Slide - Séries Uniformes de Pagamentos - 2023-1

Aulas 10 e 11 – 02/05 e 09/05/2023 (03/05 e 10/05/2023) Séries uniformes de pagamentos Engenharia Econômica Prof. Hilano José Rocha de Carvalho E-mail: hilanocarvalho@gmail.com 1 Sumário: - Séries uniformes de pagamentos ou anuidades: - Classificação; - Modelo básico de anuidade: - Relativo ao valor presente; - Relativo ao valor presente; - Relativo ao montante; - Anuidade antecipada: - Relativa ao valor atual; - Relativa ao montante; 2 Sumário: - Anuidades diferidas: - Definição; - Cálculo do valor atual; - Valor da prestação em relação ao valor atual; - Número de prestações em relação ao valor atual; - Número de prestações em relação ao valor atual; - Tempo de carência em relação ao valor atual; - Taxa em relação ao valor atual; - Montante em anuidade diferida; - Prestação em relação ao montante; - Número de depósitos em relação ao montante; - Período de carência em relação ao montante; - Taxa em relação ao montante. 3 Sumário: - Séries em gradiente: - Crescente – valor atual; - Crescente - montante - Decrescente – valor atual; - Decrescente – montante; 4 Séries uniformes de pagamentos • Prazo: – Temporárias: com duração limitada (Ex. financiamento); – Perpétuas: com duração ilimitada (Ex. aluguel) Classificação – Perpétuas: com duração ilimitada (Ex. aluguel) • Valor: – Constantes: pagamentos e recebimentos todos em valores iguais; – Variáveis: pagamentos ou recebimentos não são de valores iguais. 5 Séries uniformes de pagamentos Classificação • Forma: - Imediatas - o primeiro pagamento, recebimento ou depósito ocorre no primeiro período: - Postecipadas: no final do período ou sem entrada; 6 - Postecipadas: no final do período ou sem entrada; - Antecipadas: no início do período ou com entrada igual às demais prestações. - Diferidas - quando o primeiro pagamento ou recebimento não ocorre no primeiro período: - Postecipadas: desconsiderada a carência, como as anuidades imediatas postecipadas; - Antecipadas: desconsiderada a carência, como as anuidades imediatas antecipadas. Séries uniformes de pagamentos Classificação • Período: - Periódicas: todos os intervalos entre os pagamentos, recebimentos ou depósitos são iguais; 7 ou depósitos são iguais; - Não periódicas: quando os intervalos não são iguais entre as parcelas. Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor presente Cálculo do valor atual Valor atual de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos é a soma do valor atual do desconto racional composto de cada parcela da anuidade. 8 • Fórmula do valor atual do desconto racional composto: PV = FV / (1+ i)n • PV – Valor atual; FV – montante; • i – taxa de juros; • n – prestação. anuidade. Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor presente Cálculo do valor atual Exemplo: Determinar o valor, à vista, de uma série de 6 9 Exemplo: Determinar o valor, à vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de $ 20000, vencíveis mensalmente, a partir do 1º mês, sabendo que a taxa é 5% a.m. Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor presente Cálculo do valor atual FAP(n/i) - Fator Atual de Prestações de n parcelas na taxa i: 10 FAP (n/i) = [1 – (1 + i)-n] / i • i – taxa de juros; • n – prestação. Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade • Fórmula: PV = PMT x FAP(n/i) Modelo básico de anuidade relativo ao valor presente Cálculo do valor atual 11 PV = PMT x FAP(n/i) • PV – valor atual; • PMT – Valor de cada prestação; • i – taxa de juros; • n – prestação. PV = PMT x [1 – (1 + i)-n] / i Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade relativo ao valor presente Fórmulas derivadas PV = PMT x [1 – (1 + i)-n] / i PMT = (PV x i) / [1 – (1 + i)-n] Valor da prestação 12 PV = PMT x [1 – (1 + i)-n] / i [1 – (1 + i)-n] / i = PV / PMT Cálculo da Taxa Número de prestações [1 – (1 + i)-n] / i = PV / PMT n = - ln[1 – i x (PV / PMT)] / ln (1 + i) Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor presente Exemplo: Um aparelho custa $101513,84, à vista, será vendido em 6 parcelas mensais de $20000, sendo a primeira 13 vendido em 6 parcelas mensais de $20000, sendo a primeira parcela paga um mês após a compra. Qual é a taxa de juros? Séries uniformes de pagamentos Exercícios propostos 1: 1. Um apartamento é vendido por $120000 de entrada e 36 prestações mensais de $6000. Sabendo que a taxa é de 2% a.m., até que ponto é vantagem comprar o apartamento à vista? 14 2. Um magazine tem como política de vendas oferecer um desconto de 4% nas compras à vista. Nas compras a prazo, os clientes deverão pagar 2 prestações mensais iguais, sem acréscimo. Supondo que a taxa de juros corrente é de 2% a.m., qual é a melhor alternativa? 3. Em quantas prestações mensais de $3013,86, sem entrada, será pago um título de um clube de campo, se seu valor à vista é de $30000 e a taxa de juros é de 3% a.m.? Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor futuro Cálculo do valor futuro Valor atual de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos é a soma do valor futuro do desconto racional composto de cada parcela da anuidade. 15 • Fórmula do valor futuro do desconto racional composto: FV = PV x (1+ i)n • PV – Valor atual; • i – taxa de juros; • n – prestação. anuidade. Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor futuro Cálculo do valor futuro Exemplo: Uma pessoa deposita mensalmente numa 16 Exemplo: Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupança programada o valor de $5000. Sabendo que o banco paga juros de 5,5% a.m., quanto possuirá no momento do 5º depósito? Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor futuro Cálculo do valor futuro FMP(n/i) - Fator de Montante de Prestações de n parcelas na taxa i: 17 FMP (n/i) = [(1 + i)n - 1] / i • i – taxa de juros; • n – prestação. taxa i: Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade • Fórmula: FV = PMT x FMP(n/i) Modelo básico de anuidade relativo ao valor futuro Cálculo do valor futuro 18 FV = PMT x FMP(n/i) • FV – montante; • PMT – Valor de cada depósito; • i – taxa de juros; • n – número de depósitos. FV = PMT x [(1 + i)n - 1] / i Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade relativo ao valor futuro Fórmulas derivadas FV = PMT x [(1 + i)n - 1] / i Valor do depósito 19 PMT = (FV x i) / [(1 + i)n - 1] [(1 + i)n - 1] / i = FV / PMT Cálculo da Taxa Número de depósitos [(1 + i)n - 1] / i = FV / PMT n = ln[1 + i x (FV / PMT)] / ln (1 + i) Séries uniformes de pagamentos Modelo básico de anuidade Modelo básico de anuidade relativo ao valor futuro Exemplo: Uma pessoa deseja comprar daqui 5 meses, mercadorias no valor de $27905,46. Quanto deverá depositar 20 mercadorias no valor de $27905,46. Quanto deverá depositar mensalmente, se receber juros de 5,5% a.m.? Séries uniformes de pagamentos Exercícios propostos 2: 1. Que montante obterá, no momento do último depósito, uma pessoa que deposita periodicamente o valor de $10000, conforme prazo e taxa de 24 meses a 1% a.m. 21 2. Uma pessoa depositou, mensalmente, $10000 numa entidade financeira que apresentou, no momento do sexto depósito, o saldo credor de $61520. Determinar a taxa de juros. 