Sistemas de Controle - Lista de Exercicios 2 - Analise e Projeto no Dominio da Frequencia

FTE029 Sistemas de controle Lista de exercícios 2 PARTE 2 de 2 Análise e projeto no domínio da frequência Professora Marenice Melo de Carvalho FT02 Engenharia Elétrica 16012023 1 Sendo Gs Ks1 ss2s6 Projete um compensador que atenda as seguintes especificações Mp 10 tp 0 1s e Kv 30s1 2 Utilizando métodos de resposta em frequência projete um compensador de atraso de fase para resultar em Kv 5s1 uma margem de fase de pelo menos 40º e uma margem de ganho de no mínimo 10dB sendo Gs 1 ss105s1 3 Dado Gs 1 s12s10 Projete um compensador LeadLag de forma que se obtenha uma margem de fase de 50º um erro de regime permanente ess 002 e uma margem de ganho de no mínimo 10dB 4 O pêndulo invertido tem uma função de transferência dada Gs 1 s21 a Use esboços do diagrama de Bode para projetar um compensador de avanço que forneça uma PM de 30 Então verifique e refine seu projeto usando o MATLAB b Esboce o lugar das raízes e correlacioneo com o diagrama de Bode do sistema c É possível obter a resposta em frequência deste sistema experimentalmente 5 Para o sistema na figura determine o diagrama de Nyquist e aplique o critério de Nyquist a para determinar a faixa de valores de K positivos e negativos para a qual o sistema será estável b para determinar o número de raízes no SPD para os valores de K nos quais o sistema é instável Verifique sua resposta usando um esboço do lugar das raízes 1 FTE029 Sistemas de controle Lista de exercícios 2 PARTE 1 de 2 Análise e projeto no planos Professora Marenice Melo de Carvalho FT02 Engenharia Elétrica 09012023 1 Determine a estabilidade dos polinômios abaixo usando o critério de Routh a s4 5s3 8s2 20s 16 b s6 3s5 8s4 10s3 8s2 15s 20 c s5 3s4 3s3 9s2 9s 1 d s3 3s2 8s 8 2 Para os seguintes sistemas faça o que se pede G1s s4 ss24s4s6 G2s s05 s2s4s8 G3s s28s20 s2s22s2 G4s s14 s32s10 a Trace o lugar das raízes para Cs k b Determine a região de estabilidade c Para que valores de k o sistema tem somente raízes reais d Para que valores de k o sistema admite raízes duplas e Para que valores de k o sistema oscila com amplitude constante f Se possível determine k para que ζ 0 707 g Determine k para amortecimento crítico 3 Para cada um dos seguintes sistemas realize o projeto de um compensador avanço atraso ou avançoatraso que atenda aos seguintes requisitos de desempenho G1s 4 s2s6 G2s 1 ss4 G3s 200 ss10s20 G4s 01 s022s06 a Mp 10 b Mp 20 e tr 1s c Mp 30 e e 0 d tp 0 63s e ts5 1s e Mp 0 163 tr0100 0 3s e e 0 02 para uma rampa unitária 1 em que c1 38 1013 143 c2 38 1513 3 c3 320 013 20 d1 10143 33143 11314 d2 15143 320143 157 e1 311314 15714311314 199113 e2 2011314 014311314 20 f1 199113157 2011314199113 17815199 g1 2017815199 019911317815199 20 Perceba que houveram 2 trocas de sinais logo ds possui duas raízes no semiplano direito e 4 no semiplano esquerdo O sistema é instável Letra c Seja ds s5 3s4 3s3 9s2 9s 1 e aplicando o critério de Routh segue s5 1 3 9 s4 3 9 1 s3 ε 263 s2 9ε 26ε 1 s1 234ε 676 3ε239ε 26 s0 1 em que c1 33 913 0 c2 39 113 263 d1 9ε 3263ε 9ε 26ε d2 ε 30ε 1 e1 2639ε 26ε ε 9ε 26ε 234ε 676 3ε239ε 26 f1 1 Montando a tabela da primeira coluna e o sinal de ε temos Linha Primeira coluna ε ε s5 1 s4 3 s3 ε s2 9ε 26ε s1 234ε 676 3ε239ε 26 s0 1 FTE029 Lista de Exercícios 2 PARTE 1 de 2 Questão 1 Letra a Seja ds s4 5s3 8s2 20s 16 e aplicando o