2 Exercícios de Cálculo 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO CENTRO UNIVERSITARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA Matematica Superior Atividade 1 23092024 2ª feira Professor Andre Pizzaia Butta Alunoa ATENC AO Justifique todas as suas respostas Pontuacao 25 pontos da parte escrita 25 pontos da entrevista 1 Examine a curva fx 4x3 12x2 em relacao aos intervalos de crescimento e decresci mento aos pontos de maximos e mınimos locais a concavidade e aos pontos de inflexao Use essas informacoes para esbocar o grafico UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO CENTRO UNIVERSITARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA Matematica Superior Atividade 2 25092024 4ª feira Professor Andre Pizzaia Butta Alunoa ATENC AO Justifique todas as suas respostas Pontuacao 25 pontos da parte escrita 25 pontos da entrevista 1 Encontre a area da regiao amarela da figura abaixo 2 Um botˆanico descobre que certo tipo de arvore cresce de tal forma que sua altura ht apos t anos esta variando a uma taxa de ht 0 06 t 2 3 0 3 t 1 2 metrosano Se a arvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada que altura tera apos 27 anos 1 Examine a curva f x4 x 312 x 2 em relação ao aos intervalos de crescimento e decrescimento aos pontos de máximos e mínimos locais à concavidade e aos pontos de inflexão Use essas informações para esboçar o gráfico Primeiro como fx é um polinômio o seu domínio será Dxℝ além disso por ser um polinômio ela é derivável e contínua em todos os pontos dessa maneira para encontrar os pontos críticos podemos usar a primeira derivada df dx0 Este critério se baseia nas seguintes em no Teorema de Fermat 1Se a função é crescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares positivos 2Se a função é decrescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares negativos 3Se existe algum ponto de extremo local a reta tangente ao gráfico neste ponto tem coeficiente angular zero E a segunda derivada além de auxiliar na classificação dos pontos críticos pode ser utilizada para definir a concavidade da função se para cima ou para baixo Encontrando o ponto crítico c fazse 1 Se fc 0 então xc é um ponto de máximo para a função fx 2 Se fc 0 então xc é um ponto de mínimo para a função fx 3 Se fc 0 então xc é raiz de fx e assim é um ponto de inflexão Para encontrar os pontos críticos fazse df dx0 então vamos calcular a derivada de fx df dx d dx 4 x 312x 2 df dx d dx 4 x 3 d dx 12x 2 df dx d dx 4 x 3 d dx 12x 2 df dx4 d dx x 312 d dx x 2 df dx43x 31122x 21 df dx12 x 224 x Assim para saber quais são os pontos críticos df dx0 ou seja 12x 224 x0 é uma função do segundo grau incompleta assim vamos resolver passo a passo 12x 224 x0 colocando 12 x em evidência 12xx20 Assim temos 12x0 e 12x0x0 e x20x2 Dessa maneira temos pontos críticos x 0 e x 2 Para classificar os pontos críticos precisamos do teste da segunda derivada d 2f dx 2 d dx d f dx d 2f dx 2 d dx 12x 224 x d 2f dx 2 d dx 12x 2 d dx 24 x d 2f dx 2 12 d dx x 224 d dx x d 2f dx 2 122x 21241x 11 d 2f dx 2 24 x24 x 0 d 2f dx 2 24 x24 Assim temos fx 24x24 Para o ponto x 0 f x24 x24 f 024024f 024 Como o f0 0 então x 0 é um ponto de máximo local Para o ponto x 2 f x24 x24 f 224224f 04824 f 024 Como o f2 0 então x 2 é um ponto de mínimo local Bom como nenhum dos pontos críticos é um ponto de inflexão vamos precisar descobrir para isso é f 0 f x24 x24 24 x240 24 