Lista 3 - Algoritmos Numéricos 2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP´IRITO SANTO CENTRO UNIVERSIT´ARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO Departamento de Matem´atica Aplicada 3a Lista de exerc´ıcios de Algoritmos Num´ericos - 2021/2 Quest˜ao 1 Sendo P1(x) o polinˆomio de interpola¸c˜ao linear de f(x) em a e b, determine c ∈ (a, b) de modo que f(x) − P1(x) = (x − a)(x − b) 2 f (2)(c), para fun¸c˜oes f(x) definidas como: a) f(x) = x3, com a = 1 e b = 2 e o ponto a ser interpolado ¯x = 1, 5; b) f(x) = e−x, com a = 0, 5 e b = 1 e o ponto a ser interpolado ¯x = 0, 7. Quest˜ao 2 Dada a tabela: x 2 2, 25 2, 5 2, 75 3, 0 y 5, 44 6, 93 8, 73 10, 88 13, 44 a) Calcular o polinˆomio de interpola¸c˜ao usando a f´ormula de Lagrange sobre dois e trˆes pontos; b) Calcular f(2, 4); c) Considerando que f(x) = xex/2, dˆe um limitante superior para o erro de truncamento. Quest˜ao 3 Seja a fun¸c˜ao tabelada: x −2 −1 1 2 f(x) 0 1 −1 0 a) Determinar o polinˆomio de interpola¸c˜ao usando a f´ormula de Newton; b) Calcular f(0, 5). Quest˜ao 4 A raiz de uma fun¸c˜ao pode ser aproximada pela raiz do seu polinˆomio de interpola¸c˜ao. Use uma par´abola para determinar a raiz da fun¸c˜ao tabelada a seguir: x 1 2 3 4 5 6 f(x) 0, 841 0, 909 0, 141 −0, 757 −0, 959 −0, 279 Quest˜ao 5 Sabendo que a ´unica raiz positiva da equa¸c˜ao 4 cos x − ex = 0 encontra-se no intervalo [0, 1], use uma par´abola para determinar uma aproxima¸c˜ao para essa raiz. Quest˜ao 6 Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma fun¸c˜ao em um ponto x0, quando n˜ao se conhece a express˜ao anal´ıtica da mesma, ´e usar uma tabela para formar um polinˆomio que aproxime a fun¸c˜ao, derivar ent˜ao esse polinˆomio e avaliar em x = x0. Dada a tabela: x 0, 35 0, 40 0, 45 0, 50 0, 55 0, 60 0, 65 f(x) −1, 52 1, 51 1, 49 1, 47 1, 44 1, 42 1, 39 calcule um valor aproximado para f’(0,52) usando polindémio de interpolagao de grau 2. Questao 7 Calcule 1 | e* dx 0 utilizando a regra do trapézio com n = 1 e Gauss-Legendre com dois pontos. Questao 8 Considere a integral 1 2 [= | e” dx. 0 a) Calcule I pela regra de Simpson usando h = 0, 25; b) Calcule I pela quadratura gaussiana com 2 pontos; c) Sabendo que o valor exato de I (com 5 casas decimais) é 0, 74682, pede-se; i) compare os resultados obtidos em (a) e (b); ii) quantos pontos seriam necessdérios para que a regra dos trapézios obtivesse a mesma precisao obtida em (b). Questao 9 Calcular 3 | (e” + 2x)dax 0 utilizando a quadratura de Gauss-Legendre com cinco pontos e a regra 1/3 de Simpson com n = 4. Calcule o valor analitico para comparar. Questao 10 Achar o nimero minimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra ; de Simpson, obter: / n/2 | e “cosxda, 0 com quatro casas decimais corretas. ~ . . . s 1,3 Questao 11 Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pelas regras 3 e 3 de Simpson usando seis divisoes do intervalo de integragao. Compare os resultados. 2,5 0 » | xlnadz, b) | xe’ dx. 1 -1,5 Questao 12 Nas integrais do exercicio anterior, com quantas divisOes podemos esperar obter erros menores que 10~° para a regra 1/3 de Simpson. Questao 13 Ajuste os dados abaixo pelo método dos minimos quadrados utilizando: a) uma reta; b) uma parabola; xjl 2 3 4 5 6 7 8 y|0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 Questao 14 Dizemos que duas fungoes f(x) e g(x) sao ortogonais em [a,b], segundo o produto interno usual, se b (fa) = | Foglo)de =0. Verifique que os trés primeiros polindmios de Legendre 1 dy k sdo ortogonais entre si no intervalo [—1, 1]. Questao 15 Seja f(x) = 4x3, x € [0,1]. Usando 0 método dos minimos quadrados e o produto escalar usual para fungoes continuas, aproximar a fungao f(x) por um polindmio linear. Questao 16 Calcular os coeficientes da aproximacao g(x) = bo + bya + box? x|—2,0 -1,5 0,0 1,0 2,2 3,1 y | -30,5 —20,2 -—3,3 8,9 16,8 21,4 Questao 17 Determinar a reta mais préxima dos pontos (2;, y;) para a funcgdo y = f(z) dada pela tabela: xz|—2 -l1 0 1 2 y | 0 0 -1 0 7 Questao 18 De uma tabela sao extraidos os valores: a}—2 -1 0 12 y| 6 3-1 2 4 Usando o método dos minimos quadrados, ajuste os dados acima por um polindmio de grau adequado. Observacao 1 A regra 3 de Simpson é definida sobre quatro pontos de integracao: 2% = a, 2, =X +h, x2 =%X% + 2he 2x3 = 294+ 3h, onde h = oa Assim, obtemos b=23 3 J Blodde = Sal (eo) + 3( fe) + Fle2)) + Flea} a=XoO Observacgao 2 Tabela de pontos para integracao de Gauss-Legendre: Pot 2/1 | —0,5773503 1 2 0, 5773503 1 3} 1 | —0, 7745967 | 0, 5555556 2 0 | 0, 8888889 3 0, 7745967 | 0,5555556 4 | 1) —0, 8611363 | 0,3478548 2 | —0, 3399810 | 0,6521455 3 0, 3399810 | 0,6521455 4} 0,8611363 | 0, 3478548 5 | 1 | —0,9061799 | 0, 2369269 2 | —0, 5384693 | 0, 4786287 3 0 | 0, 5688889 4} 0,5384693 | 0, 4786287 5 0, 9061799 | 0, 2369269