Lista de Exercícios Resolvidos Sistemas de Controle 2022 - Engenharia

1 6 SISTEMAS DE CONTROLE 1a LISTA DE EXERCÍCIOS 20222 21112016 1a Classifique os seguintes sistemas Justifique as respostas a dy t ty t u t dt b t t d u e y t 2 c t t d u e y t 2 2 d sen u t y t e 5 1 1 2 1 1 6 6 2 y k y k y k u k u k 2a A resposta ao impulso unitário de um sistema linear e invariante no tempo é mostrado na Fig 01 Determine a resposta ao sinal ut mostrado na Fig 02 Fig 01 Resposta ao impulso Fig 02 Entrada 3a Determine a transformada de Laplace dos sinais definidos nos itens a seguir para t 0 a b 2 2 t cos3 u t te t c d 3 3 1 t u t e 4a Determine a transformada de Laplace inversa dos sinais definidos nos itens a seguir a 2 10 4 4 U s s s b 3 1 1 U s s c 2 10 2 1 2 2 s U s s s s s d 2 2 2 e s U s s s 5a Determine a função de transferência para cada um dos sistemas a 2 2 2 5 2 1 d y t dy t y t u t u t dt dt 2 1 1 gt t 2 1 1 ut t 1 2 6 b 3 2 3 2 2 5 6 3 d y t d y t dy t du t y t u t dt dt dt dt c 2 1 3 2 t g t e sen t resposta ao ipulso d 2 0 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 x t x t u t y t x t u t 6a O diagrama de blocos de um sistema de controle é mostrado abaixo K1 yt ut 3 K6 2 K5 1 K4 3 K3 1 s G3s 1 s2 G2s 1 s G1s 2 K2 2 a Esboce o diagrama de fluxo de sinal do sistema b Determine a função de transferência global equivalente c Represente o sistema por modelo de espaço de estados 7a Para o circuito elétrico abaixo a Determine a função de transferência do circuito b Converta o modelo para espaço de estado c Quais as condições iniciais deixadas nos capacitores quando o circuito é excitado por um impulso unitário Considere o sistema relaxado em t 0 3 6 8a Determine a função de transferência equivalente do diagrama de fluxo de sinal do sistema mostrado na figura abaixo G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 H1 H2 H3 H4 H5 Y U 9a Para o circuito elétrico abaixo d Determine a função de transferência do circuito e Fazendo análise de regime transitório e regime permanente determine os coeficientes que estão faltando na função de transferência 2 2 1 1 2 2 1 s G s s s RC R C f Converta o modelo para espaço de estado g Quais as condições iniciais deixadas nos capacitores quando o circuito é excitado por um impulso unitário Considere o sistema relaxado em t 0 10a Uma vista em corte de um altofalante é mostrada na figura A bobina é rigidamente ligada a um diafragma móvel constituindo um corpo de massa M e com constante de elasticidade K de maneira que um sinal de áudio et movimenta o diafragma produzindo ondas sonoras Considere que o imã permanente produz um campo magnético uniforme com densidade de fluxo e que o comprimento total dos condutores da bobina móvel é a Desenhe o circuito eletromecânico equivalente b Modele o sistema supondo que a saída é o deslocamento do diafragma et M 4 6 11a Um sistema de controle de nível é mostrado na figura As N válulas são idênticas e têm vazões controladas simultaneamente por ação do motor de forma proporcional a v Cada uma das N válvulas tem contante de proporcionalidade de Kv10 ft3srad enquanto que a válula de saída tem constante Ko10 ft3srad Considere Resistência do motor Ra 10 Inércia na carga JL 10 ozins2 Constante de torque Ki10 