critério de Routh segue s4 1 8 16 s3 5 20 0 s2 4 16 0 s1 8 0 0 s0 16 em que c1 85 2015 4 c2 165 015 16 d1 204 1654 0 Contudo a linha s1 inteira foi nula logo usando o polinômio Ps 4s2 16 Ps 8s E então e1 168 048 16 Analisando a tabela de Routh de s4 até s2 não houve mudança de sinal logo os polos são estáveis A análise de Ps de s1 a s0 indica que Ps não tem polos no semiplano direito logo os polos de Ps estão no eixo jω Assim existem 2 polos negativos e 2 polos sobre o eixo jω O sistema é marginalmente estável Letra b Seja ds s6 3s5 8s4 10s3 8s2 15s 20 e aplicando o critério de Routh segue s6 1 8 8 20 s5 3 10 15 s4 143 3 20 s3 11314 157 s2 199113 20 s1 17815199 s0 20 Então concluímos que a tabela de Routh muda de sinal 2 vezes logo ds possui duas raízes no semiplano direito e 3 no semiplano esquerdo O sistema é instável Letra d Seja ds s3 3s2 8s 8 e aplicando o critério de Routh segue s3 1 8 s2 3 8 s1 163 s0 8 em que c1 38 18 3 16 3 d1 8163 30 163 8 Como não existe mudança no sinal da primeira coluna o sistema é estável com todas as raízes no semiplano esquerdo Questão 2 Sistema 1 LGR Neste primeiro caso farei mais detalhado para que o método utilizado fique bem claro e explicado Considere CsG1s ks 4 ss2 4s 4s 6 O LGR do sistema parte dos polos e zeros de malha aberta logo p 0 p 2 p 2 p 6 z 4 Lembrando que a condição de ângulo do LGR requer que CsG1s s 4 s 2 s 2 s 6 1802n 1 n 0 1 2 1 então verificamos onde no eixo real existe LGR escolhendo um ponto de teste s em cada intervalo de interesse Assim segue Se s 0 então s s 2 s 4 s 6 0 Não satisfaz 1 e por isso não há LGR Se 2 s 0 então s 180 e s 4 s 2 s 6 0 Satisfaz 1 para n 0 e por isso há LGR Se 4 s 2 então s s 2 180 e s 4 s 6 0 Satisfaz 1 para n 1 e por isso há LGR Se 6 s 4 então s s 2 s 4 180 e s 6 0 Não satisfaz 1 e por isso não há LGR Se s 6 então s s 2 s 4 s 6 180 Satisfaz 1 para n 1 e por isso há LGR O LGR no eixo real é ilustrado a seguir O ângulo das assíntotas é âng assíntota 1802n 1 núm polos num zeros 1802n 1 3 cujas assíntotas são 180 60 σ jω 2 6 4 Por fim o LGR final é apresentado na FIG 1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 σ 3 2 1 0 1 2 3 jω LGR de CsG 1 s Figura 1 Questão 2a de G1s Região de estabilidade Para determinar a região de estabilidade obtemos a função transferência de malha fechada dada por Hs CsG1s 1 CsG1s ks 4 ss2 4s 4s 6 ks 4 ks 4 s4 10s3 28s2 24s ks 4k Aplicando Routh s4 1 28 4k s3 10 k 24 s2 256k 10 4k s1 k2168k6144 k256 s0 4k A linha s2 é positiva somente se k 256 Admitindo que k 256 temos da linha s1 que k2 168k 6144 0 k2 168k 6144 0 cujas raízes do polinômio são k1 84 20 33 309 k2 84 20 33 1989 Como a parábola tem concavidade positiva ela só será negativa entre as raízes Logo k 1989 309 Mas da linha s0 sabemos que k 0 e assim a região de estabilidade é 0 k 84 20 33 Raízes reais Observe pelo traçado que a medida que k cresce um dos polos em s 2 encontra com o polo na origem e formam um par complexo conjugado Para esse problema o ponto de partida ao eixo real pode ser determinado da seguinte maneira dado que kG1s 1 0 Ks s4 10s3 28s2 24ss 4 e logo dKds 3s4 36s3 148s2 224s 96s 42 0 igualando a 0 e resolvendo numericamente e procurando a raiz no intervalo 20 temos s 07014 aplicando em Ks vemos que k 19 Então o sistema terá somente raízes reais se 0 k 19 Raízes duplas Aqui eu não tenho certeza do que o professor quer dizer com raízes duplas Acredito que ele