Atividade

Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Estruturas de filtros 1 PDS Aulas ao Vivo Estruturas para sistemas em tempo discreto Um sistema LIT causal é definido pelo diagrama de fluxo da figura a seguir Esta figura representa o sistema como uma cascata de um sistema de segunda ordem em série com um sistema de primeira ordem Sendo o sinal de entrada 𝑥𝑛 095𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 03 𝜋 3 𝑒04𝑛 2 𝑛 6 Usando o ambiente matemático Scilab calcular o sinal de saída 𝑦𝑛 definido por 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 Resolução a Função do sistema 𝐻𝑧 1 081𝑧2 1 03𝑧1 04𝑧2 1 2𝑧1 1 08𝑧1 A primeira parte do polinômio representa um sistema de segunda para o qual devemos identificar os polos do mesmo 𝐻𝑧 1 081𝑧2 1 03𝑧1 04𝑧2 1 2𝑧1 1 08𝑧1 𝑁 𝐷 1 2𝑧1 1 08𝑧1 Denominador 𝐷 𝐷 1 03𝑧1 04𝑧2 1 𝑏𝑧11 𝑐𝑧1 𝐷 1 𝑐𝑧1 𝑏𝑧1 𝑏𝑐𝑧2 1 𝑐 𝑏𝑧1 𝑏𝑐𝑧2 𝐷 1 𝑐 𝑏𝑧1 𝑏𝑐𝑧2 1 03𝑧1 04𝑧2 𝑐 𝑏 03 𝑏𝑐 04 1 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Estruturas de filtros 2 PDS Aulas ao Vivo Resolvendo o sistema de equações 1 𝑏 08 𝑐 05 𝐷 1 08𝑧11 05𝑧1 Portanto a função do sistema com os polos identificados fica 𝐻𝑧 1 081𝑧2 1 03𝑧1 04𝑧2 1 2𝑧1 1 08𝑧1 1 081𝑧21 2𝑧1 1 08𝑧11 05𝑧11 08𝑧1 Resolvendo numerador e denominador 𝐻𝑧 1 081𝑧21 2𝑧1 1 03𝑧1 04𝑧21 08𝑧1 1 2𝑧1 081𝑧2 162𝑧3 1 08𝑧1 03𝑧1 024𝑧2 04𝑧2 032𝑧3 𝐻𝑧 1 2𝑧1 081𝑧2 162𝑧3 1 05𝑧1 064𝑧2 032𝑧3 Como numerador e denominador tem a mesma ordem para simplificar a estrutura usaremos divisão longa 𝐻𝑧 50625 243𝑧2 453𝑧1 60625 1 05𝑧1 064𝑧2 032𝑧3 𝐻𝑧 50625 60625 453𝑧1 243𝑧2 1 08𝑧11 05𝑧11 08𝑧1 50625 𝑃𝑧 Resolvendo o polinômio 𝑃𝑧 por frações parciais 𝑃𝑧 60625 453𝑧1 243𝑧2 1 08𝑧11 05𝑧11 08𝑧1 𝐴 1 08𝑧1 𝐵 1 05𝑧1 𝐶 1 08𝑧1 𝑃𝑧 𝐴1 05𝑧11 08𝑧1 𝐵1 08𝑧11 08𝑧1 𝐶1 08𝑧11 05𝑧1 1 08𝑧11 05𝑧11 08𝑧1 Resolvendo o numerador 𝐴1 08𝑧1 05𝑧1 04𝑧2 𝐵1 08𝑧1 08𝑧1 064𝑧2 𝐶1 05𝑧1 08𝑧1 04𝑧2 60625 453𝑧1 243𝑧2 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Estruturas de filtros 3 PDS Aulas ao Vivo 𝐴1 13𝑧1 04𝑧2 𝐵1 064𝑧2 𝐶1 03𝑧1 04𝑧2 60625 453𝑧1 243𝑧2 Da equação anterior 𝐴 𝐵 𝐶 60625 13𝐴 03𝐶 453 04𝐴 064𝐵 04𝐶 243 Do sistema de equações anterior temos que 𝐴 244 𝐵 815 𝑧 452 𝑃𝑧 244 1 08𝑧1 815 1 05𝑧1 452 1 08𝑧1 𝐻𝑧 50625 244 1 08𝑧1 815 1 05𝑧1 452 1 08𝑧1 Aplicando transformada z inversa ℎ𝑛 50625𝛿𝑛 24408𝑛𝑢𝑛 81505𝑛𝑢𝑛 45208𝑛𝑢𝑛 𝒉𝒏 𝟓 𝟎𝟔𝟐𝟓𝜹𝒏 𝟐 𝟒𝟒𝟎𝟖𝒏 𝟖 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝒏 𝟒 𝟓𝟐𝟎 𝟖𝒏𝒖𝒏 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Estruturas de filtros 4 PDS Aulas ao Vivo 𝑥𝑛 095𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 03 𝜋 3 𝑒04𝑛 2 𝑛 6 2 𝑛 6 é uma janela que define que o sinal xn existe entre 𝑛 2 e 𝑛 6 Para definir essa janela no algoritmo usaremos a função degrau da seguinte maneira Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Estruturas de filtros 5 PDS Aulas ao Vivo 𝑥𝑛 095𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 03 𝜋 3 𝑒04𝑛 2 𝑛 6 No algoritmo será escrita da seguinte maneira 𝑥𝑛 095𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 03 𝜋 3 𝑒04𝑛 𝑢𝑛 2 𝑢𝑛 7 ℎ𝑛 50625𝛿𝑛 24408𝑛 81505𝑛 45208𝑛𝑢𝑛 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Estruturas de filtros 6 PDS Aulas ao Vivo Algoritmo no Scinotes function yimpulsox y zeros1 lengthx yfindx0 1 endfunctionfunção impulso function ydegraux y zeros1 lengthx yfindx0 1 endfunctionfunção degrau clclimpa console clflimpa janela gráfica fgcfmanipulador de