x24 x24 24 x1 Vamos juntar tudo que sabemos f x4 x 312 x 2 f x12 x 224 x f x24 x24 x 0 ponto Máximo local x 2 ponto Mínimo local x 1 ponto de inflexão Assim Analisando as informações de x0 função é crescente porque x 0 é máximo 0x2 função é decrescente porque é do máximo para o ponto de mínimo x 0 para x 2 2x função é crescente Para definir a concavidade x 1 é ponto de inflexão f x0x1 como o coeficiente angular é positivo f x0 x1 e f x0 x1 Então temos x1 temse f x0 então a concavidade é para baixo 1x temse f x0 então a concavidade é para cima ᵁ Adicionamos ao que sabemos máximo mínimo e ponto de inflexão a concavidade é para baixo ou seja crescente de x0 e decrescente de 0x1 continua decrescente no intervalo 1x2 x 1 é ponto de inflexão é onde muda a concavidade então de 1x2 decrescente e 2x função é crescente Porém para esboçar o gráfico precisamos de mais um informação o zeros da função fx 0 f x4 x 312 x 2 4 x 312 x 20 4 x 2x30 4 x 20x0 e x30 x3 Pronto sabemos tudo que precisamos Agora só colocar os pontos no gráfico e traçar as retas Inflexão1 Maximo Inflexão Minimo zero 1 Encontre área da região amarela da figura abaixo Para calcular a área abaixo de um gráfico precisase apenas integrar a função no intervalo que desejase A 1 3 x 24 x3dx 1 3 x 2dx 1 3 4 xdx 1 3 3dx Resolvendo uma por uma Primeiro a 1 3 x 2dx 1 3 x 2dxx 3 3 de31 1 3 3 31 11 3 2711 3 2626 3 A segunda 1 3 4 xdx 1 3 4 xdx4 x 2 2 de31 2x 223 21 229116 A terceira 1 3 3dx 1 3 3dx3 x de31331326 Assim a área será A 1 3 x 24 x3dx26 3 1662616363 3 264818 3 4 3 ua 2 Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura ht após t anos está variando a uma taxa de ht 006t 2 303t 1 2 metrosano Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada que altura terá após 27 anos Temos h para encontrar h basta fazer a antiderivada integral da função ht ht dt006t 2 303t 1 2 dt ht 006t 2 3 dt 03t 1 2 dt ht 006 t 2 3 1 2 3 1 03 t 1 21 1 2 1 ht 006 t 5 3 5 3 03 t 3 2 3 2 ht 006 3 5 t 5 303 2 3 t 3 2C ht 0036t 5 302t 3 2C Para definir C usamos a informação dada do t 0 ano temos h 60 cm h000360 5 3020 3 2C60C60 Assim temse a função ht ht 0036t 5 302t 3 260 Agora basta calcular t 27 anos h27003627 5 30227 3 260 h27003624302140291160 h27874828059260 h27988072 Assim para t 27 anos h será aproximadamente de 988 metros 1 Encontre área da região amarela da figura abaixo Para calcular a área abaixo de um gráfico precisase apenas integrar a função no intervalo que desejase A 1 3 x 24 x 3dx 1 3 x 2dx 1 3 4 x dx 1 3 3dx Resolvendo uma por uma Primeiro a 1 3 x 2dx 1 3 x 2dx x 3 3 de311 3 3 31 11 3 2711 3 2626 3 A segunda 1 3 4 x dx 1 3 4 x dx4 x 2 2 de 312 x 223 21 22 9116 A terceira 1 3 3dx 1 3 3dx3 x de313 313 26 Assim a área será A 1 3 x 24 x 3dx26 3 1662616363 3 264818 3 4 3 ua 2 Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura ht após t anos está variando a uma taxa de h t 006t 2303t 12metrosano Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada que altura terá após 27 anos Temos h para encontrar h basta fazer a antiderivada integral da função h t h t dt 006t 2 303t 1 2 dt h t 006t 2 3dt 03t 1 2 dt h t 006 t 2 3 1 2 3 1 03 t 1 21 1 2 1 h t 006 t 5 3 5 3 03 t 3 2 3 2 h t 006 3 5 t 5 303 2 3 t 3 2C h t 0036t 5 302t 3 2C Para definir C usamos a informação dada do t 0 ano temos h 60 cm h 0 00360 5 3020 3 2C60C60 Assim temse a função ht h t 0036t 5 302t 3 260 Agora basta calcular t 27 anos h 27 003627 5 30227 