ozinA Relação de tranmissão engrenagens n 1100 Constante de fcem Kb00706 Vrads Indutância do motor La 0 H Área da base do tanque A50 ft2 Atrito nos mancais B 0 Nfts Inércia do motor Jm 0005 ozins2 Constante do conjunto potenciômetro bóia sensor de nível Ks 1 Vft 6 2 4 5 1 3 49 R R R R R R a Faça um diagram de blocos para o sistema identifique a planta controlador etc b Determine a função de transferência de cada bloco c Determine a função de transferência do caminho direto Sistema em malha aberta d Determine a função de transferência global Sitema em malha fechada Considere 2 1 1 R R e Modele o sistema por variáel de estado Considere 1 2 3 m m d x x x dt como estados 12a Um filtro do tipo noch é mostrado na figura R1R2R R3R2 C1C2C e C32C 5 6 a Modele o filtro por espaço de estado b Faça um diagrama de fluxo de sinal c Determine a função de transferência 13a Para o sistema mecânico mostrado na figura considere desprezível a inércia das polias e que a corda não sofre elasticidade A entrada do sistema é uma força aplicada em M1 e a saída a velocidade da massa M2 Há atrito entre M2 e solo a Modele o sistema por equação diferencial b Determine a função de transferência c Qual a resposta ao impulso para M1 M2 08 Kg K1 K2K3 05 Nm e B2 02 Nms2 14a Determine as condições iniciais do circuito quando excitado por um impulso unitário de tensão 6 6 1 2 3 4 1 2 1 4 1 2 3 05 1 R R R R C C F L H Questão 1 Lembrando da definição das classificações Sistema ContínuoDiscreto Sistemas contínuos são aqueles que variam continuamente ou seja estão em função de t Já os sistemas discretos são o oposto disso e estão em função de n ou k Sistemas Sem Memória Um sistema é sem memória se a saída y num instante t depende SOMENTE da entrada u naquele instante Ou seja yt fut sendo f uma função exemplo fut sen ut Sistema Linear Um sistema é linear se tiver a propriedade de que se a saída do sistema para a entrada u1 é y1 e a saída para a entrada u2 é y2 Então a saída para uma entrada u1 ku2 é y1 ky2 Causal A saída em qualquer instante independe da entrada em tempos futuros Letra a A dinâmica do sistema é descrita por ẏt tyt ut sendo u a entrada e y a saída Este sistema pode ser classificado como Contínuo A entrada e a saída variam com t uma variável contínua Com memória Devido a operação de derivada Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saída de ordem um sem fatores quadráticos cúbicos e afins ou multiplicações entre a entrada e a saída ytut Variante no Tempo Porque aparece o termo tyt Causal Dada qualquer condição yt0 y0 o sistema é um PVI problema de valor inicial Pelo Teorema da Existência e Unicidade de Solução ele tem uma única solução y yt Isto é ele é causal Letra b A dinâmica do sistema é descrita por yt até t etτ2 uτdτ até t xτdτ xτ etτ2 uτ sendo u a entrada e y a saída Perceba que durante a integração t é constante e portanto x depende apenas de τ Este sistema pode ser classificado como Contínuo A entrada e a saída variam com t uma variável contínua Com memória Devido a operação de integração Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saída de ordem um sem fatores quadráticos cúbicos e afins ou multiplicações entre a entrada e a saída ytut Causal Pelo Teorema Fundamental de cálculo seja