quer dizer com polos complexo conjugados Neste caso do LGR sabemos que a partir do ponto de partida os polos serão complexos conjugados Logo k 19 Raízes no eixo jω Para o sistema oscilar com amplitude constante isso quer dizer que ele tem um par de polos no eixo jω Sabemos da análise de estabilidade que o ganho que deixa o sistema marginalmente estável é k 2033 84 pois assim a coluna s1 será toda nula e terão um par de polos sobre o eixo jω Lembrando que o outro valor instabiliza o sistema Coeficiente de amortecimento ζ 0707 Os polos de malha fechada com ζ 0707 situados em linhas que passam pela origem e formam os ângulos cos1 ζ cos1 0707 45 com o eixo real negativo No LGR esta reta toca o LGR em aproximadamente s 0625 j0625 Então o ganho é obtido pela condição de módulo K 1 G1s 0625 j0625 1 03146 j00016 318 Amortecimento crítico Um sistema de segunda ordem criticamente amortecido é aquele em que ζ 1 e logo seus polos são iguais Note então que o sistema só será criticamente amortecido no ponto de saída do eixo real pois assim a ação dos outros polos pode ser grosseiramente desconsiderada e então temos k 19 Sistema 2 LGR Considere CsG2s ks 05 s2s 4s 8 cujos polos são p 0 p 4 e p 8 e o zero é s 05 Escolhendo um ponto de teste s temos Intervalo 2 s s 05 s 4 s 8 Condição angular s 0 0 0 0 0 não satisfaz 05 s 0 360 0 0 0 não satisfaz 4 s 05 360 180 0 0 satisfaz 8 s 4 360 180 180 0 não satisfaz s 8 360 180 180 180 satisfaz As assíntotas são âng assíntota 1802n 1 3 180 60 O LGR final é apresentado na FIG 2 10 8 6 4 2 0 σ 6 4 2 0 2 4 6 jω LGR de CsG 2 s Figura 2 Questão 2b de G2s Região de estabilidade A função transferência de malha fechada é Hs ks 05 s2s 4s 8 ks 05 ks 05 s4 12s3 32s2 ks 05k Aplicando Routh s4 1 32 05k s3 12 k s2 384k 12 05k s1 kk1226 k1232 s0 05k Da linha s0 vêse k 0 Da linha s2 vemos que k 384 Admitindo 0 k 384 de s1 vemos que kk12 26 0 k 2612 312 Então o sistema é estável se 0 k 312 Raízes reais Pelo LGR sabemos que para qualquer ganho os polos da origem formaram complexo conjugados Logo as raízes serão todas reais somente para k 0 Raízes duplas Os polos serão complexo conjugados para k 0 Raízes no eixo jω Além da origem as raízes estarão no eixo jω um outro momento Sabemos da tabela de Routh que isso ocorrerá para o limite de k logo k 312 Coeficiente de amortecimento ζ 0707 O LGR toca a reta de ζ 0707 em 2 pontos como mostrado na FIG 3 Figura 3 Zoom no LGR de G2s Eles são aproximadamente s1 1 j1 e s2 079 j079 Então os ganhos são pela condição de módulo Em especial é melhor escolher o maior ganho visto que isso implica que os demais polos estarão mais afastados dos polos dominantes e assim o sistema se comportará mais similar a um de segunda ordem Amortecimento crítico Não há amortecimento crítico visto que os polos na origem instabilizarão o sistema para k 0 e após isso o sistema é sempre terá um par de complexo conjugados Sistema 3 LGR Considere cujos polos são p 2 p 1 1j e os zeros são z 4 2j Lembrando que a fase de complexo conjugados é nula visto que um anula o outro Escolhendo um ponto de teste s temos Intervalo s 2 Condição angular s 2 0 não satisfaz s 2 180 satisfaz As assíntotas são âng assíntota 1802n 1 1 180 Observe que no eixo real o polo em 2 tenderá para e o par de polo complexos conjugados irão para os zeros complexo conjugados a medida que k aumenta O LGR final é apresentado na FIG 4 6 5 4 3 2 1 0 σ 4 2 0 2 4 jω LGR de CsG 