Lista 1 Álgebra Linear

(Pág. 18) 4. Calcule as seguintes somas e diferenças:\na) (x² + 2j - 3k) + (2i² + j + 5k)\nb) (-x² + 5j - 6k) + (2i² + j - 2k) + (x³ - 2j + 6k)\nc) (2x² + 3j - 3k) - (2i² + 2j - 7k)\nd) (i² + 2j - 4k) - (2i² + 5j + 6k) + (3i³ - 5j + 7k)\nSolução:\na) (x² + 2i, x³ + 5k)\nb) (x² + j + 4k)\nc) = (2i - 4i - 3j - 3k)\nd) = (2x² + 3j)\n(Pág. 18) 5. Sejam z² = x² + 2j + 3k e b = b² = 2² + 3j - 2k. Determine vetores unitários paralelos aos vetores.\na) a + b\nb) a - b\nc) 2z² - 3b\nSolução: Os vetores unitários paralelos a um vetor v² são (√v/||v||) e (√v)\n e a sua norma, cuja quadrado é\n||v||² = 3² + 3² + 5² = 43\nUma resposta para o problema é\n√v/||v|| = 1/√43 (3i + 3j - 5k) = √43/43 (3i + 3j - 5k).\nb) Pomos v² = a² - b. Dai calculamos\nv² = a² - b² = (i + 2j - 3k) - (2i + j - 2k) = (-i + j - k)\ne sua norma, cuja quadrado é\n||v||² = -1² + 1² + (-1)² = 1 + 1 + 1 = 3\nUma resposta para o problema é\n√v = (i - j - k) = √3 (-i + j - k).\nc) Pomos v² = a² - 3b². Dai calculamos\nv² = 2a² - 3b² = 2(2i + 2j - 3k) - 3(2i + j - 2k)\n= (2i + 4j - 6k) - (-6i - 3j + 3k)\n= (-6i + 4j)\nE sua norma, cuja quadrado é\n||v|| = -4² + 1² = 17\nUma resposta para o problema é\n√v/||v|| = (1/√17)(-4i + j)\n= (√17/17)(-4i + j)\n(Pág. 18) 9. Calcule os seguintes produtos internos. (Pág. 18) 11. Determine o valor de x para o qual os vetores 3i + 5j + 2k e x² + 3j + 4k são perpendiculares.\nSolução: Pamos u = x²i + 3j + 4k, v = 3i + 5j + 2k\n<u;v> = 0\n<ui;vj> = (xx² + 3² + 4k)(3i + 5j + 2k)\n<ui;v> = 3x + 3 + 8 = 0\n3x + 11 = 0 => x = -11/3\n(Pág. 18) 12. Demonstre que não existe um número real x tal que os vetores x² + 2j + 4k e x² - 2j + 3k sejam perpendiculares.\nSolução: Pamos u = x² + 2j + 4k, v = x² - 2j + 3k.\n<u;v> = 0\n<u;v> = <(x²,2,3k),(x²,-2,3k)>\n<u;v> = (x²)² - 4 + 12\n<u;v> = x² - 4 = x² - 2^2 + 3k\nConclusão: não há número real para que x seja perpendicular. (Pág. 18) 13. Ache os ângulos entre os seguintes pares de vetores: \n a) 2x^2 + 3y^3, j^2 - k^3\n b) i^3 + j^1 + k^1, -2j^2 - 2k^1\n c) 3i^1 + 3j^2, 2i^1 + j^1 - 2k^3.\n \n Solução: Sabemos que o produto interno entre um par de vetores, a,b é definido por \n a.b = ||a|| ||b|| cos(α, b) = cos θ \n \n Então para achar o ângulo procurado na letra a)\n a) Vamos a = 2i^1 + j^0 b = j^2 - k^1. Calculamos o produto interno e os quadrados dos normais: \n < a.b > = 2.0 + 1.1 + 0.(-1) = 0 + 1 + 0 = 1; \n ||a||^2 = 2^2 + 1^2 + 0^2 = 5; ||b||^2 = 0^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 = 5.\n Depois substituímos os valores correspondentes na equação (1) para obter \n cos θ = 1 / √(5) = √(10) / 10 ⇒ √(10).\n Dai, \n cos θ = √(10) / 10.