Formulas e Anotacoes Resistencia dos Materiais - Tensão Deformação Torção Flexão

1 Fórmulas 3 Termos 3 Tensão e Deformação e Poisson 4 Torção 4 Flexão 5 Cortante 6 Deflexão em Vigas 6 Potências de 10 e Transformação de Unidades 6 2 Revisão 7 Eixos Principais 7 Primeiro Momento de Inércia 7 Determinando Posição dos Centroides 8 Segundo momento de área momento de inércia 8 3 Deformação 9 4 Tensão 10 Módulo de Elasticidade LongitudinalYoungDeformação E 11 Efeito de Poisson 11 Ensaio de Tração 12 Ensaio de Compressão 12 Medidas de Deformação 13 Propriedades Mecânicas e Módulo de Elasticidade Transversal 13 Módulo de Elasticidade Transversal 14 Lei de Hooke Generalizada 14 Barras Sujeitas a Esforços Axiais 16 Barras Circulares Sob Torção 26 Barras NãoCirculares Sob Torção 30 Seções Abertas de Paredes Finas 31 Seções Fechadas de Paredes Finas 32 5 Flexão 33 Flexão Pura 33 Flexão Oblíqua 36 Barras Compostas 39 6 Cortante 43 Caso 1 43 Caso 2 48 Centro de Cisalhamento 52 7 Deflexão em Vigas 64 Equação Diferencial da Linha Elástica 65 Analogia de Mohr 66 Exercícios Deflexão em Vigas 67 Princípio da Superposição dos Efeitos e Vigas Hiperestáticas 77 Solução de Vigas Hiperestáticas 84 8 Listas 86 Vigas 86 Pórticos 87 Propriedades Geométricas 89 Barras em Força Axial 93 Barras em Torção 98 Barras Fletidas 102 Barras Compostas 114 Cisalhamento 119 Centro de Cisalhamento 126 Deflexões em Vigas 133 Durante a Aula 141 1 Fórmulas Termos ϵ def linear l var comprimento l0 comprimento inicial α coef dilatação térmica T var temp σ tensão normal τ tensão cisalhamento F força E módulo de elasticidade A área σ tensão normal γ def angular ν coef poisson G módulo de elasticidade transversal ρ dist até o ponto de análise T torção J const torção re raio externo ri raio interno Wt módulo de resistência à torção a comprimento menor b comprimento maior t espessura thickness Am área delimitada pela linha média μm Perímetro da linha média q fluxo de cisalhamento ρdeflexão raio κ curvatura da função Tensão e Deformação e Poisson ϵ l lo α T σ E F EA l Flo EA ou l F EA l 0 σ F A E ϵ ϵx u x ϵy u y No caso das deformações angulares ou de cisalhamento temos que γ1 u y γ2 u x νϵx ϵy ϵz ν ϵy ϵx ϵz ϵx G E 21 ν Torção 131 Barras Circulares T GJ dϕ dx T GJ dϕ dx γ ρ dϕ dx γ ρT GJ τ Gγ τxz τzx ρT J τmax T re J τmax T Wt J πre 4 ri 4 2 ϕ TL GJ ϕ dϕ dx L Wt J Raio Wt Ip Raio Wt πre 4 ri 4 2 Raio 132 Barras NãoCirculares τmax T αab2 τmax Tt 1 3 bt3 τmax T Wt τb ητmax dϕ dx T Gβab3 dϕ dx T 1 3 Gbt3 dϕ dx T GJ 133 Seções Abertas de Paredes Finas T T1 T2 T3 dϕ1 dx T1 GJ1 dϕ2 dx T2 GJ2 dϕ3 dx T3 GJ3 Ti dϕi dx GJi T dϕ dx GJ J 1 3 biti 3 T GJ Ti GJi Ti T Ji J Wt J tmax τmaxi Ti 1 1 3 biti 2 τmaxi T Ji J ti 1 3 biti 3 τmaxi T Ji J ti Ji τmaxi Tti J τmax T tmax J τmax T Wt Trecho curvo J 1 3 t3 dS S 134 Seções Fechadas de Paredes Finas τ1t1 τ2t2 q T q 2Area média T q 2Am T τ t 2Am τ T t 2Am q T 2Am τmax T tmin 2Am τmax T Wt Wt tmin 2Am du dv 1 2 σϵ ou du dv 1 2 τγ dW dx 1 2 T dϕ dx ϕ dϕ dx L dϕ dx T GJ dϕ dx Tμm G4Am 2 t J 4Am 2 t μm J 4Am 2 1 t dS S J 4Am 2 bi ti Flexão σx Mz y Iz σx Mz Wt Wt Iz y Mód Res Elást σx Mz y Iz My z Iy θlinha neutra arctan My Mz IZ Iy n E2 E1 ou n E1 E2 σx 1 Mz y Ih ϵ E1 σx 2 Mz y E1 Ih E2 ϵ E2 Mz y Ih n Cortante q Vy Sz Iz τxy Vy Sz b Iz Sz Área Distânciaentre centróides Deflexão em Vigas ϵx y ρ K 1 ρ d2y dx2 Mz E Iz d2v dx2 1 EI M Cortante da esquerda pra direita dM dx V d3v dx3 1 EI dM dx d3v dx3 1 EI V V d3v dx3 EI Cortante da direita pra esquerda dM dx V d3v dx3 1 EI dM dx d3v dx3 1 EI V V d3v dx3 EI d4v dx4 1 EI dV dx d4v dx4 p EI p d4v dx4 EI Potências de 10 e Transformação de Unidades 1 N m2 107 kN cm2 1 tf 10 kN 1 kgf 10 N 1 GPa 100 kN cm2 1 MPa 01 kN cm2 1 kPa 00001 kN cm2 2 Revisão Eixos Principais Eixos principais são eixos nos quais o valor de Ix momento de inércia em relação ao eixo x é máximo e Iy é 0 logo Ixy 0 Primeiro Momento de Inércia Primeiro momento de área momento estático é a tendência de giro de um peso distribuído uniformemente em uma área em relação a um eixo É medido em unidade de comprimento ao cubo Sx y dA Área Sx Área Distânciaentre centróides Se eu transladar os eixos de referência temos que Sx Sx y0 Área Existe um y0 no qual Sx é 0 No qual por exemplo uma régua fica equilibrada é o que chamamos de centroide ou centro de área Se eu rotacionar os eixos de referência temos que x x cos θ y sin θ y x sin θ y cos θ Sx cos θ x dA A sin θ y dA A Sx cos θ Sx sin θ Sy Determinando Posição dos Centroides Determinando a posição do centroide de figuras compostas x x1 A1 x2 A2 A y y1 A1 y2 A2 A Segundo momento de área momento de inércia Ix y2 dA Iy x2 dA Ixy xy dA 241 Teorema dos Eixos Paralelos O teorema dos eixos paralelos diz que podemos encontrar o momento de inércia de qualquer outro eixo partindo do eixo centroidal utilizando as fórmulas Ix Ix dy 2 A Iy Iy dx 2 A Rotacionando os eixos de referência temos que para o segundo momento de área x x cos θ y sin θ y x sin θ y cos θ Iy x2 cos2 θ dA xy sin θ cos θ dA y2 sin2 θ dA Iy cos2 θ Iy sin θ cos θ Ixy sin2 θ Ix Ix y2 cos2 θ dA xy sin θ cos θ dA x2 sin2 θ dA Ix cos2 θ Ix sin θ cos θ Ixy sin2 θ Iy Determinando o momento de inércia de figuras compostas basta somar os momentos de inércia de cada figura individual aplicando o teorema dos eixos paralelos Ix Ix1 Ix2 Ix3 Ix bh3 12 Ady 2 bh3 12 Ady 2 bh3 12 Ady 2 Ix 3 13 12 3 22 1 33 12 0 3 13 12 3 22 107 4 cm4 3 Deformação A deformação é a medida da mudança de forma É dada pela fórmula ϵ l lo Variação de comprimento Comprimento original A deformação pode ser linear ϵ as dimensões são alteradas como em Ou angular ou de cisalhamento τ as dimensões não são alteradas mas ângulos sim como em A deformação pela cinemática é caracterizada pela deformação de um corpo mole 4 Tensão É a distribuição dos esforços internos Se o esforço for normal ao plano de corte é chamado de tensão normal sigma σ Quando o esforço atua no plano de corte é chamado de tensão de cisalhamento Desenvolvendo a fórmula ϵ l lo Variação de comprimento Comprimento original obtemos que ϵx u x ϵy u y No caso das deformações angulares ou de cisalhamento temos que γ1 u y γ2 u x Unidade de tensão é σ Força Área N m2 Pascal Pa Para transformar Nm² para kNcm² basta 1 N m2 107 kN cm2 Existem 6 valores de tensão σx σy σz τxy τyx τyz τzy τxz τzx Rotação do sistema de coordenadas σx σx σy 2 σx σy 2 cos 2θ τxy sin 2θ σy σx σy 2 σx σy 2 cos 2θ τxy sin 2θ τxy σx σy 2 sin 2θ τxy cos 2θ σx σy σx σy Módulo de Elasticidade LongitudinalYoungDeformação E É o valor do cateto oposto sobre adjacente do gráfico tensão x deformação Serve para indicar o quão rígido o material é A unidade é o Nm² Pa Efeito de Poisson É um efeito que diz que se um material expande seu comprimento ϵx ele encolhe na largura ϵy νϵx ϵy ϵz Coef Poisson ν ϵy ϵx ϵz ϵx Um objeto que antes tinha um volume 1 depois de ser tensionado adquiriu novas dimensões logo o volume passa a ser Vfinal 1 ϵx1 ν ϵx1 ν ϵx Vfinal 1 ν2 ϵx 2 2ν ϵx ϵx ν2 ϵx 3 2ν ϵx 2 Vfinal 1 2ν ϵx ϵx V Vf Vi 0 1 2ν ϵx ϵx 1 0 ϵx 2ν ϵx 0 ν 1 2 Ensaio de Tração Durante o ensaio de tração do aço por exemplo inicialmente a tensão é proporcional à deformação Essa é a região elástica da deformação Depois temos a região plástica de deformação na qual é necessária pouquíssima tração para que haja deformação Se o esforço parar o material volta para a segunda reta chama de deformação residual No caso do aço se a tensão for exercida numa quantidade exata ele perde ductilidade capacidade de se deformar antes de romper e ganha resistência Elasticidade é a capacidade de descarregamento sem deformações residuais Escoamento é o fenômeno no qual o aço passa a ter um patamar na curva de tensão x deformação Limite de proporcionalidade é a tensão até o limite de linearidade antes da região plástica Tensão de engenharia é uma simplificação adotada no traçado do gráfico para facilitação A tensão é calculada com base na área inicialoriginal do material e não na área atual Essa simplificação pode ser feita até o ponto de estricção no qual a tensão aumenta consideravelmente na vida real Mas ao se utilizar a área inicialoriginal a tensão estaria abaixando o que não é real Ensaio de Compressão O material abaixo é o concreto Gráfico de tensão x deformação da compressão esquerda e tração direita do concreto Medidas de Deformação Para medir a deformação de um material é utilizado um equipamento chamado extensômetro elétrico de resistência Esse equipamento é fixado ao material que sofrerá deformações O processo de medição é feito por variações de resistência do extensômetro causada pelas deformações do material O extensômetro de concreto é maior por causa das várias fases que o material possui O do meio é o extensômetro de aço E o da direita é um clip cage Uma roseta é usada para obter as componentes vertical horizontal e inclinado de deformação de um ponto Sendo possível rotacionar e obter os dados de qualquer direção tensão de cisalhamento Propriedades Mecânicas e Módulo de Elasticidade Transversal Ductilidade Capacidade de sofrer bastante deformação plástica antes da ruptura Fragilidade Incapacidadebaixa capacidade de sofrer deformação plástica antes da ruptura Energia de InternaDeformação U É a energia armazenada no corpo proveniente da deformação do mesmo A densidade de energia de deformação u é a área abaixo da curva tensão x deformação O módulo de resiliência é o u até o limite de proporcionalidade ur 1 2 σpϵp 1 2 σp 2 ϵ O módulo de tenacidade é o u até a