3 s Figura 4 Questão 2c de G3s Região de estabilidade A função transferência de malha fechada é Hs ks2 8s 20 s 2s2 2s 2 ks2 8s 20 ks2 8s 20 s3 k 4s2 8k 6s 20k 4 Aplicando Routh Da linha s2 vêse k 4 Da linha s0 tem que k 15 Admitindo 4 15 k de s1 vemos que uma parábola de concavidade positiva e que não tem raízes reais k 1125 j1111 Logo s1 é sempre positivo Assim o sistema é estável se em especial não se usa ganhos negativos e na prática temos k 0 Raízes reais Pelo LGR sabemos que para qualquer ganho o par de polos complexos continuarão existindo Raízes duplas Os polos serão complexo conjugados para k 0 Raízes no eixo Pelo LGR já vimos que o sistema não toca o eixo Coeficiente de amortecimento 0707 Primeiro observamos que para k1 0 os polos complexo conjugados estão exatamente sob a reta de 0707 Ainda existe outro ponto em aproximadamente s 454 j454 Pela condição de módulo Amortecimento crítico Não há amortecimento crítico visto que o sistema sempre será subamortecido Sistema 4 LGR Considere CsG4s ks 14 s 32s 10 cujos polos são p 3 p 10 e o zero é z 14 Escolhendo um ponto de teste s temos Intervalo 2 s 3 s 14 s 10 Condição angular s 3 0 0 0 não satisfaz 14 s 3 360 0 0 não satisfaz 10 s 14 360 180 0 satisfaz s 10 360 180 180 não satisfaz As assíntotas são âng assíntota 1802n 1 2 90 Observe que os polos em s 3 sairão em complexo conjugado enquanto que o polo em 10 será atraído para o zero do sistema 10 8 6 4 2 0 2 σ 10 5 0 5 10 jω LGR de CsG 4 s Figura 5 Questão 2d de G4s Região de estabilidade A função transferência de malha fechada é Hs ks 025 s 32s 10 ks 025 ks 025 s3 4s2 k 51s 025k 90 Aplicando Routh s3 1 k 51 s2 4 025k 90 s1 09375K 735 s0 025k 90 Da linha s0 vêse k 360 Mas da linha s1 segue que k 735 09375 784 Assim o sistema será estável se k 784 Raízes reais Do LGR percebe que para qualquer ganho não nulo os polos em 3 serão complexos conjugados Portanto apenas para k 0 Raízes duplas Os polos serão complexo conjugados para k 0 Raízes no eixo jω O sistema será oscilatório com amplitude constante quando o ganho for k 784 de acordo com a tabela de Routh Coeficiente de amortecimento ζ 0707 O LGR não passa pela reta definida para ζ 0707 Amortecimento crítico O amortecimento crítico ocorre para k 784 Questão 3 Primeiro sumarizamos na tabela a seguir o valor de ζ e ωn escolhidos para projeto dos compensadores Caso ζ ωn Critérios a 06901 14491 Mp 5 e tp 4 b 05912 54634 Mp 10 e tr 05 d 05155 58195 tp0100 063 e ts5 1 Sistema 1 Foram projetados para os casos ad um compensador de avanço ou atraso no qual escolheuse sempre zc 6 a fim de cancelar com o polo do sistema Então o polo do compensador deveria corrigir a fase do polo restante com relação ao polo dominante de projeto oriundo de ζ e ωn da tabela no início da questão Neste caso os compensadores de avanço obtidos foram Gcs 05249s 6 s caso a Gcs 62487s 6 s 4459 caso b Gcs 05249s 6 s caso c Gcs 73994s 6 s 4 caso d note que o caso c é idêntico ao a pois como o polo do compensador é um integrador ele garante erro estático nulo para entradas do tipo degrau E ainda o sobressinal do caso a está dentro da faixa requerida no caso c Sistema 2 De modo similar ao caso anterior foram projetados compensadores de avanço ou atraso em que se escolhia o zero em zc 4 para cancelar com o polo da planta Os compensadores de avanço obtidos foram Gcs 20997s 4 s 2 caso a Gcs 29849s 4 s 6459 caso b Gcs 20997s 4 s 2 caso c Gcs 