Mecânica dos Sólidos III - Revisão Parte 2 - Tensão Normal e Flexão

1 Mecânica dos Sólidos III Programa de Graduação em Engenharia Civil Disciplina CIV07894 Mecânica dos Sólidos III Professora Juliana da Cruz Vianna Pires Revisão Parte 2 1 2 2 Universidade Federal do Espírito Santo 3 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro Pela regra da mão direita o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x I My σ tensão normal no membro M momento interno I momento de inércia y distância perpendicular do eixo neutro A fórmula da flexão Universidade Federal do Espírito Santo 4 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 3 4 3 Universidade Federal do Espírito Santo 5 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Flexão normal Seção retangular y z x b2 b2 h2 h2 centróide 12 bh3 I I My 2 max 6 bh M M max 0 max 0 compressão tração max 0 max 0 tração compressão M Tensão normal Universidade Federal do Espírito Santo 6 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização Exemplo 68 5 6 4 Universidade Federal do Espírito Santo 7 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 12 7 MPa Resposta 3 10 301 017 22 5 6 máx máx I Mc Universidade Federal do Espírito Santo 8 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Solução O momento máximo interno na viga é kNm 22 5 M 7 8 5 Universidade Federal do Espírito Santo 9 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Por razões de simetria o centroide C e portanto o eixo neutro passa a meia altura da viga e o momento de inercia é 4 6 3 2 3 2 m 301 3 10 30 0 02 12 1 016 0 002 0 25 0 02 0 25 12 2 1 Ad I I Aplicando a fórmula da flexão para c 170 mm 12 7 MPa Resposta 3 10 301 017 22 5 6 máx máx I Mc Universidade Federal do Espírito Santo 10 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 66 VIGAS COMPOSTAS BARRAS DE 2 MATERIAIS Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga nE1E2 9 10 6 Universidade Federal do Espírito Santo 11 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires PROCEDIMENTO 1 Homogeneizar a seção fator transformador n 2 Transformar a largura de um dos materiais 3 Calcular o CG da seção transformada e sua Inércia 4 Calcular as tensões máximas 5 Corrigir a tensão do material transformado A B I My x A 1 I Myb x B nB 2 Universidade Federal do Espírito Santo 12 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo Se for submetida a um momento fletor M 2 kNm determine a tensão normal nos pontos B e C Considere Emad 12 GPa e Eaço 200 GPa Exemplo 611 11 12 7 Universidade Federal do Espírito Santo 13 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo Se for submetida a um momento fletor M 2 kNm determine a tensão normal nos pontos B e C Considere Emad 12 GPa e Eaço 200 GPa Exemplo 611 Resposta Universidade Federal do Espírito Santo 14 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Solução Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço mm nb b mad aço 9 200 150 12 A localização do centroide eixo neutro é 0 03638 m 015 0 009 015 02 0 015 0 009 0 095 0150 0 02 0 01 A yA y A seção transformada é mostrada na figura ao lado 𝑛 𝐸𝑚𝑎𝑑 𝐸𝑎ç𝑜 13 14 8 Universidade Federal do Espírito Santo 15 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Portanto o momento de inércia em torno do eixo neutro é 4 6 2 3 2 3 m 9 358 10 0 03638 0 095 015 0 009 015 0 009 12 1 0 01 0 03638 0 02 015 0 02 015 12 1 NA I Aplicando a fórmula da flexão a tensão normal em B e C é 2787 MPa Resposta 358 10 9 0 03638 2 28 6 MPa 358 10 9 0 03638 017 2 6 6 C B Universidade Federal do Espírito Santo 16 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Aplicando a fórmula da flexão a tensão normal em B e C é 2787 MPa Resposta 358 10 9 0 03638 2 28 6 MPa 358 10 9 0 03638 017 2 6 6 C B A tensão normal na madeira em B é 171 MPa Resposta 200 2856 12 B B n 15 16 9 Universidade Federal do Espírito Santo 17 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Vigas de Concreto Armado Vigas de concreto submetida a momentos fletores são reforçadas por barras de aço As barras de aço resistem à carga de tração abaixo da