X a primitiva de x segue que yt Xt X admitindo que X converge portanto o sistema é causal7 Letra c A dinâmica do sistema é descrita por yt até t et2τ2 uτdτ et2 até t xτdτ xτ eτ2 uτ sendo u a entrada e y a saída Perceba que durante a integração t é constante e portanto x depende apenas de τ Este sistema pode ser classificado como Contínuo A entrada e a saída variam com t uma variável contínua Com memória Devido a operação de integração Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saída de ordem um sem fatores quadráticos cúbicos e afins ou multiplicações entre a entrada e a saída ytut Causal Pelo Teorema Fundamental de cálculo seja X a primitiva de x segue que yt Xt X admitindo que X converge portanto o sistema é causal Letra d A dinâmica do sistema é descrita por yt sen ut sendo u a entrada e y a saída Este sistema pode ser classificado como Contínuo A entrada e a saída variam com t uma variável contínua Sem memória A saída no instante t depende somente da entrada u neste instante Não Linear Porque a saída y varia conforme uma senoide da entrada u uma função não linear Por exemplo se ut π2 segue que yt senπ2 1 Dobrando a entrada 2ut π perceba que não dobramos a saída pois yt senπ 0 Causal Sistema é causal sem memória logo ele é causal8 Letra e A dinâmica do sistema é descrita por yk 2 56 yk 1 16 yk uk 1 12 uk yk 6uk 1 3uk 6yk 2 5yk 1 sendo u a entrada e y a saída Este sistema pode ser classificado como Discreto A entrada e a saída variam com k uma variável discreta Com memória A saída no instante k depende da entrada em k 1 e k 2 Linear Porque contém apenas somas de fatores da entrada e saída de ordem um sem fatores quadráticos cúbicos e afins ou multiplicações entre a entrada e a saída ytut Causal Sistema é causal porque a saída no instante k não depende da entrada em tempos futuros Questão 2 A resposta impulsiva do sistema é gt t 0 t 1 2 t 1 t 2 0 caso contrário tθt 2t 1θt 1 t 2θt 2 em que θt é a função degrau ou seja θt 0 t 0 1 t 1 A seguir serão resolvidas várias integrais com a função degrau Por isso uma importante propriedade é a seguinte Seja a e b duas constantes Então θbtθta 0 tb 1 tb 0 ta 1 ta 0 ta ou bt 1 atb Por isso seja f uma função temos que ftθbtθta dt θta ba ft dt o fator θta aparece caso ba note que o intervalo a t b não existirá então o resultado é nulo Já a entrada podemos descrevêla como ut 1 0t1 1 1t2 0 caso contrário θt 2θt1 θt2 Então como foi dito que se trata de um LTI sistema linear e invariante no tempo temos que a saída para qualquer entrada é dada por yt h ut utτgτ dτ uvgtv dv Usando a primeira definição da integral podemos resolver usando que a Integral da Soma é a Soma das Integrais Ou seja vamos encarar cada parcela de u multiplicando gτ e resolver a integral e depois somar tudo Parcela θt y1t θtττθτ 2τ1θτ1 τ2θτ2 dτ τθtτθτ dτ 2 τ1θtτθτ1 dτ τ2θtτθτ2 dτ θt t0 τ dτ 2θt1 t11 τ1 dτ θt2 t22 τ2 dτ 12θtt2 θt1t12 12θt2t22 Parcela 2θt1 y2t 2θt t10 τ dτ 4θt1 t11 τ1 dτ 2θt2 t12 τ2 dτ θtt12 2θt1t22 θt2t32 Parcela θt2 y3t θt t20 τ dτ 2θt1 t21 τ1 dτ θt2 t22 τ2 dτ 12θtt22 θt1t32 12θt2t42 Somando tudo yt y1t y2t y3t θt t2 t12 t222 θt1 t12 2t22 t32 θt2 t222 t32 t422 θt 2θt1 θt2 Questão 3 Letra a Seja ut t2e3t1 e3te3t 2e3e3t Aplicando a transformada de Laplace