sendo assim cos AÊ AB AC ABAC cos BÊ BA BC BABC e cos CÊ CA CB CACB Calculando AB B A 101 213 114 AC C A 121 213 312 BA A B 114 BC C B 121 101 222 CA A c 312 CB B C 222 ABAC 1 1 16 9 1 7 18 14 252 67 BABC 1 1 16 4 4 4 18 12 216 66 CACB 9 1 4 4 4 4 14 12 168 242 Aplicando os dados nas equações cos AÊ 114 312 67 3 1 8 67 10 67 5 37 AÊ cos1 5 37 5057 BÊ 114222 66 2 2 8 66 8 66 4 36 BÊ cos1 4 36 5713 CÊ 312222 242 6 2 4 242 4 242 2 42 CÊ cos1 2 42 72 1 Considere os vetores u 2 1 1 v 1 1 0 e w 1 2 2 Calcule v x w v u x w v x w i j k 1 1 0 1 2 2 2i 2k k 2j 2i 2j k 2 2 1 v u x w Para esse caso é necessário calcular v u primeiro para depois calcular o produto vetorial v u 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 0 1 3 2 1 Logo v u x w i j k 3 2 1 1 2 2 4i j 6k 2i 2j 6j 6i 7j 4k 6 7 4 Portanto v x w 2 2 1 e v u x w 6 7 4 2 Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u 3 1 2 e v 4 1 0 A área do paralelogramo é dada por A u x v Sendo assim inicialmente vamos calcular u x v e depois calcular sua norma u x v i j k 3 1 2 4 1 0 8j 3k 4k 2j 2j 8j 7k 2 8 7 Logo A u x v 22 82 72 4 64 49 117 313 ua Portanto a área do paralelogramo é 313 ua 2 O ponto P2 y z pertence à reta determinada por A3 1 4 e B4 3 1 Calcule P A parametrização da reta é dada por x x1 at y y1 bt z z1 ct Sua direção é dada pelo vetor diretor v AB ou seja v AB B A 4 3 1 3 1 4 1 2 5 Assim sabendo que v a b c segue que x x1 t y y1 2t z z1 5t Sendo A x1 y1 z1 3 1 4 temos x 3 t y 1 2t z 4 5t Como P pertence a reta temos que P x y z 2 y z e substituindo nas equações paramétricas teremos 2 3 t t 1 y 1 2t 1 2 1 1 2 1 z 4 5t 4 5 1 4 5 9 Portanto P 2 1 9 3 Determine as equações reduzidas com variável independente x da reta que passa pelo ponto A4 0 3 e tem a direção do vetor v 2i 4j 5k Inicialmente precisamos definir as equações simétricas x 42 y 04 z 35 x 42 y4 z 35 Assim obtémse x 42 y4 4x 4 27 4x 16 27 27 4x 16 y 4x 162 y 2x 8 x4 2 z 35 5x 4 2z 3 5x 20 2z 6 2z 6 5x 20 2z 5x 20 6 2z 5x 26 z 52x 13 Portanto as equações reduzidas são y 2x 8 e z 52x 13 5 Determine o vetor projeção do vetor u 1 2 3 na direção de v 2 1 2 O vetor projeção é dado por projvu u vv v v Substituindo os vetores u e v na fórmula acima obtemos projvu 1 2 3 2 1 22 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 6 4 1 4 2 1 2 109 2 1 2 209 109 209 Portanto projvu 209 109 209 4 Cite um ponto e um vetor diretor da reta r x 2t y 1 z 2 t Um ponto da reta r P0 1 2 Pode conferir isso substituindo o ponto P nas equações e observando que elas são satisfeitas Um vetor diretor vecv 201 5 Determine a equação da reta que passa por A1 2 4 e é paralela ao eixo dos x Como a reta é paralela ao eixo x segue que b c 0 e vecv a 0 0 Daí as equações paramétricas da reta ficam da seguinte forma x x1 at ou seja y y1 z z1 y y1 z z1 Substituindo A x1 y1 z1 1 2 4 em y y1 obtemos que a equação da reta é y 2 z 4 1 Determine o ângulo entre as retas r x 2 2t y 2t z 3 4t e s x4 y62 z12 Os vetores diretores de r e s respectivamente são vecvr 2 2 4 e vecvs 4 2 2 O cálculo do ângulo entre duas retas é feito por meio da fórmula cosθ vecvr cdot vecvs vecvr vecvs Calculando cada parcela obtemos vecvr cdot vecvs 2 2 4 cdot 4 2 2 24 22 42 8 4 8 vecvr cdot vecvs 82 42 82 64 16 64 144 12 vecvr 22 22 42 4 4 16 24 26 vecvs 42 22 22 16 4 4 24 26 vecvr vecvs 26 26 4 6 24 Substituindo os resultados em cosθ vecvr cdot vecvs vecvr vecvs obtemos cosθ 12 24 12 Como queremos