Mecanica dos Solidos III - Revisao Parte 2 - UFES

1 Mecânica dos Sólidos III Programa de Graduação em Engenharia Civil Disciplina CIV07894 Mecânica dos Sólidos III Professora Juliana da Cruz Vianna Pires Revisão Parte 2 1 2 2 Universidade Federal do Espírito Santo 3 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Barra prismática sob carga axial Deformação E Pela Lei de Hooke A P Mas L e Deslocamento de um ponto em relação à outro P Resultante da força normal interna aplicada no centróide da área da seção transversal L Distância entre os pontos A área da seção transversal E Módulo de elasticidade O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra EA P L Quando a barra é carregada por tração simples a tensão axial é σ P A e a deformação específica é ε δ L Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE tem se a seguinte expressão para o alongamento da barra Universidade Federal do Espírito Santo 4 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Problema Resolvido 21 A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD A barra AB é feita de alumínio E 70 GPa e tem uma área transversal de 500 mm2 A barra CD é feita de aço E 200 GPa e tem uma área transversal de 600 mm2 Para a força de 30 kN mostrada determinar os deslocamentos dos pontos a B b D e c E SOLUÇÃO Realizar uma análise do corpo livre para a barra BDE para encontrar as forças exercidas pelas barras AB e DC Avaliar a deformação das barras AB e DC para encontrar os deslocamentos de B e D Realize uma análise geométrica para encontrar o deslocamento do ponto E dado os deslocamentos em B e D 3 4 3 Universidade Federal do Espírito Santo 5 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Problema Resolvido 21 Corpo Livre Barra BDE compressão F F tração F F M AB AB CD CD B kN 60 m 20 m 40 30kN 0 0 M kN 90 m 20 m 60 30kN 0 0 D SOLUÇÃO Deslocamento do ponto B m 10 514 70 10 Pa m 10 500 m 30 10 N 60 6 9 2 6 3 AE PL B 0 514 mm B Deslocamento do ponto D m 10 300 200 10 Pa m 10 600 m 40 10 N 90 6 9 2 6 3 AE PL D 0 300 mm D Universidade Federal do Espírito Santo 6 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Problema Resolvido 21 Deslocamento do ponto E 7 mm 73 mm 200 mm 0300 514 mm 0 x x x HD BH D D B B 1 928 mm E 928 mm 1 7 mm 73 mm 73 7 400 300 mm 0 E E HD HE D D E E 5 6 4 Universidade Federal do Espírito Santo 9 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Universidade Federal do Espírito Santo 10 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Elemento estaticamente indeterminado Método da força para elementos carregados axialmente Podese também escrever a equação de compatibilidade levando em consideração a superposição das forças que agem no diagrama de corpo livre conhecido como método da flexibilidade ou método das forças Deslocamento no ponto B quando a força redundante em B é removida Deslocamento no ponto B quando somente a força redundante em B é aplicada 9 10 5 Universidade Federal do Espírito Santo 11 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Deslocamento no ponto B quando a força redundante em B é removida Deslocamento no ponto B quando somente a força redundante em B é aplicada Método da força para elementos carregados axialmente 1 Compatibilidade 2 Equilíbrio Σ𝐹𝑦 0 𝐹𝐵 𝐹𝐴 𝑃 0 Universidade Federal do Espírito Santo 12 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires BARRA SUJEITA A UM INCREMENTO DE TEMPERATURA 11 12 6 Universidade Federal do Espírito Santo 13 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um material Se o material for homogêneo e isotrópico TL T coeficiente linear de expansão térmica propriedade do material variação na temperatura do elemento comprimento inicial do elemento variação no comprimento do elemento T L T Tensão térmica Universidade Federal do Espírito Santo 14 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 1m 10mm 10mm 410 A barra de aço A36 mostrada na figura está confinada entre os dois apoios quando T130ºC Se a temperatura aumentar para T260ºC qual será a tensão térmica normal média desenvolvida na barra 𝛼 12𝑥106 Eaço 200GPa 13 14 7 Universidade Federal do Espírito Santo 15 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 1m 10mm 10mm 410 A barra de aço A36 mostrada na figura está confinada entre os dois apoios quando T130ºC Se a temperatura aumentar para T260ºC qual será a tensão térmica normal média desenvolvida na barra 𝛼 12𝑥106 Eaço 200GPa Universidade Federal do Espírito Santo 16 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Barra de 2 Materiais 15 16 8 Universidade Federal do Espírito Santo 17 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Fórmula da torção eixo circular max c G Por equilíbrio A dA J 2 Tensão de cisalhamento Pa T Torque Nm Distância radial m c raio da seção transversal m J Momento polar de inércia da seção transversal m4 J T J Tc max Universidade Federal do Espírito Santo 18 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Ângulo de torção eixo circular L B A x G dx J x T 0 Convenção de sinais T T Regra da mão direita B A Torque e seção transversal constantes JG TL B JG TL B Torque e seção transversal constantes por trecho JG TL B A D E C D A C