tabela A1 7 e 6 Us e3s32 2e3s3 2s5e3s32 Letra b Seja ut 2te2t cos 3t A transformada de Laplace de e2t cos 3t é tabela A1 21 Le2t cos 3t s2s22 32 s2s2 4s 13 Usando a propriedade da transformada de Laplace tabela A2 12 que Ltft dFds temos Us 2dds s2s2 4s 13 2s2 4s 5s2 4s 132 Letra c Seja ut sen 2t cos 3t Da trigonometria temos sen x cos y senyx senyx2 o que leva a ut sen 5t sen t2 A transformada de Laplace se torna tabela A1 10 Us 12 5s2 25 1s2 1 2s2 5s2 25s2 1 Letra d Seja ut 31 e3t A transformada de Laplace se torna tabela 2 e 6 Us 31s 1s3 9ss3 1 Questão 4 Letra a Seja Us 10s4s2 4 Fazendo a expansão em frações parciais Us As4 Cs Ds2 4 ACs2 C4Ds 4A4Ds4s2 4 isto é AC 0 4C D0 4A4D10 A12 C12 D2 Portanto Us 05s4 05ss2 4 2s2 4 Aplicando a transformada de Laplace inversa tabela A1 6 11 e 10 ut 05e4t 05 cos 2t sen 2t Letra b Seja Us 1s 13 Da propriedade da Transformada de Laplace tabela A2 10 Leatft Fs a Aplicando a 1 temos Fs 1 1s 13 Fs 1s3 cuja transformada de Laplace inversa é tabela A1 4 ft t22 Lembrando que aplicamos a propriedade então ut t22 et Letra c Seja Us 10s 2ss 1s2 2s 2 A expansão em frações parciais é Us As Bs 1 Cs2 2s 2 A Bs3 3A 2B Cs2 4A 2B Cs 2As 2s 1s2 2s 2 Resolvendo o sistema A B 0 3A 2B C 0 4A 2B C 10 2A 20 temos A 10 B 10 e C 10 Logo Us 101s 1s 1 1s2 2s 2 101s 1s 1 1s 12 1 cuja transformada inversa de Laplace tabela A1 2 6 e 20 é ut 10θt et et sen t Letra d Seja Us e2ss2s 2 Aplicando a propriedade tabela A2 11 Lft aθt a easFs Temos que se a 2 segue Fs 1s2s 2 Ass2 Bs2 Cs 2 A Cs2 2A Bs 2Bs2s 2 Resolvendo o sistema A C 0 2A B 0 2B 1 temos que B 12 A 14 e C 14 Logo Fs 025s 05s2 025s 2 0251s 051s2 0251s 2 Aplicando a transformada inversa de Laplace tabela A1 2 3 e 6 ft 025θt 05t 025e2t Mas como aplicamos a propriedade temos ut ft 2θt 2 14θt 21 2t 2 2e2t 2 Questão 5 Letra a Seja 2ẏj ẏ 5y ut 2ut 1 Aplicando a transformada de Laplace dos dois lados supondo condições iniciais nulas 2s2Ys sYs 5Ys Us 2esUs isolando Ys e Us segue YsUs 1 2es2s2 s 5 Letra b Seja ÿ 2ẏ 5ẏ 6y 3dotu u Aplicando a transformada de Laplace dos dois lados supondo condições iniciais nulas Yss3 2s2 5s 6 Us3s 1 então YsUs 3s 1s3 2s2 5s 6 Letra c Seja a resposta impulsiva do sistema gt 12e2t sen 3t Aplicando a transformada de Laplace YsUs Lgt 12 3s22 32 15s2 4s 13 Letra d Seja ẋ 2 0 0 1 1 1 2 0 1 xt 1 0 1 ut y 0 0 1xt ut A função transferência é dada por YsUs CsI A1B D Calculando sI A sI A s 2 0 0 1 s 1 1 2 0 s 1 As cofactores são Cof a11 s 1 1 0 s 1 s 1s 1 Cof a12 1 1 2 s 1 s 3 Cof a13 1 s 1 2 0 2s 1 Cof a21 0 0 0 s 1 0 Cof a22 s 2 0 2 s 1 s 1s 2 Cof a23 s 2 0 2 0 0 Cof a31 0 0 s 1 1 0 Cof a32 s 2 0 1 1 s 2 Cof a33 s 2 0 1 s 1 s 1s 2 A Adjunta é AdjsI A Cof aijT s 1s 1 s 3 2s 1 0 s 1s 2 0 0 s 2 s 1s 2 T s 1s 1 0 0 s 3 s 1s 2 s 2 2s 1 0 s 1s 2 O determinante da sI A é detsI A s 2 0 0 1 s 1 1 2 0 s 1 s 2s 1s 1 Logo a inversa de sI A é sI A1 AdjsI A detsI A 1 s 2s 1s 1 s 1s 1 0 0 s 3 s 1s 2 s 2 2s 1 0 s 1s 2 Prémultiplicando por C CsI A1 1 s 2s 1s 1 2s 1 0 s 1s 2 Pós multiplicando por B CsI A1B 2s 1 s 1s 2 s 2s 1s 1 s s 2s 1 A função transferência se torna Ys Us s s 2s 1 1 s2 2 s 2s 1 Questão 6 Letra a O diagrama de fluxo de sinal do sistema é Us Ys 1 G1 G2 1 G3 K6 1 K1 1 K2 1 K3 1 K4 1 K5 1 1 Letra b Simplificando