ruptura Módulo de Elasticidade Transversal τxy E 21 ν γxy Módulo de elásticidade transversal G Lei de Hooke Generalizada No exercício 481 não podemos aplicar as simples relações de tensão x deformação para encontrar os resultados pois essas fórmulas não consideram o fato de que o recipiente rígido limita a deformação da borracha Vamos encontrar uma fórmula que resolva isso Utilizando o teorema da superposição dos efeitos que diz que quando várias forças agem sobre um corpo podemos estudar seus efeitos individualmente e somar os resultados depois podemos deduzir a Lei de Hooke Generalizada ϵx σx E νσy E νσz E ϵy νσx E σy E νσz E ϵz νσx E νσy E σz E τxy Gγxy τyz Gγyz τzx Gγzx Gerando uma matriz a partir das equações temos que ϵx ϵy ϵz γxy γyz γzx 1 E 1 ν ν 0 0 0 ν 1 ν 0 0 0 ν ν 1 0 0 0 0 0 0 21 ν 0 0 0 0 0 0 21 ν 0 0 0 0 0 0 21 ν σx σy σz τxy τyz τzx A matriz do meio é a matriz Cde flexibilidade do materialde compliância Agora invertendo a matriz para atendermos a todos os casos de cálculos possíveis σx σy σz τxy τyz τzx E 1 ν1 2ν 1 ν 0 0 0 0 0 ν 1 ν 0 0 0 0 ν ν 1 ν 0 0 0 0 0 0 1 2ν2 0 0 0 0 0 0 1 2ν2 0 0 0 0 0 0 1 2ν2 ϵx ϵy ϵz γxy γyz γzx 481 Exercício Dentro de um recipiente rígido de fundo quadrado de 2x2 m colocase um cubo de borracha E 200 Mpa ν 04 de largura também 2 m cujo peso pode ser desprezado Preenchese o recipiente com uma coluna dágua de 10m peso específico 10 kNm³ Multiplicando o peso específico pela altura da coluna de 10m e sabendo que que a área da coluna dágua e do cubo são 4m² temos que o peso da água é de 100 kPa fazendo compressão Pela natureza do problema recipiente rígido sabemos que ϵx ϵy τxy τyz τxz γxy γyz γxz 0 Das duas equações abaixo podemos tirar que ϵx σx E νσy E νσz E ϵy νσx E σy E νσz E 0 σx νσy νσz 0 νσx σy νσz σx σy Voltando para a equação vermelha temos que 0 σx νσy νσz 0 σx νσx νσz σx1 ν νσz σx σy ν 1 ν σz σx σy 04 1 04 100 6667 kPa compressão ϵz νσx E νσy E σz E ϵz 046667 200000 04 6667 200000 100 200000 ϵz 02333 103 ϵz l lo 02333 103 l 2 l 0000446 m 0466 mm Determine o estado de tensão no cubo de borracha Determine o quanto desce a face superior do cubo ϵx σx E νσy E νσz E ϵy νσx E σy E νσz E Barras Sujeitas a Esforços Axiais O princípio de SaintVenant a diferença entre os efeitos de duas forças estaticamente equivalentes se torna muito pequena a distâncias suficientemente grandes do seu ponto de aplicação Em outras palavras se a força equivalente for aplicada no mesmo ponto não importa o formato da força aplicada A uma distância grande os efeitos serão iguais Se uma barra for alongada as seções transversais permanecem planas e ortogonais ao eixo axial O eixo somente se alonga ou se encurta A deformação da barra depende somente do eixo x e é constante na seção transversal u ux ϵxx du dx σx E ϵX Normal Area ϵy ϵz νϵx N E A l l0 ϵ N E A l N l0 E A 491 Exercício 1 Uma barra de aço E 200000 MPa de diâmetro 25cm é tracionada com 50 kN de força Determinar a tensão atuante na barra Se seu comprimento é de 3m determinar o alongamento que ela sofre quando sujeita a essa força Vamos determinar a tensão σ F A 50 kN π 25 2 2 105 kN cm2 102 MPa Conhecendo a tensão e o módulo de elasticidade podemos calcular a deformação em x σ E ϵ ϵ σ E 102 200000 509 104 Conhecendo a deformação vamos calcular a variação de comprimento ϵ l l0 l ϵ l0 l 509 104 3000 153 mm 492 Exercício 2 Um balanço de 50cm é suspenso por duas cordas de 5mm de diâmetro e 5m de comprimento em cada extremidade Uma criança de 20kg sentase de maneira que seu centro de massa está a 15cm da corda da esquerda do balanço Determinar a inclinação do assento após a criança sentarse Considerar que o próprio assento não se deforma e que o módulo de elasticidade do material da corda é de 15 GPa Para resolver vamos calcular a força normal que atua nas duas cordas considerando que se trata de um problema de viga bi apoiada F1 200 50 15 50 140 N F2 200 140 60 N Vamos calcular a variação de comprimento das cordas utilizando a fórmula resumida l l0 ϵ N EA l Nl0 EA l1 N l0 E A 140 N 5 m 15 GPa π 5 mm 2 2 014 kN 500 cm 150 kN cm2 π 05 cm 2 2 2377 cm l2 N l0 E A 60 N 5 m 15 GPa π 5 mm 2 2 014 kN 500 cm 150 kN cm2 π 05 cm 2 2 1019 cm Agora vamos determinar a inclinação do balanço Cateto Oposto 2377 1019 1358 sin θ CO H 1358 50 θ 155º 493 Exercício 3 Um pendural de tapamento lateral recebe travessas a cada 12m e tem comprimento total de 72m Cada travessa descarrega 1 tf no pendural Supondo que o pendural é feito em aço ASTM A36 fy 250 MPa e E 200 GPa determinar a área mínima necessária para a seção tal que o material não falhe Supondo que o pendural na realidade tem o triplo dessa área calcular o seu alongamento total A resistência ao escoamento fy do aço é 250 MPa portanto a tensão no material deve ser menor que 250 MPa σ 250 MPa F A 25 kN cm2 60 kN A 25 kN cm2 60 25 cm2 A 60 25 cm2 A A 24 cm2 Vamos calcular o alongamento do trecho 6 que é o trecho mais abaixo do pendural l6 N6 l6 E A l6 10 kN 12 100 cm 20 kN cm2 24 3 cm2 833 cm3 Note que podemos facilitar os cálculos restantes l5 20 kN 12 100 cm 20 kN cm2 24 3 cm2 166 102 2 833 cm3 2 l6 Dessa forma 1 2 3 4 5 6 l6 21 l6 0175 cm 175 mm 494 Exercício 4 Um corpo cilíndrico de peso específico γ peso volume está pendurado por sua extremidade superior Determine o A tensão em cada ponto do corpo A tensão é dada pela fórmula σ N A A z γ A γ z σz o O deslocamento de cada seção transversal do corpo ϵz σz E γz E ϵz dw dz w ϵz dz w γz E dz wz γz2 2E C Para determinar C vamos usar a informação de que o deslocamento no apoio é 0 portanto wh 0 wh γh2 2E C 0 C γh2 2E wz γz2 2E C wz γz2 2E γh2 2E 495 Exercício 5 Colocase um cilindro de aço ν 03 E 210 GPa dentro de um tubo de alumínio ν 034 E 70 GPa As dimensões são mostradas na figura O conjunto é comprimido com força F 140 kN Determinar a tensão em cada componente do conjunto O que ocorreria se os materiais fossem invertidos O cálculo de tensão não pode ser feito em relação ao cilindro todo pois nele estão posicionados dois materiais de características diferentes O cálculo deve ser realizado de outra forma Apesar das diferenças de material nessa situação só há a certeza que os dois materiais sofrerão o mesmo deslocamento laço lalumínio ϵaço l0 aço ϵalumínio l0 alumínio ϵaço ϵalumínio σaço Eaço σalumínio Ealumínio σaço 210 σalumínio 70 σaço 3σalumínio Da natureza do problema sabemos que a força de 140 kN aplicada se distribui mesmo que não igualmente sobre o aço e alumínio esses que produzem forças de reação Portanto Faço Falumínio 140 σaço Aaço σalumínio Aalumínio 140 3σalumínio π12 σalumínio π22 11 140 3πσalumínio 3πσalumínio 140 σalumínio 140 6π kN cm2 σaço 3σalumínio σaço 140 2π kN cm2 496 Exercício 6 A barra de aço ASTM A36 E 200 GPa α 12105 ºC é feita para caber exatamente entre dois suportes fixos quando T 30ºC Se a temperatura da barra aumentar até 60ºC qual será a tensão normal na barra Vamos usar o princípio da superposição dos efeitos para resolver sabendo que a barrinha não desloca total 0 temp força 0 α T l0 σ E l0 0 α T σ E 0 σ α T E σ 12 105 30 20000 kN cm2 σ 72 kN cm2 497 Exercício 7 Para resolver este problema temos que nos atentar aos deslocamentos que cada parte sofre A parte de cima sofre dois deslocamentos A e B Para encontrar a alteração de comprimento correta precisamos fazer uma subtração l1 N1L1 EA δA δB 2P1 360 20000 14625 03 0225 2P1 360 20000 14625 P1 3046875 kN l2 N2L2 EA 0225 2P1 P2 360 20000 14625 0225 23046875 P2 360 20000 14625 P2 609375 kN 498 Exercício 8 Para resolver basta calcular a força que atua na haste Para isso precisamos encontrar Rb e utilizar ângulos para calcular a componente paralela à haste CPH MA 0 300 4 2 2RB 0 RB 1200 N Analisando a figura ao lado descobrimos que sin θ CO HIP 15 25 1200 CPH 15 25 1200 CPH CPH 2000 N CPH 2 kN l Flo EA l 2 250 6890 014 l 05183 cm Por se tratar de um deslocamento muito pequeno o resultado real pode ser aproximado por meio de um triângulo retângulo Analisando a figura ao lado podemos descobrir o deslocamento do ponto que fica no meio da barra cos θ CA HIP 15 255 0518 x x 0863 cm Por semelhança de triangulo podemos fazer uma regra de 3 para encontrar o deslocamento do ponto D 2 0863 4 x x 1726 cm 499 Exercício 9 laço lconcreto ϵaço l0 aço ϵconcreto l0 concreto ϵaço ϵconcreto σaço Eaço σconcreto Econcreto σaço 200 σconcreto 29 σaço 200 29 σconcreto Fconcreto 1 4 150 375 kN Faço 3 4 150 1125 kN Para os cálculos vamos considerar que a área de aço é insignificante σconcreto Fconcreto Aconcreto σconcreto 375 π52 σconcreto 0477 kN cm2 σaço 200 29 σconcreto σaço 329 kN cm2 Agora vamos calcular as áreas σaço Faço Aaço 329 1125 Aaço 329 1125 Aaço Aaço 3416 cm2 4910 Exercício 10 A barra tem área de seção transversal de 1800 mm²e E 250 GPa Determine o deslocamento da extremidade A da barra quando submetida ao carregamento distribuído Escrevendo a normal em função de x temos Nx w dx x 0 500x 1 3 dx x 0 500 3 4 x 4 3 dx x 0 Nx 1500 4 x 4 3 dx x 0 Agora estudando o deslocamento dos pontos na barra temos ϵx N EA du dx u N EA dx l 0 1 EA u N dx l 0 u 1 EA 1500 4 x 4 3 dx l 0 u 1500 4EA x 4 3 dx l 0 u 1500 4EA 3 7 l 7 3 Igualando unidades para kN e cm u 4500 103 102 28EA 102 102 150 7 3 u 4 cm 4911 Exercício 11 O sistema articulado é composto por três elementos de aço A36 200 GPa 20000 kNcm² conectados por pinos cada um com área de seção transversal de 500 mm² Determinar o valor da força P necessária para deslocar o ponto B a uma distância de 25 mm para baixo Vamos arbitrar uma