33867s 4 s 6 caso d novamente o caso c é igual ao a Contudo neste caso o integrador é da planta Sistema 3 De modo similar ao caso anterior foram projetados compensadores de avanço ou atraso em que se escolhia o zero em zc 10 para cancelar com o polo da planta Os compensadores de avanço obtidos foram Gcs 18917s 06 s 7127 caso a Gcs 13496s 06 s 154 caso b Gcs 12619s 7807 s caso c Gcs 19103s 06 s 004066 caso d novamente o caso c é igual ao a Contudo neste caso o integrador é da planta FTE029 Lista de Exercícios 2 PARTE 2 de 2 Questão 1 Passo 1 O coeficiente de amortecimento para Mp 10 é e a largura de banda requerida para tp 01 é Passo 2 Para atingir o requisito de erro temos que assim Passo 3 O diagrama de bode de K Gs é mostrado a seguir Passo 4 A margem de fase é φM tg1 2ζ 2ζ² 1 4ζ4 586 Passo 5 A nova frequência da margem de fase deve ser próxima de ωBW 452 rads Escolhemos então 30 rads Passo 6 Nesta frequência a fase sem compensação é de 167 e se adicionar uma pequena contribuição do compensador de atraso de 5 o compensador de avanço deve compensar φM 180 167 5 454 Passo 7 O máxima fase compensada é dada por φmáx sen1 1 β 1 β β 1 sen φmáx 1 sen φmáx ao qual para φ 55 temos um β 013 e então γ 1β 77 Escolhendo a frequência de corte do compensador como 1 década abaixo de 30 rads o compensador de atraso se torna Glags 1γ s 1T2 s 1γT2 01s 3 s 039 Passo 8 Para ωmáx 30 e β 013 temos que 1T1 ωmáxβ 1082 e o compensador de avanço fica Gleads 77s 1082 s 8321 Passo 9 O compensador de avanço e atraso projetado é Gcs 360s 1082s 3 s 8321s 039 canto da porção por avanço de fase são ω 098 rads e ω 98 rads O compensador é Gcs s 098s 0458 s 98s 00458 O ramo direto da malha aberta se torna KGcsGs 490s 098s 0458 s 98s 00458s 12s 10 O bode do sistema acima é mostrado a seguir e comprova o projeto do compensador 22 Questão 4 Letra a O sistema a ser compensado é Gs 1 s2 1 1 s 1s 1 que contém um polo instável Escrevendo em jω temos Gjω 1 1 jω 1 jω 1 O módulo de Gjω é Gjω 20 log 1 1 jω 1 jω 1 40 log 1 ω² Para ω1 temos Gjω 40 log 1 0 dB Para ω 1 temos Gjω 40 logω 40 dBdc Já a fase será dada por ϕ tg1ω tg1ω 1 180 pois tg1 é uma função ímpar mas o segunda termo se encontra no segundo quadrante O Bode então fica 23 Este sistema tem margem de fase e de ganho nulas Portanto o avanço de fase adicional necessário para satisfazer os requisitos de projeto é de 35 no qual se adicionou 5 devido ao deslocamento da frequência de cruzamento de ganho Se α 027 temos que φm 35 E então visto que φm ocorre na média geométrica das frequências de canto segue que 20 log 1 α 20 log 1 027 569 dB que ocorre em ωc 1 569 40 114 rads Questão 2 Ajustando o ganho K para atender à constante de erro estático de velocidade requerido segue Kv lim s0 sGs K s 105s 1 K igualando ao requerido Kv 5 vemos que K 5 Traçando o Bode de Gs temos A frequência em que a margem de fase é 40 é ω 07 rads Portanto a frequência do sistema compensado deve ser próxima a ela A frequência de canto inferior deve ser escolhida um pouco abaixo deste valor no caso selecionamos ω1 1T 01 rads Agora como é recomendado adicionar de 5 a 12 na margem de fase tomamos a margem de fase de projeto como 52 Neste caso verificando no Bode em que frequência a marge é 180 52 128 e encontramos que é em torno de 5 rads a nova frequência de cruzamento de ganho A atenuação deve ser no mínimo 10 dB logo escolhese 20 dB que leva a 20 log 1 β 20 β 10 Então