Lista Cálculo 3 2021 2

(e) dy dx = x2 − 3y2 2xy (|x|3|x2 − 5y2| = c) 2. As equa¸c˜oes dadas s˜ao equa¸c˜oes de Bernoulli, use sub- stitui¸c˜ao para resolve-las. (a) t2y′ + 2ty − y3 = 0, t > 0 (y = ±(5t/(2 + 5ct5)1/2)) (b) y′ = ry − ky2, r > 0, e k > 0 (y = r/(k + cre−rt)) (c) y′ = y − y3 (y = ±(1/(1ce−2t)1/2)) (d) xy′ + y = 1 y2 (y = y3 = 1 + cx−3) (e) y′ = y(xy3 − 1) (y = y−3 = x + 1/3 + ce3x) Aula 5 Equa¸c˜oes 1a ordem: Modelagem: Misturas Se¸c˜ao 1.1 p´ag 5 1. Para objetos maiores, caindo rapidamente, ´e mais pre- ciso supor que a resistˆencia do ar ´e proporcional ao quadrado da velocidade. (a) Escreva um equa¸c˜ao diferencial para a velocidade de um objeto em queda de massa m se a re- sistˆencia do ar ´e proporcional `a velocidade. (b) Determine a velocidade limite ap´os um longo per´ıodo de tempo. 2. Uma gota de chuva esf´erica evapora a uma taxa pro- porcional `a sua ´area de superf´ıcie. Escreva uma equa¸c˜ao diferencial para o volume de uma gota de chuva em fun¸c˜ao do tempo. 3. A lei de esfriamento de Newton diz que a temper- atura de um objeto varia a uma taxa proporcional `a diferen¸ca entre a temperatura e do objeto e a temper- atura do meio em que est´a inserido. Suponha que a temperatura ambiente ´e 70oF e que a taxa ´e de 0, 05 por minuto. Escreva uma equa¸c˜ao diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante t. Se¸c˜ao 2.3 p´ag 34 1. Considere um tanque usado em determinados exper- imentos hidrodinˆamico. Ap´os um experimento, o tanque cont´em 200 litros de uma solu¸c˜ao de tinta a uma concentra¸c˜ao de 1g/l. Para preparar para o pr´oximo experimento, o tanque tem que ser lavado com ´agua fresca entrando a uma taxa de 2 litros por minuto, a solu¸c˜ao bem misturada saindo a mesma taxa. Encontre o tempo necess´ario para que a con- centra¸c˜ao de tinta no tanque atinja 1 porcento de seu valor original. (t = 100ln100min) 2. Um tanque cont´em, inicialmente 120 litros de ´agua pura. Uma mistura contendo uma concentra¸c˜ao de γg/l de sal entra no tanque a uma taxa de 2l/min e a solu¸c˜ao, bem misturada, sai do tanque a mesma taxa. Encontre uma f´ormula, em fun¸c˜ao de γ, para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t. Encontre, tamb´em, a quantidade limite de sal no tanque quando t → ∞. (Q(t) = 120γ(1 − exp(−t/60)); 120γ) 3. Um tanque cont´em, originalmente, 100 galoes de ´agua fresca. ´E despejada, ent˜ao, ´agua no tanque contendo 1/2 lb de sal por gal˜ao a uma taxa de 2 gal˜oes por minuto e a mistura sai do tanque a mesma taxa. Ap´os 10 minutos, o processo ´e parado e ´e despejado ´agua fresca no tanque a uma taxa de 2 gal˜oes por minuto, com mistura saindo, novamente, a mesma taxa. En- contre a quantidade de sal no tanque ap´os mais 10 minutos. (Q = 50e−0,2(1 − E−0,2)lb) 4. Um tanque, com capacidade para 500 gal˜oes, cont´em, originalmente, 200 galoes de uma solu¸c˜ao de ´agua com 100lb de sal. Uma solu¸c˜ao de ´agua contendo 1lb de sal por gal˜ao entra a uma taxa de 3 galoes por minuto e permite-se que a mistura saia a uma taxa de 2 gal˜oes por minuto. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante anterior ao instante em que o tanque come¸ca a transborda. Encontre a concentra¸c˜ao de sal no tanque quando est´a a ponto de transbordar. Compare essa concentra¸c˜ao com o limite te´orico de concentra¸c˜ao se o tanque tivesse capacidade infinita. (Q(t = 200 + t − (100(200)2)/(200 + t)2)lb, t < 300; c = 121/125lb/gal) 5. Uma tanque cont´em 100 gal˜oes de (455L) ´agua e 50 on¸cas (1,42 kg) de sal. ´Agua contendo um concen- tra¸c˜ao de sal de 1 4(1 + 1 2 sen t)oz/gal entra no tanque a uma taxa de 2 gal˜oes por minuto e a mistura no tanque e sai a mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. (Q(t) = 63150 2501 e−t/50 + 25 − 625 2501 cost + 25 5002 sent) 6. A lei de resfriamento de Newton diz que a temper- atura de um objeto muda a uma taxa proporcional a diferen¸ca entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha que a temperatura de uma x´ıcara de caf´e obedece a lei do resfriamento de Newton. Se o caf´e estava a uma temperatura de 200oF ao ser colo- cado na x´ıcara e, um minuto depois, esfriou para 190o em uma sala a 70o determine quando o caf´e atinge a temperatura de 150o. Aula 6 Equa¸c˜oes diferenciais: Teorema de Existˆencia e Unicidade Se¸c˜ao 2.4 p´ag 42 1. Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solu¸c˜ao do problema de valor inicial dado cer- tamente existe. (a) (t − 3)y′ + (ln t)y = 2t, y(1) = 2;(0 < t < 3) (b) y′ + (tg t)y = sen t, y(π) = 0; (π/2 < t < 3π/2) (c) (4 − t2)y′ + 2ty = 3t2, y(−3) = 1; (−∞ < t < −2) (d) (4 − t2)y′ + 2ty = 3t2, y(1) = −3; (−2 < t < 2) 2. Seja y1(t) uma solu¸c˜ao de y′ + p(t)y = 0 e y2(t) uma solu¸c˜ao de y′ + p(t)y = g(t). Mostre que y = y1(t) + y2(t) tamb´em ´e solu¸c˜ao de y′ + p(t)y = g(t) 3. Determine a regi˜ao do plano ty onde as hip´oteses do teorema de existˆencia e unicidade s˜ao satisfeitas. (a) y′ = (1 − t2 − y2)1/2 3 Final da lista para P1