força P unitária de 1 kN e realizar os cálculos No final vamos fazer uma regra de 3 para encontrar a força P real Esse procedimento facilita o processo Dado a natureza do problema sabemos que o deslocamento do ponto P é dado por B lAB A lAB Flo EA 1kN 300cm 20000 kN cm2 5cm2 0003 cm Para descobrir a variação de comprimento das barras inclinadas precisamos encontrar a normal que atua nelas Decompondo as forças inclinadas que são as normais que atuam nos cabos AD e AC temos que suas componentes horizontais e verticais Nad e Nac são iguais FY 0 FY 2 NAD sin θ 1 0 2 NAD sin θ 1 NAD 2 25 1 2 NAD 25 4 5 8 kN Vamos calcular o quanto as barras inclinadas mudaram de comprimento lAC lAD Flo EA 5 8 250 20000 5 00015625 cm Vamos encontrar o deslocamento vertical do ponto verde usando pitágoras já que a medida horizontal do centro até a extremidade é constante e conhecemos a nova hipotenusa h2 c2 c2 25 000156252 152 c2 c 2001952782 cm A 0001952782 cm B 0003 0001952782 0004952782 cm 004952782 mm Como conhecemos o deslocamento vertical do ponto B para uma força de 1 kN vamos calcular que força gera o deslocamento de 25mm 1 kN 004952782mm x kN 25mm x 25 004952782 5048 kN Barras Circulares Sob Torção As seções planas permanecem indeformadas 4101 Inconsistências Não é possível nesse caso um ponto ir pra um lado e o outro ponto espelhado ir na direção contrária Não é possível nesse caso que a seção se mova inteira dada uma torção pois visto pelo lado de baixo a seção central se moveria para baixo e visto pelo lado de cima a seção ainda se moveria para baixo mesmo que pelo carregamento do lado de cima a seção central deveria se mover para cima Isso é inconsistente Visto pelo lado de baixo o ponto mais externo se moveria mais do que o mais interno Visto pelo lado de cima dado o carregamento contrário a impressão é que o ponto mais interno se moveria mais do que o ponto mais externo Isso é inconsistente T GJ dϕ dx T GJ dϕ dx γ ρ dϕ dx γ ρT GJ τ Gγ τ ρT J J πre 4 ri 4 2 ϕ TL GJ 4102 Exercício 1 J πre 4 ri 4 2 J π54 0 2 J π54 0 2 982 τ Tρ J τ 100 5 982 τ 0509 kN cm2 τ 509 MPa ϕ TL GJ ϕ 100 150 7700 982 ϕ 199 103 rad J π104 94 2 J 5402 τ Tρ J τ 100 10 5402 τ 0185 kN cm2 τ 185 MPa ϕ TL GJ ϕ 100 150 7700 5402 ϕ 361 104 rad Um tubo de maior raio externo é mais resistente à torção do que uma barra maciça de menor raio e gasta menos material só que ocupa mais espaço 4103 Exercício 2 Letra A J π64 454 2 J 1392 τmax Tre J τ 2000 6 1392 τ 862 kN cm2 τ 862 MPa τmin Tri J τ 2000 45 1392 τ 647 kN cm2 τ 647 MPa Letra B τ rT J τ rT πr4 2 65 2 600 kNcm πr3 r3 1200 kNcm π65 r3 5876 r 389 cm d 778 cm Letra C Torção Total Somas Toções Parciais ϕAB ϕBC ϕCD TL GJ TL GJ TL GJ 600 90 7700 π 3894 2 2000 70 7700 1392 600 50 7700 π 3894 2 600 90 7700 356 2000 70 7700 1392 600 50 7700 356 00197 00131 00109 00219 Barras NãoCirculares Sob Torção Não há tensão nas pontas da seção mostrada pois não há força atuando nessas faces Os pontos de maiores tensões são os pontos centrais indicados Como conclusão não há tensão no contorno da forma τmax T αab2 τmax Tt 1 3 bt3 τmax T Wt τb ητmax dϕ dx T Gβab3 dϕ dx T 1 3 Gbt3 dϕ dx T GJ Seções Abertas de Paredes Finas Tensão máxima ocorre onde tem espessura maior Cada chapa absorve uma parte da tensão como se fosse uma chapa isolada T T1 T2 T3 dϕ1 dx T1 GJ1 dϕ2 dx T2 GJ2 dϕ3 dx T3 GJ3 Ti dϕi dx GJi T dϕ dx GJ dϕ dx GJ dϕ1 dx GJ1 dϕ2 dx GJ2 dϕ3 dx GJ3 J J1 J2 J3 J Ji J 1 3 biti 3 Se a espessura for igual as constantes de torção das quatro seções são muito parecidas e nos cálculos são consideradas iguais Cada seção absorve sua parcela da tensão de acordo com sua rigidez T GJ Ti GJi Ti T Ji J τmaxi Ti 1 1 3 biti 2 τmaxi T Ji J ti 1 3 biti 3 τmaxi T Ji J ti Ji τmaxi Tti J τmax T tmax J τmax T Wt Trecho curvo J 1 3 t3 dS S Seções Fechadas de Paredes Finas Tensão máxima ocorre onde tem espessura menor O produto da tensão pela espessura em cada ponto é constante fluxo de cisalhamento τ1t1 τ2t2 q T q 2Area média T q 2Am T τ t 2Am τ T t 2Am τmax T tmin 2Am τmax T Wt Quando o corpo sofre deformação ele acumula energia de deformação específica du dv 1 2 σϵ ou du dv 1 2 τγ dW dx 1 2 T dϕ dx dϕ dx Tμm G4Am 2 t J 4Am 2 t μm Wt tmin 2Am 5 Flexão Flexão oblíqua o esforço atua fora dos eixos principais Os eixos principais são os eixos que passam pelo centroide eou são eixos de simetria Flexão composta há momento e normal Flexão simples há momento e cortante aplicado segundo uma das direções principais Flexão Pura É raro existir Geralmente flexão está associada com esforço cortante Os desenvolvimentos feitos abaixo estão tomando em conta que há flexão pura Teorema de Bernoulli As seções planas e ortogonais ao eixo permanecem planas e ortogonais ao eixo após a flexão σx Mz y Iz σx Mz Wt Wt Iz y Mód Res Elást 511 Exercícios Caso 1 Calcular a tensão atuando em uma seção retangular 20x60 cm sujeita a momento Mz 300 kNm Iz bh3 12 Iz 20603 12 Iz 360000 cm4 σx Mz y Iz σmax compressão 30000 30 360000 σmax compressão 25 kN cm2 σmax tração 30000 30 360000 σmax tração 25 kN cm2 Caso 2 Para a seção T mostrada sujeita a um momento fletor Mz 10 kNm esboce a distribuição de tensões indicando valores Primeiro vamos calcular a posição do centroide da figura y 10 2 5 3 6 115 10 2 3 6 y 808 cm Agora o momento de inércia Iz 2 103 12 2 10 3082 6 33 12 6 3 3422 Iz 58043 cm4 Vamos para as tensões σx Mz y Iz σmax compressão 1000 492 58043 σmax compressão 848 kN cm2 σmax tração 1000 808 58043 σmax tração 139 kN cm2 Caso 3 Para o perfil de aço abaixo indicar a parcela do momento fletor Mz absorvida pelas mesas e pela alma IZ 08 5753 12 2 20 1253 12 20 125 293752 IZ 55825 cm4 σx Mz y Iz σx Mz 30 55825 σx Mz 186083 Caso 4 Vamos começar calculando o diagrama de momento fletor da viga Começando da esquerda para a direita MB 0 20 8 4 6R1 0 RA 10667 kN RB 5333 kN M1 0 MA 40 kNm MB 0 Vamos encontrar o x do momento máximo a partir da direita Vx RB 20x 0 5333 20x 0 x 267 m Mx RBx 20x2 2 M267 711 kNm M267 7110 kNcm Vamos calcular o momento de inercia Iz bh3 12 2 bh3 12 Ad2 Iz 5 303 12 2 5 303 12 6 1532 Iz 3934 cm4 Vamos estudar os esforços na seção Como queremos os esforços máximos na seção vamos usar o momento máximo calculado Os máximos esforços de tração e compressão são 282 kNcm² σx Mz y Iz σx 7110 156 3934 σx 282 kN cm2 Caso 5 Calculando a posição do centroide em y y 20 15 40 45 10 60 15 40 10 60 325 cm Iz bh3 12 bh3 12 Ady 2 Iz 15 403 12 15 10 20 3252 60 103 12 60 10 45 3252 Iz 272500 cm4 σmax tração Mz y Iz 71111 kNcm 325 272500 0477 kN cm2 σmax compressão Mz y Iz 71111 kNcm 50 325 272500 71111 kNcm 175 272500 025 kN cm2 Flexão Oblíqua Podemos ter momento atuando em dois eixos Quando isso acontece separamos os dois momentos e estudamos de forma separada σx Mz y Iz My z Iy θlinha neutra arctan My Mz IZ Iy Esse ângulo da linha neutra depende do ângulo de atuação do momento Da razão entre as inércias principais 521 Exercícios Caso A Calcular as tensões máximas de tração e compressão e indicar a posição da linha neutra Vão de 6m Calculando o momento que atua na peça Mmax ql2 8 Mmax 2 62 8 Mmax 9 kNm 900 kNcm Calculando as propriedades geométricas IZ bh3 12 IZ 5 153 12 IZ 140625 cm4 e Iy hb3 12 Iy 15 53 12 Iy 15625 cm4 Decompondo o momento nas duas componentes perpendiculares i 30 tan θ θ arctan 03 167º sin θ 0287 cos θ 0957 Mz 900 cos θ Mz 8622 kNm My 900 sin θ My 2586 kNm Vamos encontrar a equação da linha neutra LN σ 0 0 Mz y Iz My z Iy y My Mz Iz Iy z y 2586 8622 140625 15625 z y 2699 z A inclinação da reta da linha neutra é 2699 portanto o ângulo indicado é θ arctan 2699 697º σmaxt Mz y Iz My z Iy σx 8622 75 140625 2586 25 15625 σx 8736 kN cm2 σmaxc Mz y Iz My z Iy σx 8622 75 140625 2586 25 15625 σx 8736 kN cm2 Caso B A terça de cobertura bi apoiada nas tesouras com inclinação de 10 tem vão de 6 metros e carga de 06 kNm Determinar as tensões máximas de tração e de compressão nas terças e os pontos onde ocorrem essas tensões Desenhar também a posição da linha neutra na seção transversal Espessura de 3 mm Determinando o maior momento que atua M ql2 8 M 06 62 8 M 27 kNm M 270 kNcm θ arctan10 sin 0995 cos 00905 My M sin θ Mz M cos θ My 269 kNcm Mz 270 kNcm Calculando a posição do centroide y 9 cm x 180 3 15 2 57 3 3 57 2 2 17 3 585 180 3 2 57 3 2 17 3 1783 mm Calculando os momentos de inercia dos dois eixos já que está inclinado Iz bh3 12 Iz 03 183 12 2 03 23 12 2 03 82 54 033 12 54 03 8852 Iz 4769 cm4 Iy hb3 12 Iy 18 033 12 18 03 1783 015 2 2 033 12 2 03 585 17832 03 543 12 54 03 3 17832 Iy 4139 cm4 θlinha neutra arctan 269 270 4769 4139 489º σx Mz y Iz My z Iy σx 269 y 4769 270 z 4139 σmax c 269 9 4769 270 1783 4139 σmax t 269 9 4769 270 6 1783 4139 Barras Compostas Quando uma barra é feita de dois elementos diferentes temos que homogeneizar um dos elementos e calcular um novo momento de inércia pra continuar com os cálculos de esforços na seção N é o que chamamos de razão modular n E2 E1 ou n E1 E2 σx 1 Mz y Ih ϵ E1 σx 2 Mz y E1 Ih E2 ϵ E2 Mz y Ih n 531 Exercício 1 Uma viga composta é produzida pela associação de duas chapas de aço com um núcleo de madeira como na figura Para um momento de 10 kNm calcular as tensões máximas nos dois materiais e esboçar a distribuição de tensão Emadeira 10 GPa Eaço 200 GPa Transformando o aço em madeira n Eaço Emadeira 200 10 20 A nova medida do aço é n 5 100 cm Calculando o novo momento de inércia da figura homogeneizada temos Ih 5 103 12 2 100 12 100 552 Ih 64833 cm4 σx max mad 1000 5 64833 σx max mad 0771 kN cm2 σx max