Aula 21 - Transformada Inversa - Cálculo 3

Aula 21 Cálculo JB 2021.2 → isto é a punção não cresce mais que uma exponencial f-(t) I f-(t ) = 1- I Aula passada Refinaria e calculo a - t I I I I Aula Hose Transformada éneersq . , ( a t ↳ não tem ordem exponencial 6. 1 Reservarão da transformada de hoaplace Teorema ( condições para existir a TL ) É uma função contínua Queremos formalizar quando existe por partes em [0,00) e de ordem a transformada de Loaplace de uma exponencial a então Ltflt) } está função . definida para s > c Exerço Calcule a transformada de Recorde : • f- (t) = 1 , t > 0 . • t Solução : 00 247} = / é" . 1.dt t ↳ contínua por partes . ÷ .. 1 n = lim Transformada inversa de Loaplace o -> o | é "! 1. dt + eim u - soo | é 1. dt t t - - - - - - v - partes EE , ↳ para solucionar certos tipos de equações 1 1 precisamos também da inversa = lim [É / + | e- st . 1. dt] + I, da transformada de traplace o - > o E o É o 1 Definição 2 - - É + fé " . 1. dt + I, = lim II z o - > o ~ o t' se Fcs) representa a transformada → 00 independente do valor de s de hoaplace de uma função f- (t ) , isto é, = $ a enterrar diverge portante não Lhflt)} - Fls) existe a transformada de hoaplace dizemos que f- (t ) é a Transformada de flt) = % . encerra de Lo aplaca de Fcs ) e escreve - mos Não é para todas funções que existe 1-{ Fcs)} : = f- (t) a transformada de Laplace . ahefinicrãot Uma função flt) é dita Eiemplo de ordem exponencial quando existem c , M et tal que a) E ' { f-} = 1 pois 141 } = f- / f- A) | E Mét para t >T b) 1- ' {ja } = cosat Atenção : → primeiro ajuste para identificar a pois 14 cosat } - _A- transformada inversa pode ser srta? multiplicar e dividir por um número a) i.ftp..cat Enorme calau sipia } . Solução : pois Lpeath =1- sabemos que Lhsenzt } = 2- s - a Át 4 - punções pela propriedade L : F - T f- o tititi'h⇒ = f- sem Zt 1- 1 : F - TF 1- f ExempIo Calcule as transformada inversa Queremos calcular mais transformadas inversas a) rififi} Propriedade 1 - solução : iii.iii.÷::( iii.±:* coszttzsenzt Praça segue das propriedades de entigrat 00 • Lhfltltglth = / ést . (fttitgithdt b) b- 1 } 20%-3-4 , s > o O solução =[éstfudtxoj:*.ge" .at eifzççs - z ) - - roiife } - estilo} - - = 1h f- CHY + Lh gente = Zouglt ) - 3 G. 3. 2) Propriedade 2 U - sua Fase Lhfits } para essa > o 1h t " } - utinoofêtãtiflt ) - dt O e c. uma constante . = tem " é"-"t.fh.at 16.3.11 tofu.lt) . flt - ah} = écsholsflt)} u - soo / ^ o L-4.ec?FcsN--uahfH-c) = Fcs - c) (6-3.2) Ltétflt)} = Fls - c) Exemplo : Calcule  - ~ b-4ns - os} = étflt) a) L { edtsenbt } ( linha 9 da tabela ) livro b) Lheatcosbt } ( lenha 10 da tabela) vira uolt) -flt - c) c) 14 eat.tn } ceuiha 11 da tabela ) livro ~ ① y Solução a t a) Pela segunda propriedade Provam : G. 3.1 ) ao ° 14 sem bt } = b- • Ltudt) - flt - a)} =) e-st.u.CH . f- H - c) dt s ? tb ? O C o u e Então = uhiçoo fe-st.ae#-sdt+fe-stfHIdtsulsshtuvgac 14 edt . senbtle = b O c - de _ - dt (s - a) ' tb ? E- o → 2- - C - utc translação him e- sete? fc-h.dz b) u - soo ) . Lh cosbtte = SO = éscuiç.! " t.fi-dz.ec/I-7fwd- sib? Então = ésc . hohflt)} enheatcosbtle = I (s - a) ' + b? portanto [ ' { e- x. Fcs, } _ - ualt) - flt - c) c) Lht " } = n -11 s Então pq eatt " } = nts (s - a ) Exemplos : Calcule É} µ , } Atenção 3 Recompor em raízes saem? ei}} } = E e pagãs parciais • EYES - a } = é} µ, } sabemos Recorde - . ↳ riff;) = rüf p} exemplo ve - 1- 'f÷, } ⇒E. E a) Raízes reais : X - 3 X - 3 = A t B ↳ lenha 1L _ - x 42×-3 (x-1)1×+3) ¥ Atenção 2 Completas quadrado para eu - Tontear a translação b) Raízes complexas iii. füiiii siga-o • as raízes de s ? - s - 2 = o são Ü÷ ) - - IY } ← e. se podemos escrever s ? - s - 2 = ( s - 2) ( s -11 ) % ¥+5 } = é? sent Fusões parciais s - 1 " ⇐+ ↳ = É + II , tinha 9 = Alst 1) + B ( s - 2) = ( At B) s + ( A - 2B) . - - ( s - 2) ( s -11 ) ( s - 2) ( st 1) ÷ mau riff } ← EIJI , > ← 3. " E salvarão . É > { é? Fcss} = ult) . flt - c) - C Assim s - 1 1/3 43 • riff } = cost (⇒+ s , = ⇒ + ⇒ então - iii.÷..fi#+zil*l i.fé ? i ) = UÉ " - cost -E) rifas ,) - - zétxzét ExempIo Calcule C- ' { ↳ + 1 TABELA Feita)) - FIH - - ÉTFCS)} Fcs ) - - Ltflt)} - Solução : p 1 1 a- , sso Frações parciais : ✓ porque o termo debaixo - é irredutível Zs -11 = + Cst 2 eat 1- , essa - - - s - a (SHI) ( Ais ) Nt 4 s ? -11 - ttstbst As + B-tcs3-DA-4cs-4.DZ th , sso = _ - sh -11 (s4 4) ( sh 1) - = Atc = O A sso B + D= o ) 3C = 2 a- % A- = - % 5 serrat Fez A- 4C = 2) 3. D= , D= Yz B. = - 43 - B -14 D= 1 A s > o 6 cosat - Áta ? - "III. + :# + +¥. ) . at a- na csenbt (s - a)Ia ? - 74*1%4%174# . eaiosbt F. " a - - (s -a) ta ? - + { Í} ¥1 } as eatzn Ima . soa - ( s - a) - - -{ coszt - { senzt +{costttzsent µ uacf ) G- , isso - RESUMO . 13 uçltlflt -c) écs . Fcs ) - ' a) £1 é linear b) completar quadrados 14 edtflt ) Fcs - a) pragas parciais c) As propriedades de translação d) atenção multiplicar e dividir pelo mesmo número