Aula 16 - Equações de Ordem N 2021 1

Aula 16 Cálculo 3ps 2021.1 4.1 Teoria geral µ derivada de ordem n Aula passada C-9- lineação hojiogãeamhos ymtpitiy-I-ipzhytpitty-p.my Aula kase Eq de ordem n { teoria geral equação linear de ordem n homogênea coep . constantes teorema se p, , . . . pn são contínuas em um Cap 4 Equações lineares de ordem n intervalo aberto e funções µ , . . . In são soluções de Motivação : Massa - Mola ~ (*)Í"tphÜÍtpHyÀphy+pohy OK, ( com Êi ±;) iii.÷: YH) 6. 1 ⑤ - Além disso , para a equação não homogênea " (1) m> x = - Káx + kz ( y - x ) (2) { mzy " = - kz (y - x ) EM Í"tphÜÍxpHÜphyxpohy=G sistema de duas equações de 2° ordem a solução qual é Vamos transformá lo em uma equação de ordem maior yltl-qyzt.a-tcnyn-YPE.mu ) mzy " = - kzyt Kay onde Yplt) é uma solução particular de cer) x = mnzy " t y K 4.2 Equações de coeficientes constantes Z derivando x " = many "' + y " anymxan-sjn-7.tqytqyi-a.ge ( *) kz substituindo Como no caso de ordem 2 M¥ ".it#i'⇒ "k¥4 :ç÷÷ (mim)Ítfmstkaiiçr + "II)Í "" - """ ° anêxiiaiitaiexao ↳ constantes Referente de um polinômio de 2° grau , Observação : ( raízes racionais ) um polinômio de grau n pode ter simultaneamente rht amar " - tt . . . + agr t ao = O • raízes distintas reais : ra , . . ra As possíveis raízes racionais yah - - est , . . . , yah = érkt são soluções do polinômio são ± os divisores de AO . Exemplo : r' - 71+6 = O • raejes repetidas reais : r de multiplicidade - K possíveis raízes racionais : I 1,72 ,I 3,76 yah = ert , yah = têt , yzlt) _ -feet, . . . repete o método Verifique para : - 1 : -1+7+6 f- o de D. polemlsert 1 : 1-7+6=0 galt) = tktert - 2 : -8-114+6 to ~ repete o método 2 : 8-14+6=0 de D " Alemhert - 3 : - 27+21+6 = o 3 : 27-21+6 # O ± 6 : # 6)3-+42+6 E O 1,2 , - 3 são raízes iii.÷: ::::÷:: ÷:: . raízes complexas repetidas : ylttçetçétczcosttcysen tannus r = xt pi de multiplicidade K ↳ solução qual ↳A) = étcospt , yzlt) = étsenpt , Exemplo Resolva - → yzlt) = tétcospt , yylthtêtsenpt , . . . , y "te Zytrj = o repeteco método repeteco método de D. Abmhert de D. Abmhert solução : Eq . característica : r " + Zoít 1=0 (i) ? + 2 é + 1 = o g. ⇒HI = Éedtospt , y.lt) = t "- 'étsenpt é = - 2 ± TE - v - repete o método repeteco método z 2 de D. pdemhert de D. pdemhert r = - 1 ⇒ r = ± i complexas -- repetidas ③IuYttcztaostcylsentmo Exemplo Resolva y " - y = o objetivo : Determinar uma solução yp - partículas da eq não homogênea Solução : Eq . característica r? 1 = o Recorde : ylt) = y # A) + y.rs } → solução - - particular da (r - 1) ( r ' t r + 1) = o não homogênea ⇒ r = 1 raiz real solução Étr + 1 = o geral da homogênea e = - 1 ±A = - 1 ± Ri - - 2 2 raízes complexas Método : a candidata yplt) é uma função tt do mesmo tipo de GH ) , multiplique por ELECÉÍ .IE#muT%Ee ts para eliminar urutióes Exemplo : Dê a candidata a solução de - Exemplo Resolva y " - by " t by ' - y = o cnáa determine os cooperantes de yp ) - 1 1 21 Solução : eq . característica 1331 y " - by " + 3g ' - y = 4et r' - 3×2+3 r + 1 = o solução ( r - 1) 3 = o Passo 1 solução do homo gene o - y r = 1 raízes repetíveis y " - 3g " + 3g ' - y = o ↳eq . característica ÷÷t÷:÷÷ :o) ÷::::::::::÷: - raízes distintas zmut Mas esta é solução da homogênea não há como ser da mãe homogênea ! Ê tentativa : yplt) = Até - também é solução da homogênea a 4. 3 Equação linear não homogênea : 3- tentativa yplti = Até coeficiente a determinar também é solução ↳ para eq com coep . constantes da homogênea qjI...+qÍ+aoY=C finalmente serve para yplt) = Até ⇐=/ polinômio ↳ é uma boa candidata exponencial ( esta é para algum A ela é solução sem Icos da mãe - hom o gene a ) - ou soma e multiplicação destas qtet-cziet-hi.eu Excepto Resolva ÍIIZYIIY =3 sent - bcost Solução £01 : Homogênea y '"+ ↳ " + y = o r " + Zr ? + 1 = o r = ± 1 r = ± i yff) = ↳cost + czsent + cztaost + cytsent Passará candidata a solução particular yplt) = trent do mesmo tipo que GH) ↳ e- somarão da homogênea ↳ multiplicar por potência de t para eliminar repetições yplt) = Atcostt Btsent tianya.IE#ost+atm-mT ÷:::: ÷::::/ y#tt) = C, + czet + czét Passat solução particular yplt) = ( Att B)tt Ccost + Dsent + Fétt - - - para Gatt) _ - t para Gzltt =3cost para \GzH- para eliminar repetições das soluções do homogêneo