aço 100 6 64833 20 σx max aço 1851 kN cm2 532 Exercício 2 Uma viga mista de aço e concreto é obtida pela associação da viga de aço com a laje de concreto como ilustrado Considerando que o aço tem módulo de elasticidade Ea 200 GPa e o concreto Ec 20 GPa determinar o momento máximo que pode ser aplicado na viga de maneira que a tensão de compressão no concreto não ultrapasse 20 MPa e a tração no aço não ultrapasse 250 MPa Calculando a posição do centroide em y 533 Exercício 3 Uma barra de seção retangular é reforçada com duas nervuras conforme a figura Se o momento fletor atuante é de 40 Nm determine a tensão máxima nas situações com e sem nervura 534 Exercício 4 Uma tábua de madeira E 12 GPa é utilizada para reforçar um perfil I de aço E 200 GPa como na figura Sabendo que a viga de aço tem inércia Iz 793 cm4 e área igual a 5494 cm² verifique o momento máximo que a viga suporta com e sem o reforço 6 Cortante Caso 1 Esforço cortante tende a causar deslizamento de camadas τxy Vy Sz b Iz O momento estáticoprimeiro momento de inércia é nulo nas extremidades Logo as tensões de cisalhamento também Assume o maior valor na altura do centroide O momento fletor é nula no centroide linha neutra e máxima nas extremidades 611 Exemplo 1 Descreva a variação de tensão de cisalhamento em uma seção retangular causada por uma força cortante τxy Vy Sz b Iz Iz bh3 12 Sz Área Distânciaentre centróides Sz b h 2 y y h 2 y 2 Sz b h 2 y h 2 y 2 τxy Vy Sz b Iz τxy Vy b h 2 y h 2 y 2 b bh3 12 τxy 6Vy h 2 y h 2 y bh3 A distribuição varia segundo uma parábola A tensão nas extremidades é 0 y h 2 612 Exemplo 2 Para o perfil ilustrado trace a distribuição de tensões cisalhamento quando submetido a uma força cortante de 100 kN τxy Vy Sz b Iz Iz 22214 cm4 Ponto 1 b 20 cm Sz 0 τxt 0 Ponto 2 b 20 cm Sz 20 25 25 2 25 2 6875 cm3 τxy Vy Sz b Iz τxy 100 6875 20 22214 τxy 01547 kN cm2 Ponto 3 b 25 cm Sz 6875 cm3 τxy Vy Sz b Iz τxy 100 6875 25 22214 τxy 124 kN cm2 Ponto 4 b 25 cm Sz 6875 25 2 25 125 2 88281 cm3 τxy Vy Sz b Iz τxy 100 88281 25 22214 τxy 159 kN cm2 613 Exercício 1 Vmax 3 10 Vmax 30 kN Iz bh3 12 Iz 6 193 12 Iz 34295 cm4 Sz b h 2 y h 2 y 2 Sz 69595 2 Sz 27075 cm3 τxy Vy Sz b Iz τxy 30 27075 6 34295 τxy 0395 kN cm2 614 Exercício 2 Forças de apoio R 2 5 2 5kN Resistência ao cisalhamento R 018 kN cm2 Momento máximo Mmax 2 52 8 625 kNm 625 kNcm Resistência ao momento T 2692 kN cm2 C 1736 kN cm2 Iz bh3 12 Iz 10 203 12 Iz 666667 cm4 Sz b h 2 y h 2 y 2 Sz 101010 2 Sz 500 cm3 τxy Vy Sz b Iz τxy 5 500 10 666667 τxy 00375 kN cm2 Suporta a cortante σx Mz y Iz σx 625 10 666667 σx 09375 kN cm2 Suporta os momentos 615 Exercício 3 Forças de apoio E 72 15 23 4696 kN E 72 08 23 2504 kN Momento máximo Mmax 4696 08 Mmax 3757 kNm Mmax 3757 kNcm Iz 2 15 43 12 2 15 83 12 3 123 12 Iz 576 cm4 616 Exercício 4 4 Uma viga caixão quadrada é feita de duas pranchas de 20x80 mm e duas de 20x120 mm pregadas entre sim Sabendo que são colocados pregos a cada 50 mm e que cada prego suporta 300 N de força de corte determinar A A maior força cortante vertical que pode ser aplicada à viga B A tensão de cisalhamento máxima correspondente A Iz bh3 12 Iz 12 123 12 8 83 12 Iz 138667 cm4 Sz 12 2 5 Sz 120 cm3 τmax Fprego Ade atuação de cada prego τmax 03 kN 5cm 2cm τmax 003 kN cm2 τxy Vy Sz b Iz 003 Vy 120 4 138667 Vy 1387 kN B Sz 120 2 2 4 2 Sz 152 cm3 τxy Vy Sz b Iz τxy 0038 kN cm2 Caso 2 Sobre a teoria de vigas de EulerBernoulli o Seções planas e ortogonais ao eixo permanecem planas e ortogonais ao eixo o A suposição de que as seções permanecem planas não é verdadeira no caso de tensão de cisalhamento o Apesar disso em vigas longas é uma hipótese adequada pois o erro é muito pequeno σx dA A N 0 σx y dA A Mz τxy dA A Vy τxz dA A Vz 0 σx z dA A My τxy zτxz y dA A T 0 621 Exemplo 1 Cortante de 100 kN Descreva a distribuição das tensões de cisalhamento y 20 2 21 20 2 10 20 2 20 2 y 155 cm Iz 20 23 12 20 221 1552 2 203 12 20 2155 102 Iz 3767 cm4 τxy 1 τxy 5 0 2 b 20 cm Sz 20 2 21 155 220 cm3 τxy 2 100 220 20 3767 0292 kN cm2 3 b 2 cm Sz 220 cm3 τxy 3 100 220 2 3767 292 kN cm2 4 b 2 cm Sz 220 45 2 45 2 24025 cm3 τxy 4 100 24025 2 3767 319 kN cm2 τxy Vy Sz b Iz τxz 100 2d 55 2 3767 0146d τxz max 0146 10 146 kN cm2 622 Exemplo 2 Descreva o fluxo de cisalhamento na seção Iz 10 203 12 9 183 12 Iz 2293 cm4 Trecho A Sz x 1 95 95x b 1 cm τzxx Vy Sz b Iz 100 95x 1 2293 04144x τxz0 0 τzx10 4144 kN cm2 Trecho B b 1 cm Sz y 1 9 y 2 10 1 95 Sz 95 9y y2 2 τzxy Vy Sz b Iz 100 95 9y y2 2 1 2293 τzx0 4144 kN cm2 τzx9 59 kN cm2 τzx18 4144 kN cm2 623 Exercício 1 y 20 10 5 18 9 45 20 10 18 9 y 713 cm Iz 20 13 12 20 1 95 7132 2 1 93 12 1 9 713 452 Iz 360 cm4 Ou Iz 20 103 12 20 10 713 52 18 93 12 18 9 713 452 Iz 360 cm4 Trecho Vertical Sz y 1 713 y 2 713y y2 2 b 1 cm τzxy Vy Sz b Iz 100 713y y2 2 1 360 τxz0 0 τzx713 706 kN cm2 τzx9 6575 kN cm2 Centro de Cisalhamento É um ponto no qual a força aplicada gera somente esforço cortante na seção Sobre o centro de cisalhamento o Sempre que houver um eixo de simetria na seção o centro de cisalhamento estará sobre estre eixo o Em seções do tipo estrela o centro de cisalhamento está no ponto de encontro dos membros o Em seções com um centro de simetria para cada ponto da figura existe um outro ponto de posição refletida em relação ao centro de simetria Para calcularmos a posição de S no caso de seções mono simétricas utilizamos a relação e F h V 631 Exemplo 1 Perfil U Determine a distribuição de tensão de cisalhamento no perfil ilustrado Calculando o momento de inércia Iz th3 12 2 bt3 12 bt h 2 2 Iz th3 12 bth2 2 Iz th2 12 h 6b Calculando a tensão de cisalhamento no trecho horizontal τxy Vy Sz b Iz τxy Vy t z h 2 t th2 12 h 6b τxy 6 Vy z t hh 6b τxy A 0 τxy B 168 kN cm2 Calculando a tensão de cisalhamento no trecho vertical em relação à altura do centroide Sz t h 2 y y h 2 y 2 t b h 2 Sz t 2 h 2 y y h 2 t b h 2 Sz t 2 h2 4 y2 t b h 2 τxy Vy Sz b Iz τxy Vy t 2 h2 4 y2 t b h 2 t th2 12 h 6b τxy Vy 1 2 h2 4 y2 b h 2 th2 12 h 6b τxy B y h 2 Vy 1 2 h2 4 h2 4 b h 2 th2 12 h 6b τxy B y h 2 6Vy b thh 6b τxy B y h 2 168 kN cm2 τxy C y 0 Vyt 2h2 4 0tbh 2 tth2 12 h6b τxy C y 0 3Vyh4b 2thh6b τxy C y 0 232 kN cm2 τxy D y h 2 τxy B y h 2 Observase que a resultante de tensões produz torção e portanto não é estaticamente equivalente à força V O ponto em que a força V deve ser aplicada para que não haja resultante de torção é chamado de centro de cisalhamento ou centro de torção e é representado pela letra S Vamos calcular a posição de S utilizando como referência a mesa superior τxy 6 Vy z t hh 6b e F h V F τxy dA Amesa F 6 Vy z t hh 6b dA Amesa F 6 Vy z t hh 6b t dz b 0 F 6 Vy hh 6b z dz b 0 F 6 Vy hh 6b z2 2 b 0 F 6 Vy hh 6b b2 2 F 3Vy b2 hh 6b e F h V e 3Vy b2 hh 6b h V e 3b2 h 6b Propriedade Geométrica e 4 cm 632 Exercício 1 Cantoneira Para a cantoneira ilustrada engastada e sujeita a força P no seu centroide determine A distribuição de tensão devido à força cortante A máxima tensão de torção y 0 at at a 2 2at y a 4 Sabendo que o momento de inércia das duas figuras acima é igual vamos aplicar o mesmo raciocínio para facilitar o cálculo do momento de inércia da cantoneira seguindo os eixos principais Iz 2 bh3 12 Iz 2 t cos 45 a cos 453 12 Iz a3t cos2 45 6 Iz a3t 1 2 6 Iz ta3 12 Iy 2 hb3 3 Iy 2 t cos 45 a cos 453 3 Iy 2a3t cos2 45 3 Iy 2 2 a3t 3 Iy ta3 3 Decompondo a força P em duas componentes paralelas aos eixos principais Tensão de Cisalhamento Por Py Sz a y t y Sz a y t a 2 cos 45 a y 2 cos 45 Sz a y t y 2 cos 45 τxy Vy Sz b Iz τxy P cos 45 a y t y 2 cos 45 t ta3 12 τxy 3P ta3 a yy Parábola F1 3Pa yy ta3 t dy a 0 F1 3P a3 ay y2 dy a 0 F1 3P a3 ay2 2 y3 3 a 0 F1 3P a3 a3 6 F1 P 2 Tensão de Cisalhamento Por Pz Sy a y t z Sy a y t a cos 45 a y 2 cos 45 Sy a y t a y 2 cos 45 Sy a2 y2 t 2 cos 45 τxy Vy Sz b Iz τxy P sin 45 a2 y2 t 2 cos 45 t ta3 3 τxy 3P 4ta3 a2 y2 Parábola F2 3P 4ta3 a2 y2t dy a 0 F2 3P 4a3 a2y y3 3 a 0 F2 3P 4a3 a3 a3 3 F2 3P 4a3 2a3 3 F2 P 2 Soma das Tensões de Cisalhamento Py e Pz τPy 3P ta3 a yy τPz 3P 4ta3 a2 y2 F4 3P ta3 a yy 3P 4ta3 a2 y2 F4 3P ta3 ay y2 a2 4 y2 4 F4 3P ta3 ay y2 a2 4 y2 4 t dy a 0 F4 3P a3 ay2 2 y3 3 a2y 4 y3 12 a 0 F4 3P a3 a3 2 a3 3 a3 4 a3 12 F4 3P a3 6a3 4a3 3a3 a3 12 F4 3P a3 4a3 12 F4 P Derivando a expressão F4 3P ta3 ay y2 a2 4 y2 4 e igualando a 0 podemos encontrar a que altura ocorre a maior tensão dF4 dy 0 a 2y 2y 4 0 a 5y 2 0 y 04a Substituindo o valor de y encontrado para descobrir a tensão máxima F4 3P ta3 a 4a 10 4a 10 2 a2 4 4a 10 2 4 F4 3P ta3 4a2 10 16a2 100 a2 4 16a2 400 F4 3P ta3 9a2 20 F4 135 P ta Diferença das Tensões de Cisalhamento Py e Pz τPy 3P ta3 a yy τPz 3P 4ta3 a2 y2 F4 3P ta3 a yy 3P 4ta3 a2 y2 F4 3P ta3 ay y2 a2 4 y2 4 F4 3P ta3 ay y2 a2 4 y2 4 t dy a 0 F4 3P a3 ay2 2 y3 3 a2y 4 y3 12 a 0 F4 3P a3 a3 2 a3 3 a3 4 a3 12 F4 3P a3 6a3 4a3 3a3 a3 12 F4 3P a3 7a3 7a3 12 F4 0 Tensão Pelo Momento Torsor τmax T tmax 1 3 biti 3 τmax P a 4 t 1 3 2at3 τmax P a 4 2at2 3 τmax 3P 8t2 633 Exercício 2 COMENTÁRIOS E SUGESTÕES LUIZROOUTLOOKCOM τ Vy Sz t Iz Iz 2 t a312 2 a312 a t a22 t a36 2 a3 t 6 2 t a3 3 Em 1 Sz y t y2 t y2 2 em y0 Sz 0 em ya2 Sz t a210 Em 2 Sz t a2 8 3 t a 2 em y 0 Sz t a210 em ya Sz t a2 8 a t a 2 5 t a2 8 Em 3 Sz 5 t a2 8 y t a2 y 5 t a2 8 y t a2 y em y 0 5 t a2 8 em y a2 3 t a2 4 em y a 5 t a2 8 τ Vy Sz t Iz Vy Sz 4 23 t a3 32 Vy t2 a3 Sz τA 32 Vy t a3 t a2 8 3 Vy 16 t a τB 32 Vy t2 a3 5 t a2 8 15 Vy 16 t a τC 32 Vy t2 a3 3 t a2 9 9 Vy t a F1 A1 τ dA A1 32 Vy t a3 t y2 2 dA 0a 32 Vy t a3 