3. Quantos depósitos mensais de $12000 serão necessários para obter o montante de $337588,92, junto com o último depósito, sabendo que a instituição paga juros de 5% a.m.? Séries uniformes de pagamentos Anuidade antecipada Anuidade antecipada relativo ao valor atual A primeira parcela ocorre na data zero, como entrada, com igual valor às demais parcelas. Cálculo do valor atual Similar ao caso das anuidades postecipadas, com a diferença de que os 22 • Fórmula: • PV – valor atual; PMT – Valor de cada prestação; • i – taxa de juros; n – prestação. Similar ao caso das anuidades postecipadas, com a diferença de que os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início do período. PV = PMT x FAP(n/i) x (1+ i) PV = PMT x (1+ i) x [1 – (1 + i)-n] / i Séries uniformes de pagamentos Anuidade antecipada relativo ao valor atual Fórmulas derivadas PV = PMT x (1+ i) x [1 – (1 + i)-n] / i Valor da prestação 23 PMT = (PV x i) / {(1+ i) x [1 – (1 + i)-n]} (1+ i) x [1 – (1 + i)-n] / i = (PV / PMT) Cálculo da Taxa Número de prestações (1+ i) x [1 – (1 + i)-n] / i = PV / PMT n = - ln[1 – i x (PV / PMT) / (1 + i)] / ln (1 + i) Séries uniformes de pagamentos Anuidade antecipada Anuidade antecipada relativo ao montante A primeira parcela ocorre na data zero, como entrada, com igual valor às demais parcelas. Cálculo do montante Similar ao caso das anuidades postecipadas, com a diferença de que os 24 • Fórmula: • FV – montante; PMT – Valor de cada depósito; • i – taxa de juros; n – depósito. Similar ao caso das anuidades postecipadas, com a diferença de que os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início do período. FV = PMT x FMP(n/i) x (1+ i) FV = PMT x (1+ i) x [(1 + i)n - 1] / i Séries uniformes de pagamentos Anuidade antecipada relativo ao montante Fórmulas derivadas FV = PMT x (1+ i) x {[(1 + i)n - 1] / i} PMT = (FV i) / {(1+ i) [(1 + i)n - 1]} Valor do depósito 25 PMT = (FV x i) / {(1+ i) x [(1 + i)n - 1]} (1+ i) x [(1 + i)n - 1] / i = (FV / PMT) Cálculo da Taxa Número de depósitos (1+ i) x [(1 + i)n - 1] / i = FV / PMT n = ln[1 + i x (FV / PMT) / (1 + i)] / ln (1 + i) Séries uniformes de pagamentos Exercícios propostos 3: 1. Uma loja anuncia a venda de uma geladeira em 12 prestações mensais de $2550, sendo que o primeiro pagamento ocorrerá no ato da compra. Determinar o preço à vista, sabendo que a loja cobra 6% a.m. de juros. 26 vista, sabendo que a loja cobra 6% a.m. de juros. 2. Depositando $2620 no início de cada mês em instituição que paga juros de 5% a.m., qual será o montante no final de cada 30 meses? 3. Uma pessoa deposita mensalmente o valor de $500 numa caderneta de poupança, que paga uma taxa de 2,5017% ao trimestre. Considerando anuidade antecipada e capitalização mensal, qual será o montante após 1 (um) ano? Anuidades Diferidas • Anuidades diferidas antecipadas em relação ao valor atual: primeira parcela vence juntamente com a carência: • Anuidades diferidas postecipadas em relação ao valor Definição • Anuidades diferidas postecipadas em relação ao valor atual: a primeira parcela vence um período após a carência; • Anuidades diferidas em relação ao montante: postecipada, sendo a carência a quantidade de intervalos entre a última parcela e o momento do montante. OBS: Os cálculos utilizarão o anuidade modelo básico. O período de carência terá que ser adequado, quando necessário. 27 Anuidades Diferidas Cálculo do valor atual Combinação das fórmulas do modelo básico de anuidade e do montante composto. Na parte referente às prestações da anuidade diferida, usa- se a fórmula do modelo básico de anuidade. 28 • Fórmula do valor atual : PV = { PMT x [1 – (1 + i)-n] / i } / (1 + i)n • PV – Valor atual; PMT – prestação; FAP (n/i) = [1 – (1 + i)-n] / i • i – taxa de juros; n – prestação. se a fórmula do modelo básico de anuidade. No período de carência, a fórmula do montante composto. Anuidades Diferidas Cálculo do valor atual Exemplo 1: Uma pessoa receberá 12 prestações mensais iguais de $20000 com uma carência de 12 meses. Sabendo que a taxa de juros é de 4% a.m., determine o valor atual, com as prestações vencendo no final do intervalo. 