Algebra Linear - Matriz de Mudança de Base e Transformações

ÁLGEBRA LINEAR Exemplo 65 Considere as duas bases de R² dadas a seguir S u₁ u₂ 1 2 3 5 e S v₁ v₂ 1 1 1 2 a Encontre a matriz P de mudança de base de S para a nova base S Escrevemos cada um dos novos vetores de S como uma combinação linear dos vetores u₁ e u₂ da base original S obtendo 1 1 x1 2 y3 5 ou x 3y 1 2x 5y 1 que fornece x 8 y 3 1 1 x1 2 y3 5 ou x 3y 1 2x 5y 1 que fornece x 11 y 4 Assim v₁ 8u₁ 3u₂ v ₂ 11u₁ 4u₂ e portanto P 8 11 3 4 Observe que as coordenadas de v₁ e v ₂ são as colunas e não as linhas da matriz de mudança de base P b Encontre a matriz Q de mudança de base da nova base S de volta à base antiga S Agora escrevemos cada um dos antigos vetores de base u₁ e u₂ de S como uma combinação linear dos novos vetores v₁ e v₂ da base S obtendo u₁ 4v₁ 3v₂ u₂ 11v₁ 8v ₂ e portanto Q 4 11 3 8 Como era de se esperar pela Proposição 64 Q P¹ De fato poderíamos ter obtido Q simplesmente calculando P¹ Exemplo 66 Considere as duas bases de R³ dadas a seguir E e₁ e₂ e₃ 100 010 001 e S u₁ u₂ u₃ 101 212 122 a Encontre a matriz P de mudança da base E para a base S Como E é a base canônica podemos escrever imediatamente cada elemento da base S como uma combinação linear dos vetores da base E Mais precisamente u₁ 1 0 1 e₁ e₃ u₂ 2 1 2 2e₁ e₂ 2e₃ e portanto P 1 2 1 0 1 2 1 2 2 u₃ 1 2 2 e₁ 2e₂ 2e₃ Novamente as coordenadas de u₁ u₂ e u₃ são as colunas de P Observe que P simplesmente é a matriz cujas colunas são os vetores da base S Isso só é válido porque a base original é a base canônica E b Encontre a matriz Q de mudança da base S para a base E A definição da matriz de mudança de base Q nos faz escrever cada um dos vetores da base canônica como uma combinação linear dos elementos da base S Obtemos e₁ 1 0 0 2u₁ 2u₂ u₃ e₂ 0 1 0 2u₁ u₂ e portanto Q 2 2 3 2 1 2 1 0 1 e₃ 0 0 1 3u₁ 2u₂ u₃ Enfatizamos que para encontrar Q precisamos resolver três sistemas de três equações lineares com três incógnitas sendo um sistema 3 3 para cada um dos vetores e₁ e₂ e e₃ CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 209 Alternativamente poderíamos ter calculado Q P¹ formando a matriz M P I e reduzindo M à forma canônica por linhas