t y2 2 t dy 34 Vy a 0a2 y2 dy 6 Vy 4 a3 y33 0a2 Vy a28 Vy 32 F2 A2 τ dA A2 τ t d y t τ d y t 32 Vy t a3 15 Vy 16 t a α2 1832 Vy F3 A3 t dA A3 τ t d y t τ d y t 15 Vy 16 α 23 α 3 Vy t a 4716 Vy Vy e F3 0 F2 a 2 F1 a Vy e 18 Vy a 32 2 1 Vy a 32 e 25 a 32 5 a 8 634 Exercício 3 Calculando o momento de inércia Iy 03 143 12 2 3 033 12 3 03 72 12 033 12 Iy 1568 cm4 Calculando os momentos estáticos de inércia sabendo que o sz da barra central é 0 Sz 1 03 a 7 Sz 1 21a Sz 2 3 03 7 b 03 7 b 2 Sz 2 63 21b 015b2 Calculando as tensões na barra horizontal τxy 1 Vz Sz 1 b Iy Vz 21a 03 1568 21 a Vz 4704 τxy 1 a 3 0134Vz Calculando as tensões na barra vertical τxy 2 Vz Sz 2 b Iy τxy 2 Vz 63 21b 015b2 03 1568 τxy 0 b 0 0134Vz τxy 0 b 7 029Vz Derivando e encontrando o ponto de máximo para provar que o máximo fica no centro dτxy 2 db 0 Vz 21 03b 03 1568 0 21 03b 0 b 7 cm Integrando as forças F1 e F2 F1 τ dA dA t base altura 2 03 3 0134Vz 2 00603Vz F2 τ dA dA t base altura 2 3 baseparábola alturaparábola 03 base altura 2 3 baseparábola alturaparábola 03 14 0134Vz 2 3 14 029 0134Vz 09996Vz No F2 é necessário fazer a subtração 0290134 para não contar a mesma área duas vezes Calculando a posição do centro de cisalhamento de duas formas diferentes Vz e F1 h Vz e 00603Vz 14 e 08442 ou Vz d F1 h F2 12 Vz d 00603Vz 14 Vz 12 e 128442 635 Exercício 4 Perfil I Mesas Desiguais Calculando o momento de inércia Iz tb2 3 12 tb1 3 12 Iz t 12 b1 3 b2 3 Calculando sz das duas mesas Sz 1 t z1 b1 2 z1 2 Sz 2 t z2 b2 2 z2 2 Calculando a tensão de cisalhamento na mesa direita τxy 1 Vz Sz 1 b Iz Vz t z1 b1 2 z1 2 t t 12 b1 3 b2 3 12Vz z1 b1 z1 2 tb1 3 b2 3 6Vz z1 b1 z1 tb1 3 b2 3 τxy 1 z1 b1 2 6Vz b1 2 b1 b1 2 tb1 3 b2 3 6Vz b1 2 4 tb1 3 b2 3 3Vz 2t b1 2 b1 3 b2 3 Calculando a tensão de cisalhamento na mesa esquerda τxy 2 z2 b1 2 V Sz 2 b Iz 3Vz 2t b2 2 b1 3 b2 3 Integrando as tensões para encontrar as forças e calcular a posição do centro de cisalhamento F1 τ dA dA t 2 3 baseparábola alturaparábola t 2 3 b1 3Vz 2t b1 2 b1 3 b2 3 Vz b1 3 b1 3 b2 3 F2 τ dA dA Vz b2 3 b1 3 b2 3 Encontrando a posição do centro de cisalhamento fazendo momento em torno do ponto P F1h Vza a F1h Vz a Vz b1 3 b1 3 b2 3 h Vz a b1 3 b1 3 b2 3 h 7 Deflexão em Vigas Dadas as posições do eixo da linha neutra e um eixo qualquer numa distância y da linha neutra podemos descrever as novas posições desses eixos após a deflexão da viga Arco Ângulo Raio Linha neutra após deflexão L θ ρ Eixo qualquer após deflexão L θ ρ y Sabendo que σx Mz y Iz σx E ϵx E ϵx Mz y Iz ϵx Mz y E Iz ϵx l l0 ϵx L L L ϵx θ ρ y θ ρ θ ρ ϵx y ρ ϵx Mz y E Iz y ρ Mz y E Iz 1 ρ Mz E Iz É possível calcular a curvatura kappa da função em termos das derivadas Do cálculo 2 K 1 ρ d2v dx2 1dv dx 2 3 2 Em estruturas com pequenos deslocamentos e pequenas rotações dv dx é pequeno então dv dx 2 0 K 1 ρ d2v dx2 K 1 ρ d2v dx2 Mz E Iz Equação diferencial facilitada da linha elástica Equação Diferencial da Linha Elástica Relembrando de análise 1 dM dx V dV dx p Vamos continuar derivando a equação diferencial facilitada da linha elástica d2v dx2 1 EI M Cortante da esquerda pra direita dM dx V d3v dx3 1 EI dM dx d3v dx3 1 EI V V d3v dx3 EI Cortante da direita pra esquerda dM dx V d3v dx3 1 EI dM dx d3v dx3 1 EI V V d3v dx3 EI d4v dx4 1 EI dV dx d4v dx4 p EI p d4v dx4 EI Analogia de Mohr Relembrando das equações diferenciais da linha elástica d2v dx2 1 EI Mx dv dx 1 EI Mx dx v 1 EI Mx dx Relembrando das relações diferenciais das vigas d2 dx2 Mx d dx Vx px d dx Mx Vx Mx Vx dx px dx dx O método da analogia de Mohr consiste em calcular o momento da viga original e transformar na carga de uma viga equivalente Calculando o momento na viga equivalente encontramos a flecha na viga original 721 Equivalências de Relações Diferenciais Perceba que na esquerda integramos de cima pra baixo e na direita integramos de cima pra baixo Viga Original Nova Viga Momento Carga Rotação Cortante Flecha Momento Exercícios Deflexão em Vigas 731 Exemplo 1 Viga Bi Apoiada com Carga Distribuída Equacionando o momento a partir da esquerda Mx ql 2 x qx2 2 Aplicando a equação da curvatura da função primeira forma de resolver problemas desse tipo d2v dx2 Mx E I d2v dx2 1 E I ql 2 x qx2 2 É uma EDO do tipo separável então basta integrar os dois lados d2v dx2 dx q 2EI lx x2dx dv dx q 2EI lx2 2 x3 3 C1 dv dx dx q 2EI lx2 2 x3 3 C1 dx vx q 2EI lx3 6 x4 12 C1x C2 Para descobrir quais são as constantes C1 e C2 precisamos encontrar condições de contorno para resolver o PVI o A flecha no primeiro apoio é 0 ou seja v0 0 v0 q 2EI 0 0 0 C2 0 C2 2EI 0 C2 0 o A flecha no primeiro apoio é 0 ou seja v0 0 vl q 2EI l4 6 l4 12 C1l 0 0 q 2EI l4 12 C1l 0 l4 12 C1l 0 C1 l3 12 Dessa forma a equação da flecha é vx q 2EI lx3 6 x4 12 l3x 12 Note que esta equação possui 3 raízes mas só uma está no intervalo analisado entre 0 e l A flecha máxima ocorre em l2 v l 2 q 2EI l l 2 3 6 l 2 4 12 l3 l 2 12 v l 2 q 2EI l4 8 6 l4 16 12 l4 2 12 v l 2 q 2EI 5l4 192 v l 2 5ql4 384EI 732 Exemplo 2 Viga Engastada com Carga Concentrada Equacionando o momento a partir da esquerda Mx Px Pl Desenvolvendo a equação da curvatura da função d2v dx2 Mx E I d2v dx2 1 E I Px Pl d2v dx2 P E I x l dv dx P E I x2 2 lx C1 v P E I x3 6 lx2 2 C1x C2 Estudando as condições de contorno o A flecha no apoio é 0 v0 0 v P E I 0 0 0 C2 0 C2 0 o A rotação no engaste é nula v0 0 dv dx P E I 0 0 C1 0 C1 0 Estudando as posições da flecha máxima através da derivada de v dv dx P E I x2 2 lx 0 0 x2 2 lx 0 x2 2lx 0 xx 2l 0 x 0 Errado x 2l Fora da viga o Olhando as condições do contorno temos que a flecha máxima está em x l vl P E I l3 6 l3 2 vl P𝑙3 3EI Resolvendo por Mohr Viga original e diagrama de momento Viga nova pela analogia de Mohr Cálculo de momento máximo da viga nova 733 Exemplo 3 Viga Engastada com Carga Concentrada e Carga Distribuída Equacionando a carga distribuída a partir da direita px po l x Aplicando as equações diferenciais da linha elástica d4v dx4 p EI d4v dx4 p0 𝑙 EI 𝑥 d3v dx3 p0 𝑙 EI x2 2 C1 d2v dx3 p0 𝑙 EI x3 6 C1x C2 dv dx p0 𝑙 EI x4 24 C1 x2 2 C2x C3 v p0 𝑙 EI x5 120 C1 x3 6 C2 x2 2 C3x C4 Estudando as condições de contorno para encontrar as quatro constantes do problema tomando cuidado com o sistema de coordenadas adotado o A cortante na extremidade é P lembre se que cortante da direita pra esquerda é dM dx V d3v dx3 0 1 EI P d3v dx3 0 1 EI V p0 𝑙 EI 0 C1 1 EI P C1 P𝑙 p0 o O momento na extremidade é 0 d2v dx3 0 1 EI M d2v dx3 0 1 EI M p0 𝑙 EI 0 0 C2 1 EI 0 p0 𝑙 C2 0 C2 0 o A rotação no engaste é nula dv dx l 0 dv dx 𝑙 p0 𝑙 EI 𝑙4 24 P𝑙 p0 𝑙2 2 0 C3 0 l4 24 P𝑙3 2p0 0 C3 0 C3 l4 24 P𝑙3 2p0 o A flecha no apoio é 0 vl 0 vl p0 𝑙 EI 𝑙5 120 P𝑙 p0 𝑙3 6 0 l4 24 P𝑙3 2p0 𝑙 C4 0 𝑙5 120 P𝑙4 6p0 0 l5 24 P𝑙4 2p0 C4 0 C4 4𝑙5 120 2P𝑙4 6p0 C4 𝑙5 30 P𝑙4 3p0 Vamos encontrar a flecha máxima que ocorre em x 0 vx p0 𝑙 EI x5 120 P𝑙 p0 x3 6 l4 24 P𝑙3 2p0 x 𝑙5 30 P𝑙4 3p0 v0 p0 𝑙 EI 𝑙5 30 P𝑙4 3p0 v0 1 EI p0𝑙4 30 P𝑙3 3 734 Exemplo 4 Viga Bi Apoiada com Dois Trechos E 13000 MPa 1300 kNcm2 Iz 6912 cm4 Equacionando o momento pros dois trechos Mzx 40x 40x 60x 200 x 200 cm x 200 cm Sabendo que d2v dx2 1 EI M d2v dx2 1 EI 40x 40x 60x 200 x 200 cm x 200 cm d2v dx2 1 EI 40x 12000 20x x 200 cm x 200 cm Integrando para encontrar a expressão da flecha v dv dx 1 EI 20x2 A1 12000x 10x2 B1 x 200 cm x 200 cm vx 1 EI 20 3 x3 A1x A2 6000x2 10 3 x3 B1x B2 x 200 cm x 200 cm Estudando as condições de contornos o Flecha nos apoios 0 v0 0 vx 1 EI 20 3 x3 A1x A2 0 v0 1 EI 0 0 A2 0 A2 0 v600 0 vx 1 EI 6000x2 10 3 x3 B1x B2 0 v600 1 1300 6912 60006002 10 3 6003 B1600 B2 0 216 108 72 108 600B1 B2 0 600B1 B2 144 108 Eq 1 Estudando as condições de compatibilidade o Flecha na interseção dos trechos é igual v1200 v2200 v1200 v2200 1 EI 20 3 2003 A1200 0 1 EI 60002002 10 3 2003 B1200 B2 16 107 3 200A1 24 107 8 107 3 200B1 B2 200A1 16 107 200B1 B2 Eq 2 o Rotação na interseção dos trechos é igual θ1200 θ2200 v1 200 v2 200 v1 200 v2 200 202002 A1 12000200 102002 B1 8 105 A1 24 105 4 105 B1 A1 12 105 B1 Eq 3 Substituindo Eq 3 Eq 2 200A1 16 107 200B1 B2 20012 105 B1 16 107 200B1 B2 24 108 200B1 16 107 200B1 B2 B2 8 107 Substituindo B2 Eq 1 600B1 B2 144 108 600B1 8 107 144 108 B1 253333333 Substituindo B1 Eq 3 A1 12 105 B1 A1 12 105 253333333 A1 133333333 Dessa forma todas as constantes são A1 133333333 A2 0 B1 253333333 B2 8 107 Calculando a flecha máxima vx 1 EI 20 3 x3 133333333x v200 1 1300 6912 20 3 2003 133333333200 v200 2374 cm Resolvendo por Mohr EI 9 106 kNcm2 Calculando o momento em torno de B para encontrar Ra Calculando o momento máximo da viga nova no ponto de carga máxima 735 Exemplo 5 Viga Engastada com Carga Estranha d4v dx4 p d4v dx4 p0 1 4 L x 3 L2 x2 d3v dx3 p0 x 2 L x2 1 L2 x3 C1 d2v dx2 p0 x2 2 2 3L x3 1 4L2 x4 C1x C2 dv dx p0 x3 6 1 6L x4 1 20L2 x5 C1 x2 2 C2x C3 v p0 x4 24 1 30L x5 1 120L2 x6 C1 x3 6 C2 x2 2 C3x C4 Cortante na ponta é 0 Vx p0 EI x 2 L x2 1 L2 x3 C1 VL p0 EI L 2L L C1 0 C1 0 Momento na ponta é 0 Mx p0 EI x2 2 2 3L x3 1 4L2 x4 C2 ML p0 EI L2 2 2 3 L2 1 4 L2 C2 0 p0 12EI L2 C2 0 C2 p0L2 12EI Rotação no engaste é 0 θx p0 EI x3 6 1 6L x4 1 20L2 x5 p0L2 12EI x C3 θ0 p0 EI 0 0 0 0 C3 0 C3 0 Flecha no engaste é 0 vx p0 EI x4 24 1 30L x5 1 120L2 x6 p0L2 12EI x2 2 C4 v0 p0 EI 0 0 0 0 C4 C4 0 A flecha na ponta é vx p0 EI x4 24 x5 30L x6 120L2 p0L2 12 x2 2 vL p0 EI L4 24 L5 30L L6 120L2 p0L2 24 L2 vL p0 EI L4 24 L4 30 L4 120 p0L4 24EI vL p0L4 60EI p0L4 24EI vL p0L4 40EI Flecha pra cima 736 Exemplo 6 Viga Bi Apoiada com Balanço e Carga