29 com as prestações vencendo no final do intervalo. Anuidades Diferidas Cálculo do valor atual Resposta Exemplo 1: PMT = $20000 i = 4% a.m 30 n = 12 prestações e 12 meses de carência PV = ? I. PV = PMT x [1 – (1 + i)-n] / i PV = 20000 x [1 – (1 + 0,04)-12 / (0.04) PV = $187701,48 Anuidades Diferidas Cálculo do valor atual Resposta Exemplo 1: II. PV = FV / (1 + i)n FV = PV = 187701,48 31 FV = PV = 187701,48 PV = 187701,48 / (1 + 0,04)12 PV = $117237,79 Anuidades Diferidas Valor da prestação em relação ao valor atual Exemplo 2: Uma mercadoria que custa $ 117.237,79 será paga em 12 prestações iguais, sendo a primeira paga 13 meses após a compra, a taxa de 4% a.m. Calcule o valor da prestação. 32 prestação. Anuidades Diferidas Valor da prestação em relação ao valor atual Resposta Exemplo 2: PV = $117237,79 i = 4% a.m 33 n = 12 prestações e 12 meses de carência PMT = ? I. FV = PV x (1 + i)n FV = 117237,79 x (1 + 0,04)12 FV = $187701,48 Anuidades Diferidas Valor da prestação em relação ao valor atual Resposta Exemplo 2: II. PMT = PV / [1 – (1 + i)-n] / i PV = FV = 187701,48 34 PV = FV = 187701,48 PMT = (187701,48 x 0.04) / [1 – (1 + 0,04)-12] PMT = $20000 Anuidades Diferidas Número de parcelas em relação ao valor atual Primeiro, capitalizar o valor atual até 1 (um) intervalo antes da primeira parcela. Segundo, proceder como se calcula o valor de cada parcela 35 Exemplo 3: Uma mercadoria que custa $ 121927,30 será vendida em prestações iguais, no valor de $20000, à taxa de 4% a.m. de juros. Quantas prestações deverão ser pagas, se a primeira for 12 meses após a compra? Segundo, proceder como se calcula o valor de cada parcela do modelo básico de anuidade. Anuidades Diferidas Número de parcelas em relação ao valor atual Resposta Exemplo 3: PV = $121927,30 PMT = $20000 36 i = 4% a.m n = 11 meses de carência (até 1 intervalo antes da 1ª prestação) n = ? I. FV = PV x (1 + i)n PV = 121927,30 x (1 + 0,04)11 = $187701,48 Anuidades Diferidas Número de parcelas em relação ao valor atual Resposta Exemplo 3: II. [1 – (1 + i)-n] / i = PV / PMT PV = FV = 187701,48 37 PV = FV = 187701,48 n = - ln [1 - (PV x i ) / PMT] / ln(1 + i) n = - ln[1 – (187701,48/20000)] / ln(1 + 0,04) n = 12 prestações Anuidades Diferidas Tempo de carência em relação ao valor atual Primeiro, usar a fórmula do modelo básico de anuidade. Segundo, utilizar a fórmula de montante de capitalização composta. 38 Exemplo 4: Uma mercadoria que custa $ 121927,30 será vendida em 12 prestações iguais, no valor de $20000, à taxa de 4% a.m. de juros. Sabendo que há um período de carência, determine-o. composta. Anuidades Diferidas Tempo de carência em relação ao valor atual Resposta Exemplo 4: PV = $121927,30 PMT = $20000 39 i = 4% a.m n = 12 prestações mensais n = ? – tempo de carência I. PV = PMT x [1 – (1 + i)-n] / i PV = 20000 x [1 – (1 + 0,04)-12 / (0,04) PV = $187701,48 Anuidades Diferidas Tempo de carência em relação ao valor atual Resposta Exemplo 4: II. FV = PV x (1 + i)n (1 + i)n = FV / PV 40 (1 + i) = FV / PV FV = $187701,48 n = ln(187701,48/121927,30) / ln(1 + 0,04) n = 11 meses de carência Anuidades Diferidas Taxa em relação ao valor atual Exemplo 5: Uma mercadoria que custa $ 121927,30 será vendida em 12 prestações iguais de $20000, sendo a primeira prestação paga 12 meses após a compra. Qual foi a 41 primeira prestação paga 12 meses após a compra. Qual foi a taxa de juros cobrada? Anuidades Diferidas Taxa em relação ao valor atual Resposta Exemplo 5: PV = $121927,30 PMT = $20000 i = 4% a.m 42 i = 4% a.m n = 12 prestações mensais n = 11 meses de carência I. PVi = PMT x [1 – (1 + i)-n] / i => PVi = 20000 x [1 – (1 + i)-12] / i II. PV = {20000 x [1 – (1 + i)-12] / i } / (1 + i)11 III. [1 – (1 + i)-12] / i } / (1 + i)11 = (121927,30/20000) => i = 4% a.m. Anuidades Diferidas Montante em anuidade diferida Não existe carência antes dos depósitos, mas depois do último depósito. Primeiro, calcular o montante da anuidade pela fórmula do modelo básico de anuidade. 