a malha interna que contém G1 H1 G1 1 K1G1 1 s 2 Simplificando a malha que tem G3 H2 K6 G3 1 K3G3 3 s 3 As etapas de simplificação do sistema são apresentadas a seguir Passamos a entada de K5 por G2 gerando a segunda configuração Simplificando a malha interna H3 H1 G2 1 K2 H1 G2 1 s2 4s 6 Passando as ligações depois de G2 para depois de H2 simplificando a malha H4 H2 H3 1 K4 H2 H3 3 s3 7s2 18s 21 Por fim Y UH4 1 K5 H2 G2 1 H2 ou seja Ys Us H4 1 K5 H2 G2 1 H2 2s2 9s 6 s3 7s2 18s 21 Letra c Da função transferência obtemos b0 0 b1 2 b2 9 b3 6 a0 1 a1 7 a2 18 a3 21 Fazendo a transformação para forma canônica controlável temos a equação dos estados ẋ 0 1 0 0 0 1 a3 a2 a1 x 0 0 1 u 0 1 0 0 0 1 21 18 7 x 0 0 1 u A equação da saída y b3 a3 b0 b2 a2 b0 b1 a1 b0 x b0 u 6 9 2 x Questão 7 Letra a Igualando a tensão das malhas e aplicando a Lei de Kirchhoff da corrente no nó após Z1 I1 Z2 Z3 I2 Z4 μ I1 Z3 I1 I2 I segue I1 Z4 Z2 1 μ Z3 Z4 I I2 Z2 1 μ Z3 Z2 1 μ Z3 Z4 Observe que Vis Z1 I Z2 I1 Z3 I1 Z1 Z2 Z1 Z3 1 μ Z1 Z4 Z2 Z4 Z3 Z4 Z2 1 μ Z3 Z4 I Vos μ Z3 I1 u Z3 Z4 Z2 1 μ Z3 Z4 I A função transferência se torna Vos Vis μ Z3 Z4 Z1 Z2 Z1 Z3 1 μ Z1 Z4 Z2 Z4 Z3 Z4 Adotando Z1 R1 Z2 1 s C2 Z3 R2 Z4 1 s C1 Assim Vos Vis μ R2 C2 s 1 μ R1 R2 C1 C2 s2 R1 C1 R1 C2 C2 R2 s 1 Letra b Para converter em espaço de estados primeiro dividimos encima e embaixo por 1 μR₁R₂C₁C₂ VosVis b₁s s² a₁s a₂ sendo b₁ μ 1 μR₁C₁ a₁ R₁C₁ R₁C₂ R₂C₂ 1 μR₁R₂C₁C₂ a₂ 1 1 μR₁R₂C₁C₂ ẋ 0 1 a₂ a₁ x 0 1 y 0 b₁ x Letra c O enunciado está confuso mas acredito que ele queira saber como o sistema acomoda após uma entrada impulso partindo de condições iniciais nulas Assim Vos b₁s s² a₁s a₂ Pelo Teorema do Valor Final vo lim s 0 Vos 0 Então os capacitores estarão com carga nula Questão 8 Fazendo as malhas internas de G₃ e G₄ F₁ G₃ 1 G₃H₃ F₂ G₄ 1 G₄H₂ Simplificando a malha F₁ F₂ G₅ e H₁ temos F₃ F₁F₂G₅ 1 F₁F₂G₅H₁ G₃G₄G₅ 1 G₃G₄G₅H₁ G₃G₄H₂H₃ G₃H₃ G₄H₂ Simplificando a malha com G₁ G₂ e H₄ logo F₄ G₁G₂ 1 G₁G₂H₄ Resolvendo a malha com F₃ F₄ e G₇ F₅ F₃F₄ 1 F₃F₄G₇ G₁G₂G₃G₄G₅ G₁G₂G₃G₄G₅G₇ H₁H₄ G₁G₂G₃H₃H₄1 G₄H₂ G₁G₂H₄1 G₄H₂ G₃G₄G₅H₁ H₂H₃ G₃H₃ G₄H₂ 1 Por fim YU F₅G₆ 1 F₅G₆H₅ G₁G₂G₃G₄G₅G₆ G₁G₂G₃G₄G₅G₆H₅ G₇ H₁H₄ G₁G₂G₃H₃H₄1 G₄H₂ G₁G₂H₄1 G₄H₂ G₃G₄G₅H₁ H₂H₃ G₃H₃ G₄H₂ 1 Questão 9 Letra a O circuito é muito parecido ao da questão 7 A modelagem usando impedâncias leva a VosVis μZ₃Z₄ Z₁Z₂ Z₁Z₃1 μ Z₁Z₄ Z₂Z₄ Z₃Z₄ Neste caso Z₁ 1 sC₁ Z₂ 1 sC₂ Z₃ R₂ Z₄ R₁ Então VosVis R₁R₂C₁C₂μs² R₁R₂C₁C₂s² C₁R₁ R₁C₂ 1 μR₂C₂s 1 Letra b Dividindo a função transferêcia por R₁R₂C₁C₂ VosVis μs² s² a₁s a₂ sendo a₁ C₁R₁ R₁C₂ 1 μR₂C₂ R₁R₂C₁C₂ a₂ 1 R₁R₂C₁C₂ Letra c O modelo em espaço de estados é ẋ 0 1 a₂ a₁ x 0 1 u y μa₂ μa₁ x μu Letra d Pelo Teorema de Valor Final vi lim s 0 μs² s² a₁s a₂ 0 Então a tensão nos capacitores é nula Questão 10 Letra b Aplicando a Transformada de Laplace no Circuito Es R Ia s sL Ia s logo Ia s Es sL R A força magnética gerada pela passagem da corrente é Ft B ℓ iₐt Fs B ℓ Ias B ℓ sL R Es O sistema mecânica é modelado por Mÿ Bẏ Ky Ft portanto Ys M s² Bs K B ℓ sL R Es A função transferência se torna Ys Es B ℓ Ms² Bs KsL R Questão 13 Letra a Seja x₁ o deslocamento da massa 1 e x₂ o deslocamento da massa 2 Aplicando a Lei de Newton em cada massa M₁ẍ₁ k₁ k₃ x₁ ft M₂ẍ₂