o ângulo θ segue que cos1 cosθ cos1 12 θ π3 rad 60 2 A reta r y mx 3 z x 1 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A10m e B2 2m 2m Calcule o valor de m Chamaremos de s a reta ortogonal a r calculando o vetor diretor de s vecvs overrightarrowAB B A 2 2m 2m 1 0 m 3 2m m Como as equações da reta r estão reduzidas segue que y mx 3 e z x 1 Para obter o vetor diretor é necessário isolar o x y mx 3 e z x 1 mx y 3 x z 1 x y 3m Assim x1 ym 3m z 1 onde vecvr 1 m 1 Pela condição de ortogonalidade entre duas retas temos que vecvr cdot vecvs 0 Logo vecvr cdot vecvs 0 3 2m m cdot 1 m 1 0 3 2m2 m 0 2m2 m 3 0 Δ 1 423 1 24 25 m 1 25 22 1 5 4 44 1 m 1 25 22 1 5 4 64 32 Portanto há dois possíveis valores para m m1 ou m 32 1 Calcule a distância do ponto P123 à reta s x12t y2t z2t OBS A102 vem das equações paramétricas v é dado pelos valores juntos do t v221 A distância de um ponto P a uma reta s é dada por ddPs v x AP v Calculando cada parcela individualmente temos que AP PA 123 102 021 v22 22 12 441 9 3 v x AP i j k 2 2 1 0 2 1 2i 4k 2j 2j 4i 2j 4k 4 2 4 v x AP42 22 42 16416 36 6 Aplicando os resultados em ddPs obtemos ddPs 63 2 uc Portanto a distância de P a s é 2 uc 2 Calcule a distância entre as retas r x0 yz e s y3 z2x As retas r e s não são concorrentes pois não há ponto em comum entre elas não são paralelas pois seus vetores diretos dados por vr011 e vs102 não são múltiplos restando apenas a possibilidade de serem concorrentes ou seja a distância entre elas é dada por ddrs vr vs PrPs vr x vs Assim sendo Pr022 e Ps030 pontos pertencentes às retas r e s respectivamente segue que PrPs Ps Pr 030 022 012 vr vs PrPs 0 1 1 1 0 2 0 1 2 12 3 vr vs PrPs 3 vr x vs i j k 0 1 1 1 0 2 2i j k 2 1 1 vr x vs 22 12 12 411 6 Aplicando os resultados em ddrs obtemos ddrs 36 1 Calcule a distância do ponto P235 ao plano π 3x 2y 6z 2 0 A distância de um ponto a um plano pode ser calculado pela fórmula dPπ ax by cz d a2 b2 c2 Analisando os dados temos P x2 y3 e z5 m a3 b2 c6 e d2 Substituindo os valores em dPπ obtemos dPπ 32 23 65 2 32 22 62 dPπ 6 6 30 2 9 4 36 28 49 287 4 uc Portanto dPπ 4 uc 2 Calcule a distância entre os planos paralelos π₁ x 2z 1 0 e π₂ 3x 6z 8 0 Um ponto de π₁ é P₀1 0 0 e um vetor normal a π₂ é m 3 0 6 Portanto dπ₁ π₂ dP₀ π₂ 31 00 60 8 3² 0² 6² 3 8 9 36 11 45 11 35 mc Logo dπ₁ π₂ 11 35 mc 3 Determine a distância da reta r x3 y4 ao plano π x y 12 0 Para a reta r temse que a b 0 v 00c π r0z Esta é uma propriedade que nos garante que x x₁ y y₁ Sabendo que r x 3 y 4 segue que P₀ 3 4 0 r Assim a distância da r a π é dada por dr π dP₀ π Sendo m 1 1 0 temos que drπ dP₀ π 13 14 00 1² 1² 0² 3 4 2 7 2 Portanto dr π 7 2 4 Dado o tetraedro de vértices A1 2 1 B2 1 1 C0 1 1 e D3 1 0 calcule a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face ABC O vetor normal do plano será dado por m AB x BC daí AB B A 2 1 1 1 2 1 1 3 0 BC C B 0 1 1 2 1 1 2 2 2 Daí m AB x BC i j k 1 3 0 2 2 2 6i 2k 6i j 6i j 4u 6 1 4 Portanto a equação do plano ABC tem o seguinte formato 6x y 4z d 0 Para encontrar d vamos substituir um ponto do plano A1 2 1 6x y 4z d 0 61 2 41 d 0 6 2 4 d 0 4 d 0 d 4 Logo a equação geral do plano é π 6x y 4z 4 0 A distância entre o ponto P x y z e um plano π ax by cz d 0 é dada por dP π ax by cz d a² b² c² Como queremos a altura do tetraedro faremos a distância do ponto D ao plano π dD π 63 11 40 4 6² 1² 4² 18 1 4 36 1 16 15 53 15 53 Portanto a altura do tetraedro é 15 53