Aula 13 - Equações Lineares Não Homogêneas 2021 1

Aula 13 Cálculo JB 2021.1 3.6 Método dos coeficientes a determinar ↳ este método serve quando : Aula passada ✓ = escponencional <mato tomarmos +Ü°"↳ÀÊÍ" Aula ltose equação C-q . lineares não homogênea de coeficientes constantes Equação lineares não homogênea Exempto : Resolva y " - 3g ' - 4g =3 ezt ✓ solução y7pHÍaHI=G szga-o-yth-qy.MY?-ypHtfFI - sol . Homogênea E A solução geral da equação Passo 1 solução da homogênea . - y " - 3J - 49=0 não homogênea y " -1 plttytqlty = GH) é escrita como é- Jr - 4=0 G-zt : "E- E ÷:i÷÷÷÷ iiií.. Que tipo punção poderia ser solução de Provar y " - seja ↳ =3 e" ? spam ytt) , yplt) duas soluções da equação não homogênea , candidata : YPH ) = fé t então para ytt) - yplt) temos coep . a determinas (y - yp) " tphly-ypitqhly-y.pt Derivar e substituir : YTH = Zaét y "lt) = 4.AE?t--ytpHIjtqHIy-lyptpHy'ptqhyp ) - - 4 Aêt- Gaêt - qaét . zét = GLH - GH) = o ⇒ - 6A ti zét esta é 9H - yplti-y.pt) solução da A- - -42 Ylt) - - -{ e" homogênea entao soeugãoguae ylttiçêtçét - çe " y = Y # + YP Nota Ja sabemos remover algumas ExempIo . Resolva y " - 3g ' - 4g = Zét equações homogêneas . Vamos desenvolver dois métodos para encontrar uma solução solução Y#LH = cséttczêt → solução do homo partículas da mãe homogênea gêmeo PauI candidata C motivado pelo exemplo I yplt) =A aparece na solução anterior ) a solução partículas do homogêneo -t Jfk Ae AI yplt ) = Ate" boa candidata Nate , no entanto que passo 3 Derivar e substituir 3µA) = çét + czétt - Ypilt) = A-tetezatet esta é para q = A e Cz = O ÍPHT Zaêtx 4Atêthfatétqate " g.µ = Aét é solução da errarão zaéfqatêfeeatêf 4Até-4 (aatefe ZAÉEÉ ) homogênea C- portanto não e-possivel ser solução + 4. ( At# ) = 2 é da mão homogênea 2A - 4ft - 4 AH -1 4ft -14ft ? = 2 Motivado pelo método de d. Abmlaute (para raiz repetida - redução de A- =L ordem) EEETÇEIFIÉTT iii.iii.÷:÷:Ü÷÷ A = -2/5 ylt) = çétiçétt - Zygtét Exemplar Resolva y " - ssej - 4g = 2 sent Exemplar : Resolva y " -4g ' +4g = Zêt solução : Y # tt) = Cséttczêt → Fiz antes solução - : Passão : candidato : Noteque (senti = cos ! Passo 1 - solução do homogêneo y " -4g '+4g = o ypct) = A Brent coep - a determinas é - 4 rt 4 = o r = 2 raiz repetida Passo 5 Derivar e substituir na equação - yp ' et ) = - Asent + Bcost yahoo.ee?t-czte yp " Ct) = - A cost - Brent Passou? candidata a solução do não - homogêneo f- Asent- Boat)-3 ( Acost -Brent)-141A senteBost) -- Zsmt C- A- 3ps - 4 A) cost + C-Bt 3A-4B) sent = Zsent ± sin III.mão [ça:B. ⇒ "¥ . "¥ ypl# 3- cost -5- sent Passo 2 : Yplt) = Aêtt Bcosttcsent 17 17 FÉ soeugáoquae ylthçéttçêtezostisent yápezemos já pusemos Zt = - de + 3- cost - 5- sent ExempIo . Resolva 17 17 y " - by ' - 4g = 4T ? - 1 solução qual Solução : yeh = çêxçêt -Izêtxofõst -Çsent - -t let £1 : 9µA) = çcxcze Passo ? : candidata YH) = AÉTBTTC Exemplo Determine uma condida - - - - ta a solução partículas da equação coefadetesminas Passo 3 dvuuaresuhisttuu - a) y " - 3J - 4g = t? et - - YÀI = A-tt B Y"lt) = 2A polinômio completa solução : como candidata 2A - 312A# B) -4CAÉBTTC) = 4ft C- 4A) É + EGA -4B) E TUA-3ps -4C) = UTIL solução da homogênea y = çettçêt niiiii:*:*.fi : . solução : salvarão homogêneo ylt) = çétcost + çétsent teorema se Yzlt) e Yzlt) são soluções candidata : particulares respectivamente Yplt) = (Asott Bati Çtt D) sent ay " tbyicy = Gatt) + ( Aztt Bztlxcztt %) cost - ay "tbejtcy = Gatt) não tem repetição com a solução do homogêneo então Yalt) + Yzlt) e - solução de aÚby'tcy=§H)+ç Reajo GH) 3pct) - exempio : Resolva pit) = antht . . -tattoo ÊCANÍT . . - + Ast + Ao ) y " - by ' - 4g = 3ett-2sentsaua.gg ↳⇐ a.⇒µ µ, .cat/fa.i+...+q++a.,eatPnlH.edt.fcospttTAntnt...tAst- A.) étcosptt senpt ftp.ntn-i . . - + Bate B.)êtsenpt