43 Exemplo 6: Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de $20000, recebendo uma taxa de 10% a.m. de juros. Quanto terá esta pessoa 4 meses após o último depósito? modelo básico de anuidade. Segundo, calcular o montante por capitalização composta. Anuidades Diferidas Montante em anuidade diferida Resposta Exemplo 6: PMT = $20000 i = 10% a.m 44 n = 8 depósitos mensais n = 4 meses de carência FV = ? I. FV = PMT x [(1 + i)n - 1] / i FV = 20000 x [(1 + 0,1)8 - 1] / (0,1) FV = $228717,76 Anuidades Diferidas Montante em anuidade diferida Resposta Exemplo 6: II. FV = PV x (1 + i)n PV = FV = 228717,76 45 PV = FV = 228717,76 FV = 228717,76 x (1 + 0,1)4 FV = $334865,68 Anuidades Diferidas Prestação em relação montante Para calcular a prestação: PMT = (FV x i ) / { [(1 + i)n – 1] x (1 + i)n 46 Exemplo 7: O saldo de uma conta, 4 meses após o oitavo depósito mensal era de $334865,68. Sabendo que os juros são de 10% a.m., qual foi o valor depositado mensalmente? • PV – Valor atual; PMT – prestação; FMP (n/i) = [(1 + i)n - 1] / i • i – taxa de juros; n – prestação. Anuidades Diferidas Prestação em relação montante Resposta Exemplo 7: FV = $334865,68 i = 10% a.m n = 4 meses de carência 47 n = 4 meses de carência n = 8 depósitos mensais PMT = ? PMT = (FV x i ) / { [(1 + i)n – 1] x (1 + i)n PMT = (334865,68 x 0,1)/{ [(1 + 0,1)8 – 1] x (1 + i)4 PMT = $20000 Anuidades Diferidas Número de depósitos em relação ao montante Exemplo 8: Uma pessoa depositou parcelas mensais iguais de $20000, recebendo 10% a.m. de juros. Sabendo que 4 meses após o último depósito seu saldo era de $334865,68, 48 meses após o último depósito seu saldo era de $334865,68, quantos depósitos foram feitos? Anuidades Diferidas Número de depósitos em relação ao montante Resposta Exemplo 8: FV = $334865,68 PMT = $20000 49 i = 10% a.m n = 4 meses de carência n = ? I. PV = FV / (1 + i)n PV = 334865,68 / (1 + 0,1)4 PV = 228717,76 Anuidades Diferidas Número de depósitos em relação ao montante Resposta Exemplo 8: II. FV / PMT = [(1 + i)n – 1] / i FV = PV = 228717,76 50 FV = PV = 228717,76 n = ln[(228717,76/20000) x 0,1 + 1] / ln(1 + 0,1) n = 8 depósitos mensais Anuidades Diferidas Período de carência em relação ao montante Exemplo 9: Uma pessoa depositou 8 parcelas mensais iguais de $20000, recebendo 10% a.m. de juros. Sabendo seu saldo era de $334865,68, quanto tempo faz que realizou 51 seu saldo era de $334865,68, quanto tempo faz que realizou o último depósito? Anuidades Diferidas Período de carência em relação ao montante Resposta Exemplo 9: FV = $334865,68 PMT = $20000 52 i = 10% a.m n = 8 depósitos mensais n = ? I. FV = PMT [(1 + i)n – 1] / i FV = 20000 x [(1 + 0,1)8 – 1] / 0,1 FV = 228717,76 Anuidades Diferidas Período de carência em relação ao montante Resposta Exemplo 9: II. FV = PV x (1 + i)n => (1 + i)n = (FV/PV) PV = 228717,76 53 PV = 228717,76 FV = 334865,68 n = ln(334865,68/228717,76 ) / ln(1 + 0,1) n = 4 meses de carência Anuidades Diferidas Taxa em relação ao montante Exemplo 10: Uma pessoa depositou 8 parcelas mensais iguais de $20000 e, 4 meses após a realização do último depósito, seu saldo era de $334865,68. Calcule a taxa de 54 depósito, seu saldo era de $334865,68. Calcule a taxa de juros. Anuidades Diferidas Taxa em relação ao montante Resposta Exemplo 10: FV = $334865,68 PMT = $20000 55 i = ? n = 8 depósitos mensais n = 4 meses de carência I. {[(1 + i)n – 1] / i } x (1 + i)n = FV / PMT {[(1 + i)8 – 1] / i } x (1 + i)4 = 334865,68 / 20000 i = 0,1 ou 10% a.m. Anuidades Diferidas Exercícios propostos: 1. Uma loja anuncia a venda de uma TV em 12 prestações mensais de $1199, com carência de 6 meses. Qual o preço à vista da TV, se a taxa de juros for de 3% a.m. e se os pagamentos ocorrem no início de cada período? 