3 260 h 27 0036243 02 140 291160 h 27 874828059260 h 27 988072 Assim para t 27 anos h será aproximadamente de 988 metros 1 Examine a curva f x 4 x 312x 2em relação ao aos intervalos de crescimento e decrescimento aos pontos de máximos e mínimos locais à concavidade e aos pontos de inflexão Use essas informações para esboçar o gráfico Primeiro como fx é um polinômio o seu domínio será Dxℝ além disso por ser um polinômio ela é derivável e contínua em todos os pontos dessa maneira para encontrar os pontos críticos podemos usar a primeira derivada df dx 0 Este critério se baseia nas seguintes em no Teorema de Fermat 1Se a função é crescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares positivos 2Se a função é decrescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares negativos 3Se existe algum ponto de extremo local a reta tangente ao gráfico neste ponto tem coeficiente angular zero E a segunda derivada além de auxiliar na classificação dos pontos críticos pode ser utilizada para definir a concavidade da função se para cima ou para baixo Encontrando o ponto crítico c fazse 1 Se fc 0 então xc é um ponto de máximo para a função fx 2 Se fc 0 então xc é um ponto de mínimo para a função fx 3 Se fc 0 então xc é raiz de fx e assim é um ponto de inflexão Para encontrar os pontos críticos fazse df dx 0então vamos calcular a derivada de fx df dx d dx 4 x 312x 2 df dx d dx 4 x 3 d dx 12 x 2 df dx d dx 4 x 3 d dx 12 x 2 df dx 4 d dx x 312 d dx x 2 df dx 4 3x 31 12 2x 21 df dx 12x 224 x Assim para saber quais são os pontos críticos df dx 0 ou seja12 x 224 x0 é uma função do segundo grau incompleta assim vamos resolver passo a passo 12 x 224 x0 colocando 12 x em evidência 12 x x20 Assim temos 12 x0e 12 x0x0 e x20 x2 Dessa maneira temos pontos críticos x 0 e x 2 Para classificar os pontos críticos precisamos do teste da segunda derivada d 2f dx 2 d dx d f dx d 2f dx 2 d dx 12x 224 x d 2f dx 2 d dx 12x 2 d dx 24 x d 2f dx 2 12 d dx x 224 d dx x d 2f dx 2 122 x 2 124 1x 11 d 2f dx 2 24 x24 x 0 d 2f dx 2 24 x 24 Assim temos fx 24x24 Para o ponto x 0 f x 24 x24f 024 024 f 024 Como o f0 0 então x 0 é um ponto de máximo local Para o ponto x 2 f x 24 x24f 224 224f 04824 f 024 Como o f2 0 então x 2 é um ponto de mínimo local Bom como nenhum dos pontos críticos é um ponto de inflexão vamos precisar descobrir para isso é f 0 f x 24 x24 24 x 240 24 x24 x24 24 x1 Vamos juntar tudo que sabemos f x 4 x 312x 2 f x 12x 224 x f x 24 x24 x 0 ponto Máximo local x 2 ponto Mínimo local x 1 ponto de inflexão Assim Analisando as informações de x0função é crescente porque x 0 é máximo 0x2função é decrescente porque é do máximo para o ponto de mínimo x 0 para x 2 2xfunção é crescente Para definir a concavidade x 1 é ponto de inflexão f x 0x1como o coeficiente angular é positivo f x 0 x1e f x 0 x1 Então temos x1temsef x 0então a concavidade é para baixo x1temsef x 0então a concavidade é para cima ᵁ Adicionamos ao que sabemos máximo mínimo e ponto de inflexão a concavidade é para baixo ou seja crescente de x0e decrescente de 0x1 continua decrescente no intervalo 1x2x 1 é ponto de inflexão é onde muda a concavidade então de 1x2decrescente e 2xfunção é crescente Porém para esboçar o gráfico precisamos de mais um informação o zeros da função fx 0 f x 4 x 312x 2 4 x 312 x 20 4 x 2x30 4 x 20x0ex30 x3 Pronto sabemos tudo que precisamos Agora só colocar os pontos no gráfico e traçar as retas