Algoritmos Numéricos - Atividade

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO CENTRO UNIVERSITARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO Departamento de Matematica Aplicada 3a Lista de exercıcios de Algoritmos Numericos 20242 Questao 1 Sendo P1x o polinˆomio de interpolacao linear de fx em a e b determine c a b de modo que fx P1x x ax b 2 f 2c para funcoes fx definidas como a fx x3 com a 1 e b 2 e o ponto a ser interpolado x 1 5 b fx ex com a 0 5 e b 1 e o ponto a ser interpolado x 0 7 Questao 2 Dada a tabela x 2 2 25 2 5 2 75 3 0 y 5 44 6 93 8 73 10 88 13 44 a Calcular o polinˆomio de interpolacao usando a formula de Lagrange sobre dois e trˆes pontos b Calcular f2 4 c Considerando que fx xex2 dˆe um limitante superior para o erro de truncamento Questao 3 Seja a funcao tabelada x 2 1 1 2 fx 0 1 1 0 a Determinar o polinˆomio de interpolacao usando a formula de Newton b Calcular f0 5 Questao 4 A raiz de uma funcao pode ser aproximada pela raiz do seu polinˆomio de interpolacao Use uma parabola para determinar a raiz da funcao tabelada a seguir x 1 2 3 4 5 6 fx 0 841 0 909 0 141 0 757 0 959 0 279 Questao 5 Sabendo que a unica raiz positiva da equacao 4 cos x ex 0 encontrase no intervalo 0 1 use uma parabola para determinar uma aproximacao para essa raiz Questao 6 Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma funcao em um ponto x0 quando nao se conhece a expressao analıtica da mesma e usar uma tabela para formar um polinˆomio que aproxime a funcao derivar entao esse polinˆomio e avaliar em x x0 Dada a tabela x 0 35 0 40 0 45 0 50 0 55 0 60 0 65 fx 1 52 1 51 1 49 1 47 1 44 1 42 1 39 calcule um valor aproximado para f0 52 usando polinômio de interpolação de grau 2 Questão 7 Calcule ₀¹ ex dx utilizando a regra do trapézio com n1 e GaussLegendre com dois pontos Questão 8 Considere a integral I ₀¹ ex² dx a Calcule I pela regra de Simpson usando h025 b Calcule I pela quadratura gaussiana com 2 pontos c Sabendo que o valor exato de I com 5 casas decimais é 074682 pedese i compare os resultados obtidos em a e b ii quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a mesma precisão obtida em b Questão 9 Calcular ₀³ ex 2x dx utilizando a quadratura de GaussLegendre com cinco pontos e a regra 13 de Simpson com n4 Calcule o valor analítico para comparar Questão 10 Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para utilizando a regra 13 de Simpson obter ₀π2 ex cos x dx com quatro casas decimais corretas Questão 11 Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pelas regras 13 e 38 de Simpson usando seis divisões do intervalo de integração Compare os resultados a ₁²⁵ x ln x dx b ₁₅⁰ x ex dx Questão 12 Nas integrais do exercício anterior com quantas divisões podemos esperar obter erros menores que 10⁵ para a regra 13 de Simpson Observação 1 A regra 38 de Simpson é definida sobre quatro pontos de integração x₀ a x₁ x₀ h x₂ x₀ 2h e x₃ x₀ 3h onde h ba3 Assim obtemos ₐᵇx₃ fx dx 38 h fx₀ 3fx₁ fx₂ fx₃ Observacao 2 Tabela de pontos para integracao de GaussLegendre n de pontos i xi wi 1 1 0 2 2 1 0 5773503 1 2 0 5773503 1 3 1 0 7745967 0 5555556 2 0 0 8888889 3 0 7745967 0 5555556 4 1 0 8611363 0 3478548 2 0 3399810 0 6521455 3 0 3399810 0 6521455 4 0 8611363 0 3478548 5 1 0 9061799 0 2369269 2 0 5384693 0 4786287 3 0 0 5688889 4 0 5384693 0 4786287 5 0 9061799 0 2369269 a Temos o sistema onde Cálculo da Inversa de A O determinante de A é O determinante é muito pequeno o que indica que a matriz está quase singular e pode gerar instabilidade numérica A solução do sistema linear é dada por Multiplicando as matrizes Portanto a solução para a é sistema b como já calculamos o Determinante da matriz e sua inversa na letra A utilizarei ela de forma direta Multiplicando as