Concentrada Precisamos encontrar as novas reações de apoio pra depois encontrar o momento na viga nova que corresponde na viga velha a flecha Como temos uma rótula na viga nova sabemos que o momento ali é 0 Portanto basta isolar um dos lados e calcular o momento para descobrir uma das reações de apoio MB esq 0 L RA L PαL EI 1 2 L 3 0 RA PαL2 6EI Fazendo somatório de forças verticais para encontra a outra reação Fy 0 RA RC L PαL EI 1 2 αL PαL EI 1 2 0 PαL2 6EI RC L PαL EI 1 2 αL PαL EI 1 2 0 RC 1 2 L PαL EI αL PαL EI PαL2 3EI RC αPL2 2EI 1 1 α 1 1 3 RC PαL2 2EI α 2 3 Fazendo somatório de momento na rótula da viga nova que é a flecha na viga original MC 0 RA L1 α PαL EI L 2 αL L 3 PαL EI αL 2 2 3 αL MC 0 MC PαL3 6EI 1 α PαL3 2EI α 1 3 Pα3L3 3EI MC PαL3 EI α 2 1 6 α2 3 1 6 α 6 MC PαL3 EI 3α 6 1 6 2α2 6 1 6 α 6 MC PαL3 3EI α α2 MC Pα2L3 3EI 1 α Calculando a rotação na rótula por meio do cálculo de cortante na viga nova RA PαL EI L 2 VB 0 VB PαL EI L 2 PαL2 6EI VB PαL2 3EI Ou RC PαL EI αL 2 VB 0 VB PαL EI αL 2 PαL2 2EI α 2 3 VB PαL 2EI αL αL 2L 3 VB PαL2 3EI Princípio da Superposição dos Efeitos e Vigas Hiperestáticas O efeito total de várias causas independentes atuando ao mesmo tempo pode ser obtido como a soma dos efeitos individuais de cada causa quando atuando isoladamente o Viga bi apoiada com carga distribuída RA ql 2 RB ql 2 o Viga bi apoiada com carga concentrada RA P1b c l RB P1a l RA P1c l RB P1a b l o Reações considerando todas as cargas juntas RA ql 2 P1b c l P1c l RB ql 2 P1a l P1a b l o O mesmo princípio se observa para os momentos e flechas 741 Tabela de Inclinações e Deslocamentos 742 Exercícios de Superposição Exemplo 1 Calcule a flecha no ponto C e a rotação no ponto A na viga a seguir Se fôssemos resolver pela equação diferencial da linha elástica precisaríamos encontrar 6 constantes de integração duas para cada trecho 74211 Flecha Usando Analogia de Mohr Resolvendo pela analogia de Mohr temos que a nova viga é o As reações de apoio são RA RB L 3 PL 3EI 2 L 3 PL 3EI 2 RA RB 2 2 PL2 9EI RA RB PL2 9EI o A cortante nas extremidades da viga nova é V PL2 9EI logo na viga antiga equivale à rotação VA VB PL2 9EI θA θB PL2 9EI o Calculando o momento no ponto C cuja distância da extremidade é L3 MC vC PL2 9EI L 3 L 3 PL 3EI 2 1 3 L 3 PL3 27EI PL2 18EI 1 3 L 3 PL3 27EI PL3 162EI 5PL3 162EI 74212 Flecha Usando Tabela Resolvendo o mesmo problema utilizando a tabela de fórmulas temos o Sendo x a posição da flecha que queremos encontrar Note que x varia de 0 até a ou seja de 0 até a posição da flecha Logo a expressão não é válida se a flecha que se pretende encontrar estiver na direita da carga o Calculando a flecha causada pela força da direita vx Pbx 6EIL L2 b2 x2 vc 2 P L 3 2L 3 6EIL 3L 3 2 L 3 2 2L 3 2 vc 2 2PL2 9 6EIL 9L2 9 L2 9 4L2 9 vc 2 PL2 27EIL 4L2 9 vc 2 4PL3 243EI o Calculando a flecha causada pela força da esquerda Note que a força está sendo aplicada antes do ponto no qual queremos saber a flecha Logo a fórmula não pode ser aplicada normalmente Uma estratégia é espelhar a carga e continuar os cálculos com as mesmas distâncias a b e x Outra estratégia é adotar uma nova coordenada x lembrando de trocar as distâncias a e b de lugar ou vx Pbx 6EIL L2 b2 x2 vc 1 P L 3 L 3 6EIL 3L 3 2 L 3 2 L 3 2 vc 1 PL2 9 6EIL 9L2 9 L2 9 L2 9 vc 1 PL 54EI 7L2 9 vc 1 7PL3 486EI o Conhecendo as duas parcelas vamos encontrar a flecha total vc vc 1 vc 2 vc 7PL3 486EI 4PL3 243EI vc 5PL3 162EI 74213 Rotação Usando Tabela Vamos calcular uma parte da rotação a partir da derivada da equação da flecha v Pbx 6EIL L2 b2 x2 v Pb 6EIL L2x b2x x3 dv dx θ Pb 6EIL L2 b2 3x2 o Calculando a contribuição da força da direita na rotação do apoio da esquerda lembrando que b é a distância da força até o fim da barra e x é a posição em x do ponto no qual queremos calcular a rotação θx Pb 6EIL L2 b2 3x2 θA 2 P L 3 6EIL 3L 3 2 L 3 2 3 02 θA 2 P 18EI 9L2 9 L2 9 θA 2 8PL2 162EI θA 2 4PL2 81EI o Calculando a contribuição da força da esquerda θx Pb 6EIL L2 b2 3x2 θA 1 P 2L 3 6EIL 3L 3 2 2L 3 2 3 02 θA 1 2PL 3 6EIL 9L2 9 4L2 9 θA 1 5PL2 81EI o Calculando a rotação total θA θA 1 θA 2 θA 5PL2 81EI 4PL2 81EI θA 9PL2 81EI θA PL2 9EI Exemplo 2 Para a viga ilustrada determine as reações de apoio traçar os diagramas de esforços e calcular a flecha no meio do vão Utilize a tabela como referência para auxiliar no cálculo de flechas Para resolver este exercício com viga hiperestática vamos remover o apoio da direita e fazer as devidas substituições considerar rotação e flecha ali como 0 e posicionar momento e carga concentrada Decompondo as três forças que atuam temos que as contribuições de flecha e rotação na ponta são v0 B pl4 8EI θ0 B pl3 6EI v1 B RBl3 3EI θ1 B RBl2 2EI v2 B MBl2 2EI θ2 B MBl EI Retomando as considerações feitas no início do exercício flecha e rotação no ponto B sendo 0 temos vB 0 v0 B v1 B v2 B 0 pl4 8EI RBl3 3EI MBl2 2EI 0 8RBl 3pl2 24 MB 2 MB 16RBl 6pl2 24 θB 0 θ0 B θ1 B θ2 B 0 pl3 6EI RBl2 2EI MBl EI 0 MB 3RBl pl2 6 Igualando as duas expressões temos 16RBl 6pl2 24 3RBl pl2 6 96RBl 36pl2 72RBl 24pl2 RB 12 24 pl RB pl 2 Encontrando o momento em B MB 3 pl 2 l pl2 6 MB 3 2 pl2 pl2 6 MB 1 12 pl2 d2 v d x2 M EI q l2 12 t q l 2 x 9 x2 2 1 EI d v dx 1 EI g l2 x 12 l x2 4 x3 6 C1 dvdxx0 0 C1 0 dvdxxl q EI l3 12 l34 l36 0 224 6 24 4 24 v q EI l2 x2 24 l x3 12 x4 24 C2 v x0 0 C2 0 vx q EI l2 x2 24 l x3 12 x4 24 vxl q EI l4 24 l4 12 l4 24 0 vxl2 q EI l2 l2 24 l4 4 l l3 12 1 l4 24 l416 q l4 384 EI Solução de Vigas Hiperestáticas 751 Exercício 1 Fy 0 RA RB RC q 2L 0 Eq 1 MZ C 0 2LRA LRB q2L L 0 2RA RB q2L 0 ou 2RC RB q2L 0 Eq 2 Temos duas equações linearmente independentes e três incógnitas para encontrar Precisamos encontrar a equação que falta Para isso vamos transformar o apoio do meio em uma carga concentrada admitindo que a flecha causada pela carga distribuída é igual a flecha causada pela nova carga concentrada δB Total δB q δB RB 0 5qL4 384EI RBL3 48EI 0 5q2L4 384EI RB2L3 48EI 0 5q16L4 384EI RB8L3 48EI 0 RBL3 6EI 5qL4 24EI 4RB 5qL RB 5 4 qL Substituindo RB em Eq 2 2RA 5 4 qL q2L 0 8RA 5qL 8qL 0 RA 3 8 qL RC 3 8 qL 7511 Diagramas COMENTÁRIOS E SUGESTÕES LUIZROOUTLOOKCOM DIAGRAMAS MB z1 3 q l 8 l q l l 2 3 q l2 8 4 q l2 8 q l2 8 DV DM TRAÇADO DOS DIAGRAMAS PELO PSE MIN 36 8 3 8 9 3 8 1 8 1 9 q l2 64 1 2 9 q l2 64 1 2 9 64 q l2 2 128 q l2 21 54 8 3 8 1 1 3 8 3 8 3 4 8 8 4 8 5 4 8 8 8 4 8 8 8 5 8 8 5 8 2 16 8 2 16 8 2 16 8 2 16 8 2 16 8 2 16 8 Listas Vigas 811 Exercício 1 RB 30 4 2 15 75 15 105 75 68 kN RA 30 4 15 2 68 0 RA 82 kN Calculando os esforços cortantes VA 82 kN V1 82 30 4 38 kN V2 38 15 68 15 kN V3 15 15 0 kN Calculando os momentos M1 82 4 30 4 2 88 kNm M2 15 3 45 kNm xmmax 82 4 120 273m Mmax 82 273 30 2732 2 112 kNm Pórticos 821 Exercício 3 MB dir 10 4 2 5 4RD 4HD 0 4RD 4HD 85 MA 50 25 10 4 2 5 4RD HD 0 4RD HD 210 HD 25 kN RD 4625 kN FX 50 25 HA 0 HA 25 kN FY 10 4 4625 RA 0 RA 625 kN Calculando os esforços normais NAB 625 kN NBC 50 25 25 kN NCD 4625 kN Calculando os esforços cortantes VA 25 kN V1 25 50 25 kN VB 625 kN VC 625 10 4 4625 kN VCD 25 kN Calculando os esforços de momento MA MB MD 0 M1 25 25 625 kN MC esq 25 5 625 4 50 25 10 4 2 105 kNm MD inf 25 2 50 kNm MD sup 50 5 55 kNm MC inf 25 4 5 105 kNm Propriedades Geométricas 831 Exercício 1 Como a figura é simétrica tanto em x quanto em y basta determinar o momento de inércia pelo eixo x e y central da figura Vamos iniciar os cálculos dividindo a figura em 3 partes e utilizando o teorema dos eixos paralelos Ix Ix1 Ix2 Ix3 Ix bh3 12 bh3 12 Ady 2 bh3 12 Ady 2 Ix 08 60 125 23 12 20 1253 12 20 125 30 125 2 2 20 1253 12 20 125 30 125 2 2 Ix 55825 cm4 Iy Iy1 2Iy2 Ix bh3 12 2 bh3 12 Ix 60 125 2 083 12 2 125 203 12 Ix 166912 cm4 832 Exercício 2 Ix Ix1 Ix2 Ix3 Ix4 Ix 2 bh3 12 bh3 12 Ady 2 bh3 12 Ady 2 Ix 2 08 60 125 23 12 20 1253 12 20 125 30 125 2 2 20 1253 12 20 125 30 125 2 2 Ix 6849896 cm4 Iy Iy1 Iy2 Iy3 Iy 2 bh3 12 2 bh3 12 Adx 2 Iy 2 125 203 12 2 60 125 2 083 12 60 125 2 08 752 Iy 2 125 203 12 2 60 125 2 083 12 60 125 2 08 752 Ix 684657 cm4 833 Exercício 3 AChapa 36cm2 y 36 015 2 231 03 111 36 2 231 y 0858 Origem y 0558 Interface Ix Ix1 2Ix2 Ix bh3 12 Ady 2 2ICantoneira Ady 2 Ix 12 033 12 36 0858 0152 2358 231 111 03 08582 Ix 104 cm4 Iy Iy1 2Iy2 Iy bh3 12 2ICantoneira Adx 2 Iy 03 123 12 2358 231 6 1112 Iy 16083 cm4 834 Exercício 4 Vamos calcular a posição do centroide x x1 A1 x2 A2 A x 3 48 25 15 48 15 x 323 cm y y1 A1 y2 A2 A y 4 48 35 15 48 15 y 423 cm Ix Ix1 Ix2 Ix 6 83 12 48 0232 3 53 12 15 0732 Ix 2192957 cm4 Iy Iy1 Iy2 Iy 8 63 12 48 0232 5 33 12 15 0732 I𝑦 1272957 cm4 Barras em Força Axial 841 Exercício 1 A barra tem área de seção transversal de 1800 mm²e E 250 GPa Determine o deslocamento da extremidade A da barra quando submetida ao carregamento distribuído Resp 299 mm 842 Exercício 2 O sistema articulado é composto por três elementos de aço A36 conectados por pinos cada um com área de seção transversal de 500 mm² Determinar o valor da força P necessária para deslocar o ponto B a uma distância de 25 mm para baixo Resp P 5047 kN 843 Exercício 3 Cara um dos três cabos de aço A36 tem diâmetro de 2 mm e comprimento LAC 160 m e LAB LAD 20 m quando não carregados Determine a força em cada cabo depois que a massa de 150 kg é suspensa pelo anel em A Resp AD 4651 N AB 4651 N AC 7268 N 844 Exercício 4 A posição original da barra rígida é horizontal e ela é sustentada por dois cabos com área de seção transversal de 36 mm² cada e E 200 GPa Determine a rotação da barra