gráficos n10110geração do vetor n n120120geração do vetor n1 para a convolução Resposta ao impulso udegraun u1degraun2degraun7 x095ncosn03pi3e04nu1 h50625impulson24408n81505n45208ndegraunhn yconvxhConvolução Sinais subplot311 plot2d3nxstyle2Sinal de entrada fchildrenchildren1childrenthickness2controla a grossura da linha titlexn xlabeln ylabelamplitude subplot312 plot2d3nhstyle3Resposta ao impulso fchildrenchildren1childrenthickness2controla a grossura da linha titlehn xlabeln ylabelamplitude subplot313 plot2d3n1ystyle5 titleynsinal de saída do sistema fchildrenchildren1childrenthickness2controla a grossura da linha xlabeln ylabelamplitude Processamento Digital de sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Atividade Prática Nome da atividade Nome completo e RU do aluno ATIVIDADE Colocar aqui todos os dados da atividade como o exemplo do quadro abaixo o quadro vermelho NÃO VAI NO RELATÓRIO É SOMENTE UM EXEMPLO Tire do roteiro mesmo pode ser uma imagem do roteiro Verificar se o sistema é linear e invariante no tempo T x n2 n tannx nu nRU 7 u n4 Se RU 70 ou adotar 5 Sinal de entrada x n RU com amostra n0 no quarto número Se o RU tiver menos de 7 números considerar os últimos números iguais a zero Exemplo RU 1234567 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 6 7 x n 1234 567 Para linearidade o aRU 1 T a x1 nb x2n o bRU 7 T a x1 nb x2n se for zero adotar 7 o Sinais de entrada x1n x nRU 1 x2n 2cos n xnRU 2 Para invariância no tempo considerar n0RU 3 se for zero considerar o maior número do seu RU Definir o vetor n entre 20 e 20 Linearidade Desenvolvimento matemático Colocar aqui todo o desenvolvimento matemático correspondente à verificação da linearidade do sistema Algoritmo Colocar aqui o algoritmo completo identificando Modeloreldocx 1 Processamento Digital de sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc Definição de funções e vetores xn vetor n impulso degrau etc Definição dos vetores de entrada x1n e x2n Definição da função do sistema para uma entrada Definição da função do sistema para duas entradas Definição da função yn para duas entradas Linhas de comando dos gráficos Gráficos de Linearidade Gráficos com nomes nos eixos Invariância no tempo Desenvolvimento matemático Colocar aqui todo o desenvolvimento matemático correspondente à verificação da invariância no tempo do sistema Algoritmo Colocar aqui o algoritmo completo identificando Definição de funções e vetores xn vetor n impulso degrau etc Definição da função do sistema sem deslocamento Definição da função do sistema com deslocamento Definição da função yn com deslocamento Linhas de comando dos gráficos Gráficos de Invariância Gráficos com nomes nos eixos Modeloreldocx 2 Processamento Digital de sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc AP Filtros exemplo para gravar 1 Atividades Práticas Filtros Um determinado sistema digital tem a função de transferência resposta em frequência definida por 𝐻𝑧 𝐻𝑧 𝑎𝑧𝑏 1 𝑐𝑧11 𝑑𝑧1 Sendo 𝑎 10 𝑅𝑈2 adotar 2 se o RU for igual a zero 𝑏 𝑅𝑈3 adotar 2 se o RU for igual a zero 𝑐 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑅𝑈 10 𝑑 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑅𝑈 10 O sinal de entrada corresponde ao seu RU cujo segundo número corresponde à amostra em 𝑛 0 como mostrado no exemplo a seguir Exemplo RU 1234567 