\n E, portanto, o ângulo procurado é \n (α, b) = arcos(√(10) / 10) b) Vamos a = i^2 + j^1 + k^1, e b = -2j^2 - 2k^1. Calculamos a produto interno e os quadrados das normas: \n < a.b > = 1.0 + 1.(-2) + 1.(-2) = 0 - 2 - 2 = -4; \n ||a||^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3; \n ||b||^2 = 0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 8.\n Depois substituímos os valores correspondentes na equação (1) para obter: \n cos θ = -4 / √(8) = -4 / (√(2) / 2) = -√(2) / 3.\n Dai: \n cos(θ, 5) = -√(2) / 3.\n E, portanto, o ângulo procurado é \n (α, b) = arcos(-√(2) / 3). (Pág. 49) 14. Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos A(3, 2, 1), B(3, 2, 2) e C(3, 3, 2).\n Solução: \n i) Determinação do ângulo Â: o ângulo  é o mesmo entre os vetores AB e AC. Assim,  = (AB, AC). Portanto, podemos calcular  a partir do produto interno entre esses vetores. Isto é, a partir de \n < AB, AC > = ||AB|| ||AC|| cos Â.\n Cálculo dos vetores AB e AC:\n AB = B - A = (3-3)i^1 + (2-2)j^1 + (2-1)k^1 = k^1;\n AC = C - A = (3-3)i^1 + (3-2)j^1 + (2-1)k^1 = j^1 + k^1.\n Cálculo do Produto Interno e do quadrado das normas: \n < AB, AC > = 0.0 + 0.1 + 1.1 = 1; \n ||AB||^2 = 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1; \n ||AC||^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2.\n E substituindo os valores correspondentes na equação, obtem-se: \n 1 = √(1).√(2) cos  ⇒ 1 = √(2) cos Â.\n Dai: \n cos(Â) = √(2) / 2 e, portanto,  arcos(√(2) / 2) = 45°. ii) Determinação de ângulo B: O ângulo B é o menor ângulo entre os vetores \\overrightarrow{BA} e \\overrightarrow{BC}. Portanto podemos calcular \\cos B a partir do produto interno entre esses vetores. Assim, a partir de \\langle \\overrightarrow{BA}, \\overrightarrow{BC} \\rangle = || \\overrightarrow{BA} || || \\overrightarrow{BC} || \\cos B\n\nCálculo dos Vetores \\overrightarrow{BA} e \\overrightarrow{BC}:\\n\\overrightarrow{BA} = A - B = (3-3)\\hat{i} + (2-2)\\hat{j} + (1-2)\\hat{k} = \\hat{k};\\n\\overrightarrow{BC} = C - B = (3-3)\\hat{i} + (3-2)\\hat{j} + (2-2)\\hat{k} = (1)\\hat{j}.\n\nCálculo do produto interno e da quadrada dos normais: \\langle \\overrightarrow{BA}, \\overrightarrow{BC} \\rangle = 0.0 + 0.1 + 1.0 = 0\n\n|| \\overrightarrow{BA} ||^2 = 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1\\n|| \\overrightarrow{BC} ||^2 = 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1\n\nEm substituindo os valores correspondentes na equação, obtemos:\nO = \\sqrt{1} . \\sqrt{1} \\cos B\\nO = \\sqrt{1} \\cos B \\Rightarrow \\cos B = 0\n\nDaí:\n\\cos(B) = 0 e, portanto, B = 90°\n\niii) Sabendo que \\hat{A} = 45° e \\hat{B} = 90°, concluímos que \\hat{C} = 45°, pois a soma dos ângulos internos deve ser 180°, então\\n\\hat{C} = x|45 + 90 = 180\\Rightarrow x = 180 - 135 = x = 45° 2. Segundo \\vec{a} = 2\\hat{i} + 3\\hat{j}, \\vec{b} = \\hat{i} + \\hat{j} + 2\\hat{k} e \\vec{c} = \\hat{i} + 2\\hat{j} + \\hat{k}.