Lista 2 - Algoritmos Numéricos 2022-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP´IRITO SANTO CENTRO UNIVERSIT´ARIO NORTE DO ESPIRITO SANTO Departamento de Matem´atica Aplicada 2a lista de exerc´ıcios de Algoritmos Num´ericos Quest˜ao 1 Calcule a fun¸c˜ao de complexidade computacional para o algoritmo de subs- titui¸c˜ao retroativa, dado abaixo: x[n]=b[n]/a[n][n] para k=n-1,...,2,1 s=0 para j=k+1,...,n s=s+a[k][j]*x[j] x[k]=(b[k]-s)/a[k][k] Quest˜ao 2 Resolver os sistemas a seguir pelo m´etodo da elimina¸c˜ao de Gaus, com a estrat´egia indicada, e verificar a exatid˜ao da solu¸c˜ao. a) Efetuar os c´alculos utilizando apenas quatro casas decimais   2 6 −3 1 3, 0001 2 4 −1 9     x1 x2 x3   =   17 −2 24   . i) sem pivoteamento; ii) com pivoteamento parcial. b) com pivoteamento parcial   4 −1 3 8 1 6 2 −3 5 5 1 0 2 4 −2 1     x1 x2 x3 x4   =   43 7 18 8   . Quest˜ao 3 Calcule as normas da matriz A =   5 4 −1 2 9 3 8 −6 7   a) ||A||1; b) ||A||∞. Quest˜ao 4 Calcule a fatora¸c˜ao LU de A, se poss´ıvel: A =   1 1 1 2 1 −1 3 2 0   Questao 5 Considere o sistema linear: -1 2-1 0)f a 1 2-1 0 Of} |] amt] 2 0-1 2 -1]]2,]~ | 94° 0 0-1 2 L4 11 a) E possfvel aplicar a este sistema os métodos iterativos que vocé conhece com garantia de convergéncia? b) Reordene as equagoes convenientemente, de tal forma que seja possivel aplicar o método de Gauss-Seidel com garantia de convergéncia. Questao 6 Verifique se a matriz A satisfaz critério de Sassenfeld 5 1 i A=;3 41 3.3 6 Questao 7 Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa 1 1-1 2 -!l 2 20 0 0 O 2 A=/]02 0 0 0O e b= 2 40 0 16 O 20 00 4 0 0O 4 a) Ache a solugao por inspegao; b) Faga mudangas de linhas na matriz original para que o sistema satisfaga o critério de convergéncia de Sassenfeld, em seguida aplique o método de Gauss-Seidel; c) Faga mudangas de linhas na matriz original para facilitar a aplicagao do método da eliminacao de Gauss. Questao 8 Dado o sistema linear 162 v4 2 5 2 1 X3 4 a) Para que valores de § a matriz do sistema é decomponivel em LU? Justifique. b) Considere 8 = 1, e resolva o sistema dado pelo método de Eliminacgao de Gauss. Questao 9 Mostre que, se det A # 0 e A= LU, entao A = LDU, onde D é uma matriz diagonal e U é uma matriz triangular superior com diagonal unitdria. Questao 10 Se A= LDU, como ficaria a resoluc¢ao de Ax = b? Questao 11 Considere os sistemas lineares Ax = b e Ax = b, onde 1 0,99 _ | 1,99 > | 1,99 A= oo 0,98 |. D= ror e b= Ios a) Calcule Cond(A); b) Resolva os sistemas dados e verifique que, num sistema mal condicionado, pequenas per- turbacdes acarretam grandes mudancas na solucao.