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 6 7 𝑥𝑛 1 𝟐 3 4 5 6 7 Usando o ambiente matemático Scilab calcular o sinal de saída 𝑦𝑛 definido por 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 Onde ℎ𝑛 é a resposta ao impulso domínio do tempo correspondente à 𝐻𝑧 domínio da frequência E o sinal de saída 𝑦𝑛 é resultante da convolução entre o sinal de entrada 𝑥𝑛 e a resposta ao impulso do sistema ℎ𝑛 Resolução 𝐻𝑧 𝑎𝑧𝑏 1 𝑐𝑧11 𝑑𝑧1 Para o RU 123456 𝐻𝑧 20𝑧3 1 07𝑧11 06𝑧1 Resposta ao impulso ℎ𝑛 𝐻𝑧 20𝑧3 1 07𝑧11 06𝑧1 Processamento Digital de sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc AP Filtros exemplo para gravar 2 Frações parciais 𝐻𝑧 20𝑧3 1 1 07𝑧11 06𝑧1 20𝑧3 𝐴 1 07𝑧1 𝐵 1 06𝑧1 1 Polinômio 𝐴 1 07𝑧1 𝐵 1 06𝑧1 𝐴1 06𝑧1 𝐵1 07𝑧1 1 07𝑧11 06𝑧1 𝐴 𝐴06𝑧1 𝐵 𝐵07𝑧1 1 07𝑧11 06𝑧1 1 0𝑧1 1 07𝑧11 06𝑧1 Trabalhando com os numeradores das equações 𝐴 𝐵 𝐴06𝑧1 𝐵07𝑧1 1 0𝑧1 Portanto 𝐴 𝐵 1 06𝐴𝑧1 07𝐵𝑧1 0𝑧1 𝐴 𝐵 1 06𝐴 07𝐵 0 2 Resolvendo o sistema de equações 2 𝐴 05384 𝐵 04615 Substituindo na equação 1 𝐻𝑧 20𝑧3 05384 1 07𝑧1 04615 1 06𝑧1 Resolvendo a equação 𝐻𝑧 10768𝑧3 1 07𝑧1 923𝑧3 1 06𝑧1 Para obter a resposta ao impulso aplicaremos transformada 𝑧 inversa usando a Tabela 31 da página 68 do livro texto e as propriedades das transformadas da seção 34 da página 75 do mesmo livro ℎ𝑛 1076807𝑛3𝑢𝑛 3 92306𝑛3𝑢𝑛 3 Para calcular o sinal de saída do sistema usaremos a função convolução no software Scilab Algoritmo Scilab AP2 Filtros function yimpulsox Processamento Digital de sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc AP Filtros exemplo para gravar 3 y zeros1 lengthx yfindx0 1 endfunctionfunção impulso function ydegraux y zeros1 lengthx yfindx0 1 endfunctionfunção degrau RU11RU22RU33RU44RU55RU66RU77 clclimpa console clflimpa janela gráfica fgcfmanipulador de gráficos n20120geração do vetor n n140140geração do vetor n1 para a convolução xRU1impulson1RU2impulsonRU3impulson1RU4impulson2RU5impulson 3RU6impulson4RU7impulson5xn udegraun3un3 for i2020geração do vetor hn hi211076807i3ui2192306i3ui21hn end yconvxhConvolução Sinais subplot311 plot2d3nxstyle2Sinal de entrada fchildrenchildren1childrenthickness2controla a grossura da linha titlexn xlabelamostra ylabelamplitude subplot312 plot2d3nhstyle3Resposta ao impulso fchildrenchildren1childrenthickness2controla a grossura da linha titlehn xlabelamostra ylabelamplitude subplot313 plot2d3n1ystyle5 titleynsinal de saída do sistema fchildrenchildren1childrenthickness2controla a grossura da linha xlabelamostra ylabelamplitude Processamento Digital de sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc AP Filtros exemplo para gravar 4 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M13 Filtros digitais Roteiro 1 Atividade Prática Filtros Digitais OBJETIVO Verificar o sinal de saída a partir de um sinal de entrada determinado MATERIAL UTILIZADO Ambiente matemático Scilab Apostilas disponíveis no AVA na Aula Ambiente Matemático Scilab Listas de Exercícios disponíveis em todas as aulas do AVA ORIENTAÇÕES Para realizar esta atividade leia atentamente e estude todo o material disponível no AVA principalmente as apostilas e listas de exercícios Atenção Coloque no relatório todo o desenvolvimento matemático prévio ao desenvolvimento do algoritmo Se não houver desenvolvimento matemático como indicado no vídeo do experimento será descontada nota Inclua imagens