a outra frequência de canto é ω2 1 βT 001 rads Por fim o ganho do compensador deve ser Kc K β 5 10 05 O compensador projetado é Gcs 05 s 01 s 001 O bode do sistema compensado é mostrado a seguir no qual percebemos que a margem de fase é de 40 e a margem de ganho é de 11 dB Questão 3 O ganho do sistema deve ser ess 1 1 Kp Kp 1 ess ess 098 002 49 O ganho do sistema então é Kp lim s0 GcsGs K 10 assim K 490 O diagrama de Bode de KGs é mostrado abaixo A fase de KGjω 180 ocorre em ω 458 rads É conveniente escolher a nova frequência de cruzamento de ganho como 458 rads de modo que o ângulo de avanço de fase requerido em ω 458 rads seja de aproximadamente 50 o que é inteiramente possível utilizandose uma única rede por atraso e avanço de fase Escolhendo a frequência de canto ω 1T2 como uma década abaixo da frequência de cruzamento então ω 0458 Lembrando que se β 10 temos que o ângulo máximo de sen ϕm β 1 β 2 ϕm 55 O compensador de atraso é então Glads s 0458 s 00458 Perceba que Gj458 613 dB Logo em ω 458 o compensador deve ter uma ganho de 613 dB A partir desse requisito é possível traçar uma reta com inclinação de 20 dB por década passando pelo ponto 458 rads 13 dB As intersecções dessa reta com a reta 0 dB e com a linha 20 dB determinam as frequências de canto Assim as frequências de Por fim o polo e zero do compensador é 1 T αωc 059 1 αT ωc α 22 O compensador por avanço de fase determinado assim é Gcs s 059 s 22 Verificando o compensador de avanço traçando o Bode com o MATLAB obtemos o resultado a seguir veja que o compensador foi ineficiente o que se esperava visto que Gjω 180 e então qualquer compensador de avanço não conseguirá fazer com que o sistema tenha margem de fase Letra b O LGR de Gs é mostrado abaixo Observe como de fato a margem de ganho é nula pois não existe valor de k para que o sistema seja estável Além disso em malha aberta o sistema é instável o que no diagrama de Bode é percebido pela falta da margem de fase Letra c Observe que o sistema é instável e portanto não é possível obter sua resposta em frequência experimentalmente Embora métodos matemáticos possam ser aplicados a sistemas instáveis a resposta a frequência tem sentido físico apenas para sistemas estáveis Questão 5 Desenhando o Diagrama de Nyquist de GsHs 3K ss 1s 3 pois o sensor tem a função transferência Hs 1 a Nyquist para K 1 b Zoom c Nyquist com K 4 d Nyquist com K 4 Para que esse sistema seja estável é necessário que N Z 0 ou que o lugar geomé trico de GsHs não envolva o ponto 1 j0 sinalizado em vermelho Assim perceba que se a curva ali entorno da origem for menor que 1 o sistema será estável Mas caso ela seja maior o ponto 1 será envolto duas vezes no sentido horário indicando dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e o sistema será instável Veja que a curva toca no eixo real em 025 Assim como se utilizou K 1 para K 4 ela passará no 1 pela linearidade Isso foi validade fazendo o Nyquist com K 4 Já para ganhos negativos observe que o 1 será envolvido pelo contorno no infinito Neste caso haverá um polo instável Letra a Diante do exposto o sistema será estável se 0 k 4 e marginalmente estável se k 4 Letra b Se K 4 haverão duas raízes no SPD e o sistema será instável Se K 0 haverá uma raiz no SPD O LGR abaixo comprava exatamente a análise feita pois quando K 4 o sistema terá um par de polos complexo no SPD e para K 0 o polo em zero irá caminhar para e K 0 f K 0