\\n\n a) Mostre que {\\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}} é uma base.\\n b) Determine x, y e z tais que \\vec{v} = x\\hat{a} + y\\hat{b} + z\\hat{c}.\\n\nSolução: \\n a) Sabemos que se a determinante de {\\hat{a}, \\hat{b}, \\hat{c}} for linearmente independente, então podemos ser 0, então:\n\\begin{vmatrix}\n 2 & 3 & 5 \\\\\n 1 & 1 & 0 \\\\\n 1 & 2 & 1 \n\\end{vmatrix} = -8 + 3 = -7.\n\nComo sendo o Determinante, depende do O do \\hat{L} e uma base.\\n\n b) -\\sqrt{3} = x\\hat{b} + y\\hat{c} + z\\hat{c}.\n\n\\{(2x + y + z = 2,\\\n3y + 1z = 3,\\\n0 + 1z = 1.\\}\\n\n Portanto: x = 2, z = 1, y = -2\\\n\\rightarrow \\Rightarrow x = \\frac{1}{4}, z = -\\frac{3}{4}, e y = -4. AB = (1, 5, -3)\\n\nTomamos G1, C2 e C3 como combinações lineares de \\hat{IB}^2 \\hat{J}^3 e \\hat{K}^R repetidamente.\\n\n(3, 5, -3) = c1(1, 0, 0) + c2(0, 1, 0) + c3(0, 0, 1)\\n\\Rightarrow (1, 5, -3) = c1 = 1, c2 = 5, c3 = -3.\\n\nEnfim, calculamos a quadrada dos normais ||\\hat{AB}||^2 = 1^2 + 3^2 + (-3)^2 = 35\\n\\Rightarrow \\hat{AB} = \\sqrt{35}\\n\n(Pág. 19) 15. Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes: a) 2\\hat{i} - 3\\hat{j} + 6\\hat{k}, 2\\hat{i} + 3\\hat{j} + 2\\hat{k}, 3\\hat{i} + 3\\hat{j}, 4\\hat{i} + 3\\hat{j} + 6\\hat{k}.\\n\nSolução: Para sabermos x, os vetores não LI, O Determinante deve ser diferente de 0.\\n\n\\begin{vmatrix} \\ 2 & 1 & 2\\\\ 2 & j + \\hat{k}\\\\ 3 & 0 & \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} \\ 1 & 2 & 3 & (0):\\{2 , j , k} \\end{vmatrix}\\R^{3} = = 9 \\Rightarrow\\{Determinante: 9\\Rightarrow 9 \\Rightarrow 0}.\\n (Pág. 19) 16. Verifique se os seguintes pontos são coplanares: a)A(2,2,1), B(3,1,2), C(2,3,0) e D(2,3,2) b)A(2,0,2), B(3,2,0), C(0,2,1) e D(1,2,0). Solução: Sabendo que para serem coplanares o produto misto entre os vetores AB, AC e AD deve ser igual a 0, temos. a) Determinantes calculamos os vetores AB, AC e AD: AB = B - A = (3-2, 1-2, 2-1) = (1, -1, 1) AC = C - A = (2-2, 3-2, 0-1) = (0, 1, -1) AD = D - A = (2-2, 3-2, 2-1) = (0, 1, 1) Dai: |\n 1 0 1 |\n 0 -1 1 |\n 0 1 1 |\n = 1 Determinante = 2, os pontos não são coplanares b) Determinantes calculamos os vetores AB, AC e AD: AB = B - A = (3-2, 2-0, 0-2) = (1, 2, -2) AC = C - A = (0-2, 2-0, 1-2) = (-2, 2, -1) AD = D - A = (1-2, 2-0, 0-2) = (-1, 2, -2) Dai: |\n -4+2+-8=-10|\n 2 2 |\n 6-10=-4 |\n = Determinante = -4, os seus pontos são coplanares