matrizes Portanto a solução para b é c A pequena diferença no segundo termo independente de B entre os sistemas de 197 para 198 resultou em uma mudança drástica nos valores de x e y Isso ocorre porque a matriz A é mal condicionada ou seja seu determinante é muito pequeno e próximo de zero Sistemas mal condicionados são extremamente sensíveis a pequenas alterações nos coeficientes o que resulta em grandes variações na solução a Construção do Polinômio Interpolador Usarei o método de Newton para interpolação A fórmula do polinômio de Newton é Os pontos dados são As diferenças divididas são calculadas da seguinte forma 1 Primeira ordem diferenças simples Segunda ordem Terceira ordem Agora podemos escrever o polinômio de Newton Esse é o polinômio que aproxima ln x nos pontos dados b Cálculo do Erro de Interpolação O erro da interpolação de Newton é dado por Para um limite superior tomamos o maior valor possível para no intervalo 6𝑥 4 114 O maior valor ocorre em x1 Agora calculamos o termo do produto Finalmente o erro máximo é O limitante superior do erro de interpolação de interpolação em x12 é aproximadamente 00001 A regra do trapézio aproxima a integral como onde a1 b1 h1 Os pontos usados são x0 1 x1 0 e x2 1 Cálculo dos valores da função Aplicando na fórmula do trapézio Erro relativo ao valor exato I149365 b Regra 13 de Simpson A regra 13 de Simpson usa a fórmula Usando os valores já calculados Aplicando a fórmula Erro relativo ao valor exato c Quadratura Gaussiana com 2 pontos A quadratura gaussiana para n2 usa a fórmula Para a quadratura de 2 pontos no intervalo padrão 111111 os pontos de Legendre são Cálculo dos valores da função Aplicando na fórmula Erro relativo ao valor exato d Análise dos Erros 1 Regra do Trapézio Apresentou o maior erro 112577 pois aproxima a função por segmentos lineares Como é uma curva não linear a aproximação 𝑒 𝑥 2 é relativamente fraca 2 Regra de Simpson Melhorou significativamente o resultado em relação ao Trapézio pois utiliza uma parábola para modelar melhor a curva da função No entanto ainda apresenta um erro considerável 008494 3 Quadratura Gaussiana 2 pontos Foi o método mais preciso dos três com um erro de apenas 006059 Isso ocorre porque os pontos de integração são escolhidos estrategicamente para minimizar o erro em vez de serem simplesmente espaçados uniformemente Conclusão A Regra do Trapézio tem um erro maior porque aproxima a função com retas A Regra de Simpson melhora a aproximação ao usar parábolas reduzindo o erro A Quadratura Gaussiana é a mais eficiente pois seleciona pontos otimizados para melhor precisão Se precisássemos de um valor mais exato poderíamos aumentar o número de pontos na quadratura gaussiana ou usar um método numérico mais refinado a Determinar os pesos Queremos determinar w1w2w3 de forma que a quadratura seja exata para qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2 Para isso garantimos que a fórmula seja exata para funções da forma fx1 fxx e fxx2 Caso fx1 Substituindo na fórmula Caso fxx Substituindo na fórmula Caso fxx2 Substituindo na fórmula Como já sabemos que w1w3 podemos resolver o sistema Substituindo na primeira equação Então os pesos são b Aplicação da Fórmula Calculamos os valores da função nos pontos Agora aplicamos a quadratura Agora calculamos o valor exato da integral Separando os termos soma tudo O resultado obtido pela quadratura foi exato I8 pois a quadratura escolhida é exata para polinômios de grau até 2 e a única parte do polinômio original que não era de grau 2 2x3 se anulou na integração Justificativa O erro só ocorre para polinômios de grau maior que 2 pois a quadratura utilizada não consegue representar esses termos corretamente Como x3 tem integral nula em 11 a fórmula funcionou perfeitamente