Slide Análise de Investimentos Aula 9-2022 1

Aula 9 - 21/06/2022 Análise de Investimentos Engenharia Econômica Prof. Hilano José Rocha de Carvalho E-mail: hilanocarvalho@gmail.com 1 Sumário: - Análise de Investimentos: - Série em gradiente; - Método do valor atual; - Método do valor periódico equivalente. 2 Análise de Investimento 3 Série em gradiente Série em gradiente crescente São anuidades variáveis crescentes, aquelas em que as parcelas aumentam um mesmo valor Variam na forma de progressão aritmética A diferença entre duas parcelas (razão) é chamada de gradiente Análise de Investimento 4 Série em gradiente crescente – valor atual Fórmula: PV+ = G x FAG+(n/i) FAG+(n/i) = {(1 + i) x [1 – (1 + i)-n] / i – n / (1 + i)n} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Análise de Investimento 5 Série em gradiente crescente – valor atual Exemplo 1: Uma mercadoria foi adquirida em 4 prestações mensais sem entrada, sendo a primeira no valor de $3000,00, a segunda de $6000,00, a terceira de $9000,00 e a quarta de $12000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 15% a.m., qual é o valor desta mercadoria à vista? Análise de Investimento 6 Série em gradiente crescente – montante Fórmula: FV+ = G x FMG+(n/i) FMG+(n/i) = {(1 + i) x [(1 + i)n - 1] / i – n} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Análise de Investimento 7 Série em gradiente crescente – montante Exemplo 1: Qual é o montante no ato do 6º depósito mensal, se o primeiro depósito foi de $200,00 e os demais crescerem $200,00 a cada depósito, recebendo uma taxa de 5% a.m.? Análise de Investimento 8 Série em gradiente Série em gradiente decrescente São anuidades variáveis decrescentes, aquelas em que as parcelas aumentam um mesmo valor Variam na forma de progressão aritmética A diferença entre duas parcelas (razão) é chamada de gradiente Análise de Investimento 9 Série em gradiente decrescente – valor atual Fórmula: PV- = G x FAG-(n/i) FAG-(n/i) = {n - [1 – (1 + i)-n] / i} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Análise de Investimento 10 Séries em gradiente decrescente – valor atual Exemplo 3: Um objeto é vendido em 5 prestações mensais de valores em progressão aritmética, onde a razão e a última prestação são iguais a $500,00. Sabendo que a taxa é de 6% a.m., calcular o valor atual. Análise de Investimento 11 Série em gradiente decrescente – montante Fórmula: FV- = G x FMG-(n/i) FMG-(n/i) = {n x (1 + i) n - [(1 + i)n - 1] / i} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Análise de Investimento 12 Séries em gradiente – montante Exemplo 4: Uma pessoa deposita mensalmente, durante 4 meses, recebendo 8% a.m. de juros. Sendo o primeiro depósito no valor de $50000,00, o segundo de $37500,00, o terceiro de $25000,00, o quarto e o último de $12500,00, qual será o montante no ato do último depósito? Análise de Investimento 13 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Um empresário dispõe de duas propostas para aquisição de um equipamento que propiciará uma receita anual de $750000,00. A alternativa “a”, representa um equipamento de custo inicial de $960000,00, custos operacionais anuais de $435000,00, valor residual nulo e vida útil de 4 anos. A alternativa “b”, por sua vez, representa um equipamento que possui um custo inicial de $1830000,00, valor residual de $300000,00, vida útil de 6 anos e os custos operacionais atingirão $315000,00 no primeiro ano, crescendo $15000,00 anualmente até o sexto ano. Determinar a melhor alternativa, sabendo que a taxa mínima de atratividade da empresa é de 10% a.a. Análise de Investimento 14 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Mínimo múltiplo comum para equiparar os períodos entre as alternativas a) e b): n = 12 anos Alternativa a) Receitas: I. Receitas anuais de $750000 PV = PMT [1 – (1 + i)-n] / i PV = 750000 [ 1 – (1 + 0,1) -12] / 0,1 = $5110268,67 Análise de Investimento 15 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Alternativa a) Despesas: I. Custos operacionais anuais de $435000 PV = PMT [1 – (1 + i)-n] / i PV = 435000 [ 1 – (1 + 0,1) -12] / 0,1 = $2963955,94 II. Custos iniciais (Períodos 0, 4 e 8): PV = 960000 + FV1 / (1 + i)n1 + FV2 / (1 + i)n2 PV = 960000 + 960000/ (1 + 0,1)4 + 960000 / (1 + 0,1)8 PV = $2063540,01 Análise de Investimento 16 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Alternativa a) Receitas: $5110268,87 Despesas = $2963955,94 + $2063540,01 = $5027495,95 Receitas - Despesas = $82772,92 Análise de Investimento 17 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Alternativa b) Receitas: I. Receitas anuais de $750000 PV = PMT [1 – (1 + i)-n] / i PV = 750000 [ 1 – (1 + 0,1) -12] / 0,1 = $5110268,67 