A E 17 18 9 Universidade Federal do Espírito Santo 20 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS Universidade Federal do Espírito Santo 21 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 20 21 10 Universidade Federal do Espírito Santo 22 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Barras com 2 materiais que trabalham solidariamente cada um dos materiais absorve uma parcela do momento torsor Condição de equilíbrio 𝑇 𝑇1 𝑇2 T1 é a parcela do momento torsor absorvida pelo material 1 T2 é a parcela do momento torsor absorvida pelo material 2 Condição de compatibilidade Rotação ângulo de torção na extremidade B é a mesma para os dois materiais 𝜑𝐵 𝜑𝐵1 𝜑𝐵2 Universidade Federal do Espírito Santo 23 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 𝜑𝐵1 𝑇1𝐿 𝐽1𝐺1 𝜑𝐵2 𝑇2𝐿 𝐽2𝐺2 Então 𝑇1𝐿 𝐽1𝐺1 𝑇2𝐿 𝐽2𝐺2 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑇 𝑇1 𝑇2 𝑇1 𝐽1𝐺1 𝐽1𝐺1 𝐽2𝐺2 𝑇 𝑇2 𝐽2𝐺2 𝐽1𝐺1 𝐽2𝐺2 𝑇 Tensão cisalhante máxima em cada um dos materiais será 𝜏𝑚𝑎𝑥1 𝑇1𝑟1 𝐽1 𝜏𝑚𝑎𝑥2 𝑇2𝑟2 𝐽2 22 23 11 Universidade Federal do Espírito Santo 24 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Universidade Federal do Espírito Santo 25 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 24 25 12 Universidade Federal do Espírito Santo 26 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Universidade Federal do Espírito Santo 27 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires P 1 No ensaio de tração uniaxial executado em um corpodeprova de aço foi obtido o seguinte diagrama tensãodeformação 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 005 01 015 02 025 Tensão MPa Deformação Diagrama TensãoDeformação 00025 O mesmo material foi utilizado na treliça Howe que suporta a força de P 560 kN A Determinar as áreas das seções transversais das barras DE e AC sabendose que a tensão admissível do material é de 500MPa B Sendo de 2m o comprimento da barra DE perguntase qual o seu alongamento admitido C Em relação ao diagrama explique as principais características do comportamento elástico e comportamento plástico 2 O eixo compõese de um trecho de latão e outro de alumínio com 60cm de comprimento cada O diâmetro do eixo é constante e igual a 60mm O limite de proporcionalidade de cisalhamento do latão é de 100 MPa e do alumínio é de 155 MPa O fator de segurança deverá ser considerado igual a 2 em relação essas tensões Se o deslocamento angular na extremidade inferior é no máximo 1 qual o torque máximo que poderá ser aplicado ao eixo A extremidade superior é perfeitamente engastada e os valores para o módulo de elasticidade transversal para o latão e alumínio são 35 GPa e 28 GPa Latão Alumínio 60cm 60cm T Resp Tmax056kNm 26 27 13 Universidade Federal do Espírito Santo 28 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 3 A barra prismática AD é engastada nas extremidades e suporta as cargas indicadas aplicadas por intermédio de saliências rigidamente fixadas a barra Desprezada a influência na distribuição dos esforços dessas saliências calcule os esforços normais nos trechos AB BC e CD Considere P1 20kN e P2 60kN As cotas estão em mm O módulo de elasticidade do material é 200GPa e área de 100mm2 Apresente o resultado final pelo DEN P1 P1 P2 P2 300 300 400 A B C Universidade Federal do Espírito Santo 29 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro Pela regra da mão direita o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x I My σ tensão normal no membro M momento interno I momento de inércia y distância perpendicular do eixo neutro A fórmula da flexão 𝜎x 𝑀𝑧𝑦 𝐼𝑧 𝜀𝑥 𝑀𝑧𝑦 𝐸𝐼𝑧 28 29 14 Universidade Federal do Espírito Santo 30 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Universidade Federal do Espírito Santo 31 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Flexão normal Seção retangular y z x b2 b2 h2 h2 centróide 12 bh3 I I My 2 max 6 bh M M max 0 max 0 compressão tração max 0 max 0 tração compressão M Tensão normal 30 31 15 Universidade Federal do Espírito Santo 32 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização Exemplo 68 Universidade Federal do Espírito Santo 33 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 12 7 MPa Resposta 3 10 301 017 22 5 6 máx máx I Mc 32 33 16 Universidade Federal do Espírito Santo 34 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Solução O momento máximo interno na viga é kNm 22 5 M Universidade Federal do Espírito Santo 35 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Por razões de simetria o centroide C e portanto o eixo neutro passa a meia altura da viga e o momento de inercia é 4 6 3 2 3 2 m 301 3 10 30 0 02 12 1 016 0 002 0 25 0 02 0 25 12 2 1 Ad I I Aplicando a fórmula da flexão para c 170 mm 12 7 MPa Resposta 3 10 301 017 22 5 6 máx máx I Mc 34 35 17 Universidade Federal do Espírito Santo 36 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Questão 1 Para a viga solicitada ao carregamento a seguir cuja seção transversal é uma seção U determine a máxima tensão normal Trace o diagrama de momento fletor e esboce a distribuição da tensão em relação a seção transversal Dados Ix664x106mm4 e Iy2188 x106mm4 15kNm 6kNm 09m 12m 12m 25cm 25cm 10cm 75cm 25cm 36