quando uma carga uniforme é aplicada Resp 0180 graus 845 Exercício 5 Uma trena de aço é usada por um supervisor para medir o comprimento de uma reta A seção transversal da trena é retangular com 125 mm de espessura por 5 mm de largura e o comprimento é de 30m quando T 20C e a carga de tração na trena é de 100 N Determine o comprimento verdadeiro da reta medida se a leitura da trena for 139 m quando usada sob tração de 175 N a T 40C O piso onde a trena é utilizada é plana e o aço tem coeficiente de dilatação térmica de 17 x 106 C e E 200 GPa Resp 139056 m 846 Exercício 6 Uma coluna de aço A36 tem área de seção transversal de 11250 mm² e está embutida em concreto como mostra a figura Se uma força axial de 300 kN for aplicada à coluna determinar as tensões no aço e no concreto Até que distância a coluna se encurta Seu comprimento original é de 24 m Resp Tensão no aço 1323 MPa Tensão no concreto 192 MPa deslocamento 0159 mm Barras em Torção 851 Exercício 1 852 Exercício 2 853 Exercício 3 854 Exercício 4 855 Exercício 5 856 Exercício 6 857 Exercício 7 858 Exercício 8 859 Exercício 9 8510 Exercício 10 Barras Fletidas 861 Exercício 1 A peça de alumínio está sujeita a um momento de 75 Nm Determine a tensão de flexão criada nos pontos B e C da seção transversal Trace um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume localizado em cada um desses pontos Resp Ponto B 3612 MPa Ponto C 1548 MPa Determine a força resultante que as tensões de flexão produzem na tábua superior da viga se M 15 kNm Resp 423 kN Um pino é usado para interligar 3 elos Devido ao desgaste a carga é distribuída na parte superior e inferior do pino conforme mostrado no diagrama de corpo livre Se o diâmetro do pino for de 10 mm determine a tensão de flexão máxima na área da seção transversal na seção central Resp 16977 MPa A viga de aço tem a seção transversal indicada Se a carga aplicada tem valor w0 10 kNm determinar a tensão de flexão máxima na viga Resp 11138 MPa A viga de seção transversal retangular está sujeita a um momento M 35 kNm com direção conforme ilustrado Determine a tensão máxima de flexão e a orientação da linha neutra Resp Tensão máxima 2903 MPa linha neutra inclinada de 6659 Considere o caso geral de uma viga prismática sujeita às componentes de momento fletor My e Mz como mostra a figura quando os eixos x y e z passam pelo centroide da seção transversal Se o material for linear elástico a tensão normal na viga é uma função linear da forma σ a by cz Usando as condições de equilíbrio da seção transversal Normal igual a zero e os momentos obtidos pela integração na área da tensão vezes a distância determinar as constantes a b e c e mostrar que a tensão normal pode ser determinada por σ MzIyz MyIz y MyIx MzIxy zIxIz Iyz2 A seção Z tem os momentos principais de inércia iguais a Iy 0060 10³ cm⁴ e Iz 0471 10³ cm⁴ Se a seção for submetida a um momento M 250 Nm na direção da figura determinar a tensão produzida no ponto A Resp 0293 MPa compressão Realizar também a conta sem decompor o momento atuante isto é utilizando os momentos de inércia e produto de inércia segundo o eixo y e z As quatro forças mostradas na figura abaixo são aplicadas a uma placa rígida suportada pelo poste de aço cheio de raio a Sabendo que P 100 kN e a 40 mm determine a tensão máxima no poste e esboce a distribuição de tensões na seção transversal quando a a força em D é removida b as forças em C e D são removidas Resp a 1393 MPa b 1523 MPa Uma coluna curta é feita pregandose quatro pranchas de 254 x 1016 mm a um tarugo de madeira com 1016x1016 mm Determine a maior tensão de compressão desenvolvida na coluna pela aplicação de uma carga de 712 kN no centro da seção no topo dessa coluna se a a coluna for como o que foi descrito b a prancha 1 for removida c as pranchas 1 e 2 forem removidas d as pranchas 1 e 3 forem removidas e as pranchas 1 2 e 3 forem removidas f todas as pranchas forem removidas Resp a 32 MPa b 526 MPa c 43 MPa d e 82 MPa f 64 MPa Sabendo que o grampo mostrado na figura foi usado para prensar pranchas de madeira que estão sendo coladas até P 400 N determine na seção aa as tensões nos pontos A B e D e a posição da linha neutra Resp Ponto A 527 MPa Ponto D 672 MPa LN está 1120 mm acima de D A força excêntrica P é aplicada a uma barra de aço com seção transversal de 25x90 mm conforme a figura As deformações em A e B foram medidas e encontraramse os valores de 350e6 e 70e6 Sabendo que o módulo de elasticidade do material é de 200 GPa determine a distância D e a intensidade da força P Resp d 30 mm P 945 kN Barras Compostas 871 Exercício 1 Um perfil U é usado para reforçar uma viga de madeira Determinar as tensões máximas no aço e na madeira e esboçar as distribuições de tensão na seção quando um momento de 12 kNm é aplicado Considerar os módulos de elasticidade do aço e da madeira iguais respectivamente a 200 e 12 GPa Resp No aço 1037 MPa e na madeira 062 MPa Uma barra de aço E 210 GPa e uma barra de alumínio E 70 GPa são unidas para formar a barra composta da figura Determinar as tensões máximas no alumínio e no aço quando a barra é fletida em torno do eixo horizontal com momento de 200 Nm Resp No aço 121 MPa e no alumínio 519 MPa Uma viga de madeira E 124 GPa é reforçada com um perfil U 200x171 de aço E 200 GPa Determinar a redução percentual de tensão na madeira ocasionada pela colocação do reforço Propriedades do perfil U Resp Redução de 353 Cinco chapas metálicas cada uma com 15x45 mm são unidas para formar uma viga composta mostrada na figura Os módulos de elasticidade do aço do latão e do alumínio são respectivamente 210 105 e 70 GPa Sabendo que a viga é fletida em torno do eixo horizontal por um momento de 1400 Nm determinar a tensão máxima em cada um dos três metais Resp Aço 1778 MPa alumínio 296 MPa Latão 267 MPa Cisalhamento 881 Exercício 1 Para a viga e o carregamento mostrados considere a seção nn e determine a a maior tensão de cisalhamento na seção b a tensão de cisalhamento no ponto a Calculando o momento de inércia da seção IZ 10164 12 1016 2 1274 12 IZ 88796 28095 IZ 607 cm4 Letra A Calculando a máxima tensão de cisalhamento na seção que ocorre na altura do centroide SZ 1016 127 1016 2 127 2 2 1016 2 127 127 1016 2 127 2 SZ 57355 18435 SZ 7579 cm4 τxy 445 7579 2 127 607 τxy 219 kN cm2 Letra B Calculando a tensão de cisalhamento no ponto A SZ 1016 127 1016 2 127 2 SZ 57355 cm3 τxy 445 57355 2 127 607 τxy 166 kN cm2 882 Exercício 2 Para a viga e carregamento mostrados determine a largura b mínima necessária sabendo que para o tipo de madeira usada a máxima tensão normal admissível é de 12 MPa e a máxima tensão de cisalhamento admissível é de 825 kPa Resp 873 mm 883 Exercício 3 Para a viga e o carregamento mostrados considere a seção nn e determine a a tensão de cisalhamento no ponto a b a tensão de cisalhamento no ponto b Resp a 31 MPa b 232 MPa Calculando a posição em y do centroide y 242 8 916 2 22 8 16 2 y 65 cm Calculando o momento de inércia da seção Iz 2 2 83 12 2 8 65 42 16 23 12 16 2 9 652 Iz 5813 cm4 Calculando o Sz do ponto A considerando que esteja na barra de baixo Sz A 16 2 9 65 Sz A 80 cm3 Calculando o Sz do ponto B cuja altura em relação ao eixo centroidal é 3 65 35 SzB 80 2 215 y 15 y 2 y SzB 80 2 215 y 15 y 2 SzB 80 215 y15 y SzBy 35 80 215 3515 35 Sz By 35 60 cm3 Calculando a tensão de cisalhamento no ponto A τxy 90 80 4 5813 τxy 3096 kN cm2 τxy 31 MPa Calculando a tensão de cisalhamento no ponto B τxy 90 60 4 5813 τxy 2322 kN cm2 τxy 232 MPa 884 Exercício 4 A viga mostrada foi feita pregandose várias tábuas e está sujeita a uma força cortante de 8 kN Sabendo que os pregos são espaçados longitudinalmente a cada 60 mm em A e a cada 25 mm em B determine a força de cisalhamento nos pregos em A e em B Considere e o momento de inércia da seção transversal de 1504x109 mm4 Resp a 239 N b 459 N 885 Exercício 5 Três placas de 12 mm são soldadas uma à outra para formar a seção mostrada na figura Para uma força cortante d e100 kN determinar o fluxo de cisalhamento na superfície soldada e esboçar o fluxo de cisalhamento na seção transversal Resp 266 kNm 886 Exercício 6 Uma placa de espessura t é dobrada conforme a figura e então usada como uma viga Para uma força cortante vertical de 2669 kN determine a a espessura t para que a tensão de cisalhamento máxima seja de 207 MPa b a tensão de cisalhamento correspondente no ponto E c Esboce o fluxo de cisalhamento na seção transversal Resp a 556 mm b 14 MPa 887 Exercício 7 O projeto de uma viga requer a soldagem de 4 placas horizontais a uma placa vertical de 127 x 127 mm como mostra a figura Para uma força cortante vertical V determine a dimensão h tal que o fluxo de cisalhamento na junta soldada é máximo Resp 194 mm Centro de Cisalhamento 891 Exercício 1 Determine a localização do centro de cisalhamento O da seção transversal de espessura uniforme ilustrada Resp 0345 a Calculando o momento de inércia considerando espessura fina IZ t 3a3 12 2 at3 12 at 1 2 a 2 2 at3 12 at 3 2 a 2 IZ t 27a3 12 2at 1 4 a2 2at 9 4 a2 IZ 9 4 ta3 2 4 ta3 18 4 ta3 IZ 29 4 ta3 Calculando a tensão de cisalhamento na barra AB e considerando z a coordenada que define o comprimento τAB Vy Sz b Iz τAB Vy t z 3 2 a t 29 4 ta3 τAB 3 2 Vy z 29 4 ta2 τAB 6Vy z 29ta2 τAB A 6Vy 29ta τAB B 0 F1 a τAB A 2 t F1 a 6Vy 29ta 2 t F1 3 29 Vy Calculando a tensão de cisalhamento na barra DE e considerando z a coordenada que define o comprimento τDE Vy Sz b Iz τDE Vy t z 1 2 a t 29 4 ta3 τDE 1 2 Vy z 29 4 ta2 