superfície neutra A parte superior da viga de concreto resiste à carga de compressão Na seção transformada a área transversal do aço As passa a ter a área equivalente nAs onde n EsEc O concreto é muito suscetível a fratura quando está sob tração Universidade Federal do Espírito Santo 18 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Vigas de Concreto Armado Para determinar a localização do eixo neutro 0 0 2 2 2 1 n A d n A x x b x n A d x bx s s s Na seção transformada a área transversal do aço As passa a ter a área equivalente nAs onde n EsEc As tensão normais no concreto e no aço x s x c x n I My O CG da área transformada se encontra no eixo neutro ത𝑦 σ 𝑦𝐴 σ 𝐴0 17 18 10 Universidade Federal do Espírito Santo 19 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo Se for submetida a um momento fletor M 60 kNm determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto Considere Eaço 200 GPa e Econc 25 GPa Exemplo 612 𝜎𝑐𝑜𝑛𝑐máx 920 MPa Resposta 𝜎aço 16984 MPa Resposta Universidade Federal do Espírito Santo 20 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Solução A área total de aço é 2 2 aço 982 mm 12 5 2 A Exigese que o centroide se encontre no eixo neutro 2 3 3 aço 7 856 mm 982 10 25 200 10 nA A mm h h h h h h A y 12090 0 5237 2094933 0 7 856 400 2 300 0 2 Será transformada em equivalente de concreto 𝑛 𝐸𝑎ç𝑜 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑐 19 20 11 Universidade Federal do Espírito Santo 21 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires O momento de inércia da seção transformada calculado em torno do eixo neutro é 4 6 2 2 3 78867 10 mm 7 856 400 120 9 2 120 9 300 120 9 12 300 120 9 1 I Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada a tensão normal máxima no concreto é 2123 MPa 67 10 788 1 000 400 120 9 1 000 60 1 000 9 20 MPa Resposta 67 10 788 1 000 1 000 120 9 60 6 conc 6 máx conc 16984 MPa Resposta 2123 10 25 200 10 3 3 conc aço n A tensão normal em cada uma das duas hastes é portanto Universidade Federal do Espírito Santo 22 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Momento aplicado ao longo do eixo principal Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal em termos gerais como y y z z I z M I M y σ tensão normal no ponto y z coordenadas do ponto medidas em relação a x y z My Mz componentes do momento interno resultante direcionados ao longo dos eixos y e z Iy Iz momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y e z 65 Flexão assimétrica oblíquoa 21 22 12 Universidade Federal do Espírito Santo 23 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Orientação do eixo neutro O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ 0 Temos tg tg y z I I Iz máximo Iy mínimo O eixo neutro está orientado em um ângulo medido no sentido horário a partir do eixo z positivo A orientação de é do máximo para mínimo e estão no mesmo quadrante Universidade Federal do Espírito Santo 24 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Exemplo 408 Um momento de 180 Nm é aplicado a uma viga de madeira retangular em um plano que forma um ângulo de 30 graus com a vertical Determine a a tensão máxima na viga b o ângulo que o eixo neutro forma com o plano horizontal SOLUÇÃO Decompor o vetor momento em componentes ao longo dos eixos principais e calcular as tensões máximas correspondentes Msen M M M y z cos Determinar a máxima tensão de tração provocada pela carga combinada y y z z x I z M I M y Determine o ângulo da superfície neutra com o plano horizontal tan tan y z I I z y 23 24 13 Universidade Federal do Espírito Santo 25 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Exemplo 408 Decompor o vetor momento e calcular as tensões máximas correspondentes aos componentes MPa m m m N I z M AD M A MPa m m m N I y M AB M A m m m I m m m I N m e N m M N m N m M y y y z z z y z y z 24 4110 0 0 019 90 ocorre ao longo de por maior tensão de tração provocada 03 3110 2 0 045 156 ocorre ao longo de por maior tensão de tração provocada 0 4110 0 038 090 0 2 3110 0 090 038 0 90 s n30 180 156 cos30 180 4 6 2 4 6 1 4 6 3 12 1 4 6 3 12 1 