Transformações Lineares - Exercícios Resolvidos e Conceitos Chave

Qual é a transformação linear T R3 R2 tal que T321 11 T010 00 e T001 02 Encontre dimKerT e dimImT Logo se B é a base canônica de R3 e B é a base canônica de R2 encontre TBB Sejam V M2R B e11 e12 e21 e22 a base de V formada pelas matrizes unitárias 2x2 e B a base canônica de R2 Se T R2 V é uma transformação linear tal que TB B 2 1 1 1 1 0 0 1 encontre Txy Sejam T V W uma transformação linear injetora e dimV dimW n Mostre que se v1 vn é uma base de V então Tv1 Tvn é uma base de W Seja T R3 R3 um operador linear tal que na base canônica de R3 é TB B 1 2 1 0 1 1 0 0 1 Encontre o polinômio minimal de TB B e diga se T é ou não diagonalizável No caso de T ser diagonalizável encontre uma base B tal que TB B seja uma matriz diagonal Mostre que a função R3 R3 R definida por abc def ad 5be 2cf é um produto interno Logo encontre uma base ortonormal B para R3 a partir da base B 200 030 001 11 T321 T30 02 01 T300 021 T300 T021 T300 T20 0 21 0 20 1 T300 T2021 20 T001 T3100 2T010 T011 3T100 200 02 3T100 02 3T100 11 02 11 2 13 T100 13 13 13 1 Txyz xT100 yT010 zT001 x13 1 y00 z02 13 x x 2z ker T xyz R3 Txyz 00 xyz R3 13 x x 2z 00 xyz R3 13 x 0 x 2z 0 xyz R3 x 0 2z x xyz R3 x z 0 0y0 y R y010 y R Como 010 possui apenas um vetor 010 é LI Como também gira ker T é base de ker T dimker T 010 1 T R3 R2 Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem dimR3 dimker T dimIm T 3 1 dimIm T dimIm T 2 T100 13 1 13 10 1 01 T010 00 0 10 0 01 T001 02 0 10 2 01 Tᴮ⁸ 3 0 0 1 0 2 2 T10 Tᴮ¹ 1 0 2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 20 10 10 00 2 1 1 0ᴮ T10 2e₁₁ 1e₁₂ 1e₂₁ 0e₂₂ 2 1 1 0 Tᴮ⁸ 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 1 01 01 00 01ᴮ 1 1 0 1ᴮ T01 1e₁₁ 1e₁₂ 0e₂₁ 1e₂₂ 1 1 0 1 4 Txy x T10 y T01 x 2 1 1 0 y 1 1 0 1 2xy xy x y 3 v₁ vₙ é base de V v₁vₙ são dimV vetores LI ᶰⱼ₁ αⱼ vⱼ 0 α₁ αₙ0 Sejam β₁βₙ ℝ tais que ᶰⱼ₁ βⱼ Tvⱼ 0 0 ᶰⱼ₁ Tβⱼ vⱼ Tᶰⱼ₁ βⱼ vⱼ ᶰⱼ₁ βⱼ vⱼ ker T Como T é transformação linear injetora ker T 0 ᶰⱼ₁ βⱼ vⱼ0 β₁ βₙ 0 Tv₁ Tvₙ são LI Como dim W n e Tv₁ Tvₙ são n vetores LI Tv₁ Tvₙ é base de W 4 4 Encontrando o polinômio característico de Tᴮ³ detTᴮ³ λ Id₃ 0 0 det 1 λ 2 1 0 1 λ 1 0 0 1 λ 1λ1λ² 1 e 1 são autovalores de T pTλ 1λ1λ² multiplicidade algébrica de 1 é 1 multiplicidade algébrica de 1 é 2 V1 ker Tᴮ³ 1 Id₃ U V1 11 2 1 0 11 1 0 0 11 u₁ u₂ u₃ 0 0 0 2 2 1 0 0 1 0 0 0 u₁ u₂ u₃ 0 0 0 2u₁ 2u₂ u₃ u₃ 0 0 0 0 2u₁ 2u₂ u₃ 0 u₃ 0 2u₁ 2u₂ 0 u₂ u₁ 5 V1 u₁u₁0 u₁ ℝ u₁ 110 u₁ ℝ u₁ u₁ 0 Como 110 é um vetor apenas 110 é LI logo é base de V1 dimV1 1 multiplicidade geométrica de 1 é 1 Como há um autovalor de T com multiplicidade algébrica diferente de sua multiplicidade geométrica T não é diagonalizável 200 030 20 503 200 0 não ortogonal 200 001 20 500 20 1 0 não ortogonal 030 001 00 530 20 1 0 não ortogonal 200 030 001 é base ortogonal Basta normalizar seus vetores ou seja encontrar os vetores unitários a eles associados pelo produto interno Verificando que é produto interno PI1 Sejam x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ x₃y₃z₃ ℝ³ x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ x₃y₃z₃ x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ x₃ y₃ z₃ x₁x₂ x₃ 5y₁y₂ y₃ 2z₁z₂ z₃ x₁ x₃ x₂ x₃ 5 y₁ y₃ 5 y₂ y₃ 2 z₁ z₃ 2 z₂ z₃ x₁ x₃ 5 y₁ y₃ 2 z₁ z₃ x₂ x₃ 5 y₂ y₃ 2 z₂ z₃ x₁y₁z₁ x₃y₃z₃ x₂y₂z₂ x₃y₃z₃ PI2 Sejam x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ ℝ³ α ℝ αx₁y₁z₁ x₂y₂z₂ αx₁ αy₁ αz₁ x₂y₂z₂ α x₁ x₂ 5 α y₁ y₂ 2 α z₁ z₂ α x₁ x₂ 5 y₁ y₂ 2 z₁ z₂ α x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ PI3 Sejam x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ ℝ³ x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ x₁ x₂ 5 y₁ y₂ 2 z₁ z₂ x₂ x₁ 5 y₂ y₁ 2 z₂ z₁ x₂y₂z₂ x₁y₁z₁ PI4 Seja xyz ℝ³ 000 xyz xyz x² 5y² 2z² 0 Deixa que 000 000 0 50 20 0 logo é produto interno Agora normalizando ß 200 200 200 2² 50 20 4 2 1200200 12 200 100 030 0 53² 0 45 35 1030030 135 030 0 535 0 001 0 50 212 2 1 001 001 12 001 22 001 0022 B 100 01550 0022