Análise de Controlabilidade e Observabilidade e Projeto de Realimentação de Estados

Questao 1 Letra a A matriz de controlabilidade do sistema é 20 O MB AB AB1 2 50 0 1 183 cujo determinante é det M 48 Como o determinante nao é nulo a matriz tem posto completo ou seja o sistema é controlavel A matriz de observabilidade do sistema é C 0 O 1 MCAj0 1 15 CA 1 15 175 cujo determinante é det M 1 ou seja 0 sistema é observavel Letra b O projeto da realimentagao dos estados sera feito usando a formula de Ackermann Para isso encontramos o polinémio desejado da malha fechada fazendo ps s 8 67s 8 6js 30 s 46s 580s 3000 A matriz polinomial de A é PA A 46A 500A 30001 0 0 0 0 O 0 0 0 0 1 0 0 50 750 8750 460 50 750 5001 0 50 30000 1 0 15 175 1875 1 15 175 0 1 15 0 0 1 3000 0 0 5380 1450 3250 31 65 AT5 Entao a matriz de ganhos da realimentagao é K e3MP 3000 0 0 2 0 0 0 0 1 530 1450 3250 1 2 50 31 65 A75 0 1 13 43 55 175 Letra c O ganho de ajuste é determinado com 1 N CA BKB Senod assim temos que 0 0 0 2 86 110 350 ABkj1 0 50 j1 43 55 175 42 55 225 0 1 15 0 0 1 15 cuja inversa é 1 06 13 55 A BK 3 063 129 465 0042 0086 011 Entao 1 06 13 55 2 9 CA BKB 0 0 13 063 129 465 1 3000 0042 0086 011 0 O ajuste necessdrio para erro nulo em regime permanente para entrada em degrau é N 1500 23000 Letra d Adaptando a formula de Ackermann para o projeto do observador temos Cc fo K PMye3 A a2A 014 a0l CA 0 CA 1 Desejamos que a dindémica do observador seja bem rapida A dinaémica dominante da malha fechada é 8 76 entao os polos do observador serao escolhidos em 80 81 82 e o polinédmio se torna ps s 80s 81s 82 8 243s 196825 531360 A matriz PA se torna PA A 243A 19682A 5313601 531360 0 0 19632 519960 810600 228 16212 276780 A inversa da matriz de observabilidade é 0 0 1 50 15 1 My0 1 15 15 1 0 1 15 175 1 0 0 Entao os ganhos do observador sao 531360 0 0 50 15 1 0 K PMze3 19632 519960 810600 15 1 0 0 228 16212 276780 1 O O 1 531360 19632 228 entao o observador é ry 531360 0 0 531360 4 2 Zo 19682 y 1 O 19682 2 jlju r3 228 O 1 243 x3 0 em que na segunda parte a matriz dos estados é dado por A KC Letra e Rs 0 Ys Us Ys sem Ns Rs 0 YS Us Ys com Ns Letra f O polinédmio com os polos desejados é ps s 228 205s 744s 900 As matrizes ampliadas sao 00 0 0 2 r A 0 1 0 50 0 B 1 A go 1 ais of B5 00 1 O 0 A matriz P se torna P At 2243 205A 744A 90014 900 0 0 0 3894 1600 17800 0 50 356 3740 0 7 50 396 900 A matriz ampliada de controlabilidade é 20 O 0 A RR aR 1 2 50 650 2 3p MeB AB AB APB 5 13 qs 00 1 18 Entao os ganhos ampliados sao 20 0 O07 f900 0 0 0 1 2 50 650 394 1600 17800 0 R hi ko ks k00 0 JQ 7 33 yas 50 356 3740 0 00 1 18 7 5d0 356 900 025 65 37 450 entao a realimentacao é K 025 65 37 e o ganho do integrador é k 450