A maior tensão de tração provocada pela carga combinada ocorre em A s max s1 s 2 3042 s max 72MPa Universidade Federal do Espírito Santo 26 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Exemplo 408 Determine o ângulo do eixo neutro tanj I z I y tanq 231106 m4 041106 m4 tan30o 325 j 729o 25 26 14 Universidade Federal do Espírito Santo 27 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Cisalhamento transversal Tensão de cisalhamento Fórmula do cisalhamento Por equilíbrio de forças It VQ Tensão de cisalhamento Pa V Força cisalhante N I Momento de inércia da seção transvesal m4 Q Momento de primeira ordem da área A m3 t Largura da seção transversal no ponto em que se deseja calcular a tensão de cisalhamento m A y I A 2d d y A y A Q A Universidade Federal do Espírito Santo 28 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Tensão cisalhante It VQ 27 28 15 Universidade Federal do Espírito Santo 29 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Tensão cisalhante It VQ Universidade Federal do Espírito Santo 30 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Cisalhamento transversal Seção retangular y z x b2 b2 h2 h2 centróide 12 bh3 I 2 4 6 2 3 y h bh V A V 51 max Tensão de cisalhamento 2 2 4 2 y b h Q bh A V max 0 parábola V max 0 parábola It VQ 29 30 16 Universidade Federal do Espírito Santo 31 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires A viga é de aço tem as dimensões mostradas na Figura Se for submetida a uma força de cisalhamento força cortante de V 80kN a trace uma curva da distribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga Exemplo 72 Universidade Federal do Espírito Santo 32 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 732 31 32 17 Universidade Federal do Espírito Santo 33 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 733 Universidade Federal do Espírito Santo 34 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Para projetar os elementos de fixação é necessário conhecer a força de cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do comprimento da estrutura I VQ q q fluxo de cisalhamento V força de cisalhamento interna resultante I momento de inércia de toda a área da seção transversal Q ത𝑦𝐴 Onde A é a área da seção transversal do segmento acoplado à viga na junção onde o fluxo de cisalhamento deve ser calculado e ത𝑦 é a distância do eixo neutro ao centroide de A 74 Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas por vários elementos 33 34 18 Universidade Federal do Espírito Santo 35 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Esse carregamento quando medido como força por unidade de comprimento é denominado fluxo de cisalhamento q Como calcular o valor de Q Q ത𝑦𝐴 Onde A é a área da seção transversal do segmento acoplado à viga na junção onde o fluxo de cisalhamento deve ser calculado e ത𝑦 é a distância do eixo neutro ao centroide de A Universidade Federal do Espírito Santo 36 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Para problemas de fluxo de cisalhamento Identifique as partes da seção transversal conectadas por conectores como pregos parafusos ou colas Visualize as partes das seções transversais que deslizariam longitudinalmente se os conectores fossem rompidos Calcule Q com base na área da seção transversal das partes que deslizarão 35 36 19 Universidade Federal do Espírito Santo 37 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Exemplo 601 Uma viga é feita de três pranchas pregadas juntas Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 25 mm e que o cisalhamento vertical da viga é V 500 N determine a força cortante em cada prego SOLUÇÃO Determine a força horizontal por unidade de comprimento ou o fluxo de cisalhamento q na superfície inferior da prancha superior Calcular a força cortante correspondente em cada prego Universidade Federal do Espírito Santo 38 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires I VQ q 37 38 20 Aula 12 Deflexão de vigas Res Materiais Hibbeler 7ª Ed capítulo 12 Universidade Federal do Espírito Santo 40 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Fórmula