τDE 2Vy z 29ta2 τDE D 2Vy 29ta τDE E 0 F2 a τDE D 2 t F2 a 2Vy 29ta 2 t F2 1 29 Vy Calculando a posição do centro de cisalhamento eVy F1 3a F2 a eVy 3 29 Vy 3a 1 29 Vy a e 9 29 a 1 29 a e 10 29 a e 0345a 892 Exercício 2 Determine a localização do centro de cisalhamento O da seção transversal de espessura uniforme ilustrada e a distribuição das tensões de cisalhamento provocadas por uma força cortante vertical de 1223 kN aplicada em O Resp a 232 mm 893 Exercício 3 Para a viga laminada ilustrada determine a localização do centro de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento provocada por uma força cortante de 110 kN aplicada em O Resp 294 mm 894 Exercício 4 Determine a localização do centro de cisalhamento O da figura mostrada que tem espessura uniforme Resp 1225 mm 895 Exercício 5 Determine a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da linha BD na aba horizontal da cantoneira para o carregamento mostrado Os eixos x e y são os eixos principais da seção transversal Resp varia parabolicamente assumindo os valores Pat y0 0y2a3 Pat3 y4a3 0y2a 896 Exercício 6 Uma placa de aço de 160 mm de largura e 8 mm de espessura é dobrada para formar a viga em forma de U mostrada na figura Sabendo que a força vertical P atua no plano médio da alma do U determine a O momento torçor P que faria o U torcer da mesma maneira como o faz sob a carga P b A tensão de cisalhamento máxima no U provocada pela força P Resp a 14464 Nm b 659 MPa Calculando o momento de inércia da seção IZ 3 103 12 22 843 12 IZ 14134 cm4 Calculando o momento estático da barra horizontal inteira SZ 3 08 5 04 SZ 1104 cm3 Calculando a tensão de cisalhamento máxima na barra horizontal τB Vy Sz b Iz τB 15 1104 08 14134 τB 1465 kN cm2 Integrando a força que atua na barra horizontal FAB 26 1465 2 08 FAB 152 kN Calculando a posição do centro de cisalhamento e FAB 92 V e 0932 cm Letra A Vamos calcular o momento torçor causado pela força aplicada fora do centro de cisalhamento Torçor 15 0932 152 92 Torçor 1398 kNcm Letra B A tensão de cisalhamento máxima atuante o Já conhecemos a torção máxima precisamos da tensão de cisalhamento máxima SZ 1104 5 08 08 5 08 2 SZ 181 cm3 τc max V Sz b Iz 15 181 08 14134 24 kN cm2 o Vamos calcular a tensão de torção τmax T tmax 1 3 biti 3 τmax 1398 08 1 3 26 083 26 083 92 083 τmax 1398 08 083 3 2 26 92 τt max 455 kN cm2 o A tensão máxima é dada por τ τc max τt max τ 24 455 τ 695 kN cm2 Deflexões em Vigas 8101 Exercício 1 Para a viga ilustrada utilizando o método da integração da equação diferencial da linha elástica determinar a deflexão em C e a inclinação na extremidade A Em seguida repetir o exercício porém utilizando o método da Analogia de Mohr Método da Integração Equacionando o momento para todos os trechos Mz Px Trecho 1 Px P x L 3 Trecho 2 Px P x L 3 P x 2L 3 Trecho 3 Mz Px Px Px PL 3 Px Px PL 3 Px 2PL 3 Mz Px PL 3 PL Px Vamos integrar para encontrar a expressão da flecha d2v dx2 1 EI M d2v dx2 1 EI Px PL 3 PL Px dv dx 1 EI P 2 x2 A1 PL 3 x B1 PLx P 2 x2 C1 v 1 EI P 6 x3 A1x A2 PL 6 x2 B1x B2 PL 2 x2 P 6 x3 C1x C2 Estudando as condições de contorno flecha nos apoios é 0 o Trecho 1 vx 1 EI P 6 x3 A1x A2 v0 1 EI 0 0 A2 0 A2 0 o Trecho 3 vx 1 EI PL 2 x2 P 6 x3 C1x C2 vL 1 EI PL3 2 PL3 6 C1L C2 0 C1L C2 PL3 3 EQ 1 Estudando as equações de compatibilidade o Flecha constante na interseção trecho 1 e 2 vtrecho 1 L 3 vtrecho 2 L 3 P 6 L 3 3 A1 L 3 PL 6 L 3 2 B1 L 3 B2 PL3 162 A1L 3 PL3 54 B1L 3 B2 A1L 3 PL3 81 B1L 3 B2 A1L PL3 27 B1L 3B2 EQ 2 o Rotação constante na interseção trecho 1 e 2 vtrecho 1 L 3 vtrecho 2 L 3 P 2 L 3 2 A1 PL 3 L 3 B1 PL2 18 A1 PL2 9 B1 A1 PL2 18 B1 EQ 3 o Flecha constante na interseção trecho 2 e 3 vtrecho 2 2L 3 vtrecho 3 2L 3 PL 6 2L 3 2 B1 2L 3 B2 PL 2 2L 3 2 P 6 2L 3 3 C1 2L 3 C2 PL 6 4L2 9 2B1L 3 B2 PL 2 4L2 9 P 6 8L3 27 2C1L 3 C2 4PL3 54 2B1L 3 B2 2PL3 18 8PL3 162 2C1L 3 C2 PL3 81 2B1L 3 B2 2C1L 3 C2 PL3 27 2B1L 3B2 2C1L 3C2 EQ 4 o Rotação constante na interseção trecho 2 e 3 vtrecho 2 2L 3 vtrecho 3 2L 3 PL 3 2L 3 B1 PL 2L 3 P 2 2L 3 2 C1 2PL2 9 B1 2PL2 3 P 2 4L2 9 C1 2PL2 9 B1 2PL2 3 4PL2 18 C1 2PL2 9 B1 2PL2 3 2PL2 9 C1 C1 B1 2PL2 9 EQ 5 Método de Mohr MC vC PL2 9EI L 3 L 3 PL 3EI 2 1 3 L 3 PL3 27EI PL2 18EI 1 3 L 3 PL3 27EI PL3 162EI 5PL3 162EI Superposição e Tabela vc vc 1 vc 2 vc 7PL3 486EI 4PL3 243EI vc 5PL3 162EI 8102 Exercício 2 Para a viga ilustrada determine a reação em cada um dos apoios Vamos usar as equações da estática para relacionar as incógnitas Fy 0 RA RC RD P 0 Eq 1 MZ D 0 LRA 2L 3 P L 3 RC 0 3LRA 2LP LRC 0 Eq 2 Vamos substituir o apoio C por uma reação para cima RC e admitir que o deslocamento no ponto C é igual em módulo antes e depois da alteração o Encontrando a flecha causada pela força P no ponto C vC Pbx 6EIL L2 b2 x2 vC P L 3 L 3 6EIL L2 L 3 2 L 3 2 vC PL2 9 6EIL 9L2 9 2L2 9 vC PL 54EI 7L2 9 vC P 7PL3 486EI o Encontrando a flecha causada pela reação RC no ponto C vC RCba 6EIL L2 b2 a2 vC RC L 3 2L 3 6EIL L2 L 3 2 2L 3 2 vC 2RCL2 9 6EIL 9L2 9 L2 9 4L2 9 vC RCL 27EI 4L2 9 vC RC 4RCL3 243EI o Usando a igualdade admitida vC P vC RC 0 7PL3 486EI 4RCL3 243EI 0 4RC 243 7P 486 RC 7 8 P o Substituindo RC Eq 2 3LRA 2LP L 7P 8 0 3RA 9P 8 0 RA 3 8 P o Substituindo RA e RC Eq 1 3 8 P 7 8 P RD P 0 RD P 10 8 P RD 1 4 P 8103 Exercício 3 Para o carregamento mostrado sabendo que as vigas ilustradas têm a mesma seção transversal e são feitas do mesmo material determinar as reações em B e em E 8104 Exercício 4 Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras determine a inclinação na extremidade A e a deflexão no centro da viga 8105 Exercício 5 Uma terça de cobertura bi apoiada está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído g vertical para baixo de 3 kNm Determinar a flecha máxima da terça e a rotação da terça nos apoios Em que direção ocorrem o deslocamento e o giro Seção transversal 12x30 cm E 8526 MPa 8526 kNcm² g 3 kN m 003 kN cm2 Como a carga não está conforme os eixos principais vamos precisar decompor a carga Sabendo que o ângulo entre g e gy é 20º temos gy g cos 20 282 kN m 00282 kN cm gz g sin 20 103 kN m 00103 kN cm Calculando as propriedades geométricas para as duas direções temos Iz 12 303 12 27000 cm4 Iy 30 123 12 4320 cm4 Pegando a fórmula de flecha máxima da tabela temos que vy max 5gyL4 384EIz vz max 5gzL4 384EIy vy max 5 00282 3504 384 8526 27000 vz max 5 00103 3504 384 8526 4320 vy max 0239 cm vz max 0546 cm Calculando o que o enunciado pede θ arctan 0456 0239 6234º δoblíquo 04562 02392 0515 cm θz max gyL3 24EIz θy max gzL3 24EIy Depois é só fazer a soma vetorial igual a flecha Durante a Aula 8111 Viga Bi Apoiada Hiperestática Por se tratar deu um problema de hiperestática precisamos encontrar uma nova equação para resolver o problema Analisando o problema podemos tirar que RA RB F e que L1 L2 0 ou seja o deslocamento no primeiro trecho da barra somado com o deslocamento no segundo trecho é 0 Desenvolvendo o que encontramos N1L1 EA N2L2 EA 0 N1L1 N2L2 0 RAa RBb 0 RA b a RB e RB a b RA Voltando para a outra fórmula RA RB F RA a b RA F a b b RA F RA Fb a b RA Fb l RA RB F b a RB RB F a b a RB F RB Fa a b RA Fa l 8112 Barra Bi Engastada Hiperestática ϕA ϕB 0 TAL GJ TBL GJ 0 TA TB 0 TA TB tl TA TA tl TA tl 2 TB tl 2 8113 Seção Fechada e Aberta τmax T Wt τmax T tmin 2Am τmax 20 kNm 05 2π 9752 τmax 2000 kNcm 29865 τmax 2000 kNcm 05 2π 9752 6697 kN cm2 dϕ dx T GJ dϕ dx Tμm G4Am 2 t dϕ dx 2000 kNcm 2π 975 7700 4π 97522 05 dϕ dx 892 105 rad cm ϕ dϕ dx L ϕ 892 105 100 ϕ 892 103 rad Poderíamos usar as fórmulas de barras circulares também J bt3 J 05 2π 9753 J 255 cm4 Wt J tmax Wt 255 05 Wt 51 τmax T Wt τmax 2000 kNcm 51 τmax 39215 kN cm2 T dϕ dx GJ dϕ dx T GJ dϕ dx 2000 kNcm 7700 255 dϕ dx 0108 rad cm 8114 Torção 1 Tt 75 N 15cm 20cm Tt 2625 Ncm Tt 2625 kNcm JAB πre 4 ri 4 2 JAB π 1875 2 4 17 2 4 2 JAB 0393 cm4 JBC πre 4 ri 4 2 JBC π 25 2 4 215 2 4 2 JBC 1737 cm4 τmaxAB T re J τmaxAB 2625 1875 2 0393 τmaxAB 6261 kN cm2 τmaxBC T re J τmaxBC 2625 25 2 1737 τmaxBC 189 kN cm2 8115 Torção 2 J πre 4 2 J π 354 2 J 23571 cm4 τA 50000 Ncm 35 23571 τ1 74244 N cm2 τ1 074 kN cm2 τB 80000 Ncm 2 23571 τ1 068 kN cm2 8116 Torção 3 J πr4 2 J π 254 2 J 6136 cm4 τ ρT J τ 25 60t 6136 τ 244t N cm2 dϕ dx Tx GJ ϕ 1 GJ Tx x ϕ 1 GJ tx dx 60 0 60t dx 90 60 ϕ 1 GJ t602 2 60t 30 ϕ 1 GJ t602 2 60t 30 ϕ 1 4000000 Ncm26136 3600t Ncm ϕ 1 4 106 Ncm26136 3600t Ncm ϕ 147 105 rad 8117 Torção 4 τmax T tmin 2Am τA 3500 Ncm 05 235 57 τA 17544 N cm2 τmax T tmin 2Am τB 3500 Ncm 03 235 57 τB 2924 N cm2 Ou q 3500 Ncm 235 57 q 8772 N cm τA q t τA 8772 05 τA 17544 N cm2 τB q t τB 8772 05 τA 2924 N cm2 Agora na extremidade C J 4Am 2 bi ti J 435 572 2 57 02 2 35 03 J 3451 cm4 dϕ dx T GJ ϕ 6000 Ncm50 cm 77 106 Ncm23451 cm4 3500 Ncm150 cm 77 106 Ncm23451 cm4 ϕ 31 106 rad 8118 Torção 5 Am π952 Am 28353 cm2 T τ t 2Am T 15 kN cm2 05cm 2 28353cm2 T 425295 kNcm T 4253 kNm F τ t l F 15 05 100 Frebite 750 kN Nrebite por metro o 750 30 25 8119 Compressão Com Excentricidade Um pilar de concreto está sujeito a uma força de compressão de 500 kN Sua seção transversal é de 30x30 cm Calcule a tensão no pilar supondo a força centrada σ F A σ 500 30 30 σ 0556 kN cm2 Ocorreu um erro de execução tal que a força acabou sendo aplicada a 3 cm do eixo Determinar neste caso a distribuição de tensões e a nova posição da LN Qual é o acréscimo de tensões no pilar σx F A Mz Iz y σx 500 30 30 500 3 30 303 12 y σx 0556 1500 67500 y σx 0556 00222y σxmax e min 0556 0333 Vamos encontrar a posição da linha neutra