II Valor residual (nos períodos 6 e 12) PV = FV1 / (1 + i)n1 + FV2 / (1 + i)n2 = 300000 / (1 + 0,1)6 + 300000 / (1 + 0,1)12 = $264931,43 Análise de Investimento 18 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Alternativa b) Despesas: I. Custos operacionais anuais de $300000 PV = PMT [1 – (1 + i)-n ] / i PV = 300000 [ 1 – (1 + 0,1) -12] / 0,1 = $2044107,60 II. Custos operacionais das séries em gradiente crescente: De 0 a 6: PV+ = G x FAG+(n/i) = G x {(1 + i) x [1 – (1 + i)-n] / i – n / (1 + i)n} / i = $15000 x {(1 + 0,1) x [1 – (1 + 0,1)-6] / 0,1 – 6 / (1 + 0,1)6} / 0,1 = $210591,48 Análise de Investimento 19 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Alternativa b) Despesas: De 6 a 12: PV+ = G x FAG+(n/i) = G x {(1 + i) x [1 – (1 + i)-n] / i – n / (1 + i)n} / i = $15000 x {(1 + 0,1) x [1 – (1 + 0,1)-6] / 0,1 – 6 / (1 + 0,1)6} / 0,1 = $210591,48 Que na data-zero é: FV = PV+ PV = FV / (1 + i)n = $210591,48 / (1 + 0,1)6 = $118873,40] Análise de Investimento 20 Método do valor atual ou valor presente Exemplo 5: Alternativa b) III. Custo inicial (nos períodos 0 e 6) PV = 1830000 + FV1 / (1 + i)n1 = 1830000 + 1830000 / (1 + 0,1)6 = $2862987,294 Receitas: $5110268,87 + $264931,43 = $5375200,30 Despesas = $2044107,60 + $210591,48 + $118873,40 + $2862987,29 = $5236559,72 Receitas – Despesas = $138640,58 Portanto, a melhor alternativa para o empresário é a b), pois dela resulta a maior diferença entre receitas e despesas. Análise de Investimento 21 Método do valor periódico equivalente Exemplo 6: Um empresário dispõe de duas propostas para aquisição de um equipamento que propiciará uma receita anual de $750000,00. A alternativa “a”, representa um equipamento de custo inicial de $960000,00, custos operacionais anuais de $435000,00, valor residual nulo e vida útil de 4 anos. A alternativa “b”, por sua vez, representa um equipamento que possui um custo inicial de $1830000,00, valor residual de $300000,00, vida útil de 6 anos e os custos operacionais atingirão $315000,00 no primeiro ano, crescendo $15000,00 anualmente até o sexto ano. Determinar a melhor alternativa, sabendo que a taxa mínima de atratividade da empresa é de 10% a.a. Análise de Investimento 22 Método do valor periódico equivalente Exemplo 6: Alternativa a) Receitas: I. Receitas anuais de $750000 Despesas: I. Custos operacionais anuais de $435000 II. Custos iniciais: PMT = PV x i / [1 – (1 + i)-n] = 960000 x 0,1 / [1 – (1 + 0,1)-4] = $302851,54 Análise de Investimento 23 Método do valor periódico equivalente Exemplo 6: Alternativa a) Receitas: $735000 Despesas = $435000 + $302851,54 = $737851,54 Receitas - Despesas = $12148,46 Análise de Investimento 24 Método do valor periódico equivalente Exemplo 6: Alternativa b) Receitas: I. Receitas anuais de $750000 II Valor residual PMT = FV x i / [(1 + i)n – 1] = 300000 x 0,1 / [(1 + 0,1)6 – 1] = $38882,21 Análise de Investimento 25 Método do valor periódico equivalente Exemplo 6: Alternativa b) Despesas: I. Custos operacionais anuais de $300000 II. Custos operacionais das séries em gradiente crescente: De 0 a 6: PV+ = G x FAG+(n/i) = G x {(1 + i) x [1 – (1 + i)-n] / i – n / (1 + i)n} / i = $15000 x {(1 + 0,1) x [1 – (1 + 0,1)-6] / 0,1 – 6 / (1 + 0,1)6} / 0,1 = $210591,48 PMT = PV x i / [1 – (1 + i)-n] = 210591,48 x 0,1 / [1 – (1 + 0,1)- 6] = $48353,36 Análise de Investimento 26 Método do valor periódico equivalente Exemplo 6: Alternativa b) III. Custo inicial PMT = PV x i / [1 – (1 + i)-n] = 1830000 x 0,1 / [1 – (1 + 0,1)-6] = $420181,51 Receitas: $750000 + $38882,21 = $788882,21 Despesas = $300000 + $48353,36 + $420181,51 = $768534,86 Receitas – Despesas = $20347,35 Portanto, a melhor alternativa para o empresário é a b), pois dela resulta a maior diferença entre receitas e despesas periodicamente. Análise de Investimento Exercícios propostos: 27 1. O diretor do DNER pretende construir uma rodovia para unir duas cidades. Considerando uma taxa de atratividade de 15% a.a., qual a alternativa mais econômica? a) Atravessar uma baixada onde o custo é de $800000,00, para uma distância entre as duas cidades de 42 km. A despesa de conservação é de $50000,00 ao ano por 8 anos, após os quais deverá sofrer uma reforma que custará $500000,00 para cada 8 anos. b) Passar por um morro onde a distância será de 64 km. O custo inicial é de $1500000,00 e terá uma despesa de conservação de $15000,00 no 1º ano e a cada ano um acréscimo de $1000,00, até 24 anos, quando precisará uma reforma que custará $400000,00, repetindo-se o ciclo. Análise de Investimento Exercícios propostos: 28 1. I) Pelo método do valor atual. II) Pelo método periódico equivalente. Considerar um período de 48 anos para análise.