de todos os procedimentos solicitados Nas imagens não se esqueça de colocar nomes nos eixos xlabel e ylabel Será descontada nota Para facilitar o desenvolvimento da atividade use o aplicativo SciNotes que permite gravar sua atividade como um programa página 7 da Apostila 1 Introdução ao Scilab Coloque o algoritmo completo no relatório com o detalhe de cada uma das linhas como o exemplo indicado Será descontada nota Trabalhos iguais serão considerados plágio e a nota será zero para todos os alunos que entregarem o mesmo trabalho ATIVIDADE Um determinado sistema digital tem a seguinte estrutura Figura 1 Estrutura do filtro Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M13 Filtros digitais Roteiro 2 Para chegar na resposta ao impulso será necessário calcular a função do sistema 𝐻𝑧 a partir da estrutura do filtro Esta atividade deve ser desenvolvida considerando um RU de 7 números Se seu RU tiver menos de 7 números deverá preencher com zeros os últimos números Exemplo RU 12345 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 0 0 Se seu RU tiver mais de 7 números deverá desconsiderar os últimos números Exemplo RU 123456789 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 6 7 Sendo 𝑎 𝑅𝑈1 𝑏 𝑅𝑈2 se 𝑅𝑈2 0 𝑏 2 𝑐 𝑅𝑈310 se 𝑅𝑈3 0 𝑐 03 𝑑 𝑅𝑈4 se 𝑅𝑈4 0 𝑑 4 Vetor de entrada sinal de entrada 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠 08𝑘𝑛 3𝜋 4 2𝑛 10 𝑐𝑜𝑠 04𝑘𝑛 𝜋 4 𝑅𝑈4 𝑛 4 𝜋 número 𝜋 sintaxe no Scinotes pi 𝑘 𝑅𝑈7 100 se 𝑅𝑈7 0 adotar 𝑘 007 Usando o ambiente matemático Scilab calcular o sinal de saída 𝑦𝑛 definido por 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 1 Onde ℎ𝑛 é a resposta ao impulso domínio do tempo correspondente à 𝐻𝑧 domínio da frequência E o sinal de saída 𝑦𝑛 é resultante da convolução entre o sinal de entrada 𝑥𝑛 e a resposta ao impulso do sistema ℎ𝑛 PROCEDIMENTO É conveniente usar o aplicativo SciNotes para escrever os comandos As funções impulso unitário e degrau unitário explicadas na Apostila 1 Introdução ao Scilab serão fundamentais para esta atividade Elas deverão ser definidas no início da série de comandos Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M13 Filtros digitais Roteiro 3 1 6 pontos A partir da estrutura do filtro mostrada na Figura 1 calcular a resposta ao impulso ℎ𝑛 do sistema Todos os cálculos deverão ser apresentados detalhadamente no relatório estes cálculos serão realizados no caderno As listas de exercícios mencionadas no MATERIAL UTILIZADO têm vários problemas e resoluções similares a 05p Estrutura do filtro b 15p Procedimento c 3p Cálculo dos parâmetros d 1p Resposta ao impulso ℎ𝑛 correta 2 Scilab a Gerar um vetor 𝑛 entre 20 e 20 para 𝑥𝑛 e ℎ𝑛 b Gerar um vetor 𝑛1 entre 40 e 40 para 𝑦𝑛 c 3 pontos Algoritmo matemático detalhado de preferência no SciNotes i 15p Vetor de entrada 𝑥𝑛 correto ii 15p Resposta ao impulso ℎ𝑛 correta 3 1 ponto Usando os comandos subplot e plot2d3 Apostila 2 plotar 𝑥𝑛 ℎ𝑛 e 𝑦𝑛 no mesmo gráfico a Gráficos corretos Nomes nos eixos dos gráficos será descontada nota se os gráficos não tiverem nome nos eixos Exemplo RU 1234567 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 6 7 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠 0056𝑛 3𝜋 4 2𝑛 10 𝑐𝑜𝑠 0028𝑛 𝜋 4 4 𝑛 4 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M13 Filtros digitais Roteiro 4 Gráficos para o RU de exemplo 1234567