da linha elástica EI M 1 A maior parte da deformação é provocada pela flexão Os pontos na viga se deslocam apenas verticalmente A inclinação da curva elástica dvdx é muito pequena Hipóteses 2 2 3 2 2 2 2 1 1 dx v d dx dv dx v d Equação diferencial de segunda ordem Resolução Integração direta EI M dx d v 2 2 dx dv Expressão do cálculo elementar que fornece a curvatura de uma curva plana 39 40 21 Universidade Federal do Espírito Santo 41 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Linha elástica A linha elástica pode ser esboçada a partir do diagrama de momento fletor e dos apoios da viga Universidade Federal do Espírito Santo 42 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 41 42 22 Universidade Federal do Espírito Santo 43 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Determine as reações no apoio de rolete B da viga mostrada na Figura a e trace os diagramas de força cortante e momento fletor EI é constante Exemplo 1221 Universidade Federal do Espírito Santo 44 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Por inspeção a viga é estatisticamente indeterminada de primeiro grau Considerando o deslocamento positivo para baixo a equação de compatibilidade em B é Deslocamentos podem ser obtidos diretamente da tabela do Apêndice C Solução Método da Superposição 43 44 23 Universidade Federal do Espírito Santo 45 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Universidade Federal do Espírito Santo 46 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Substituíndo na Eq 1 e resolvendo obtemos Utilizando este resultado e aplicando nas equações de equilíbrio obtemos os resultados mostrados no diagrama de corpo livre 45 46 24 Universidade Federal do Espírito Santo 47 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Questões antigas de provas Universidade Federal do Espírito Santo 48 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Questão 1 Para a viga solicitada ao carregamento a seguir cuja seção transversal é uma seção U determine a máxima tensão cisalhante Trace o diagrama de esforço cortante e esboce o diagrama de tensão de cisalhamento em relação a seção transversal Dados Ix664x106mm4 e Iy2188 x106mm4 15kNm 6kNm 09m 12m 12m 25cm 25cm 10cm 75cm 25cm 47 48 25 Universidade Federal do Espírito Santo 49 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Universidade Federal do Espírito Santo 50 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires 49 50 26 Universidade Federal do Espírito Santo 51 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Questão 2 Uma viga de concreto armado tem a seção transversal representada na figura ao lado Esta está submetida a um momento fletor positivo que determina uma tensão de tração de 140M Nm2 no aço Se n12 qual o valor do momento fletor 50 50 200 500mm 100 As total 1500mm2 Universidade Federal do Espírito Santo 53 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Questão 1 Para a viga solicitada ao carregamento a seguir cuja seção transversal é uma seção U determine a máxima tensão cisalhante Trace o diagrama de esforço cortante e esboce o diagrama de tensão de cisalhamento em relação a seção transversal Dados Ix664x106mm4 e Iy2188 x106mm4 15kNm 6kNm 09m 12m 12m 25cm 25cm 10cm 75cm 25cm Questão 2 Uma viga de concreto armado tem a seção transversal representada na figura ao lado Esta está submetida a um momento fletor positivo que determina uma tensão de tração de 140M Nm2 no aço Se n12 qual o valor do momento fletor 50 50 200 500mm 100 As total 1500mm2 51 53 27 Universidade Federal do Espírito Santo 54 Mecânica dos Sólidos III Profa Juliana C Vianna Pires Questão 3 Uma viga simplesmente apoiada nas duas extremidades tendo um vão de L é solicitada por uma carga distribuída de 4kNm Esta viga é inclinada a 40 conforme a figura da sua seção transversal Sendo a carga q na vertical determinar o valor do momento máximo e o valor do vão L para que a tensão normal não ultrapasse em nenhum ponto da seção 220MPa em valor absoluto Indique a posição do eixo neutro com o valor do M determinado x y 40 q M 54