56 2. Uma geladeira custa $9850 à vista; se o cliente pretende pagar em 5 prestações mensais sem entrada, a primeira paga 5 meses após a compra, e a loja cobrar 5% a.m. de juros, qual será o valor de cada prestação? 3. Um computador custa $1850 à vista. Se o cliente pretende pagar em 5 prestações mensais, sem entrada, com a primeira paga 4 meses após a compra e a loja cobrar 5% a.m de juros, qual será o valor de cada prestação? Anuidades Diferidas Gabarito dos exercícios propostos: 1. $10295,11 2. $2765,40 3. $494,66 57 Séries em Gradiente Série em gradiente crescente São anuidades variáveis crescentes, aquelas em que as parcelas aumentam um mesmo valor 58 parcelas aumentam um mesmo valor Variam na forma de progressão aritmética A diferença entre duas parcelas (razão) é chamada de gradiente Séries em Gradiente Série em gradiente crescente – valor atual Fórmula: PV+ = G x FAG+(n/i) 59 PV+ = G x FAG+(n/i) FAG+(n/i) = {(1 + i) x [1 – (1 + i)-n] / i – n / (1 + i)n} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Séries em Gradiente Série em gradiente crescente – valor atual Exemplo 1: Uma mercadoria foi adquirida em 4 prestações mensais sem entrada, sendo a primeira no valor de $3000,00, a segunda de $6000,00, a terceira de $9000,00 e a quarta de $12000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 15% a.m., qual é o valor desta mercadoria à vista? 60 é o valor desta mercadoria à vista? Séries em Gradiente Série em gradiente crescente – montante Fórmula: FV+ = G x FMG+(n/i) 61 FV+ = G x FMG+(n/i) FMG+(n/i) = {(1 + i) x [(1 + i)n - 1] / i – n} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Séries em Gradiente Série em gradiente crescente – montante Exemplo 1: Qual é o montante no ato do 6º depósito mensal, se o primeiro depósito foi de $200,00 e os demais crescerem $200,00 a cada depósito, recebendo uma taxa de 5% a.m.? 62 Séries em Gradiente Série em gradiente decrescente São anuidades variáveis decrescentes, aquelas em que as parcelas aumentam um mesmo valor 63 parcelas aumentam um mesmo valor Variam na forma de progressão aritmética A diferença entre duas parcelas (razão) é chamada de gradiente Séries em Gradiente Série em gradiente decrescente – valor atual Fórmula: PV- = G x FAG-(n/i) 64 PV- = G x FAG-(n/i) FAG-(n/i) = {n - [1 – (1 + i)-n] / i} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Séries em Gradiente Séries em gradiente decrescente – valor atual Exemplo 3: Um objeto é vendido em 5 prestações mensais de valores em progressão aritmética, onde a razão e a última prestação são iguais a $500,00. Sabendo que a taxa é de 6% a.m., calcular o valor atual. 65 Séries em Gradiente Série em gradiente decrescente – montante Fórmula: FV- = G x FMG-(n/i) 66 FV- = G x FMG-(n/i) FMG-(n/i) = {n x (1 + i) n - [(1 + i)n - 1] / i} / i G – gradiente i – taxa de juros; n – número de parcelas Séries em Gradiente Séries em gradiente decrescente – montante Exemplo 4: Uma pessoa deposita mensalmente, durante 4 meses, recebendo 8% a.m. de juros. Sendo o primeiro depósito no valor de $50000,00, o segundo de $37500,00, o terceiro de $25000,00, o quarto e o último de $12500,00, qual será o montante no ato do último depósito? 67 será o montante no ato do último depósito?