Prova Final Cálculo 2 2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Prova Final de Cálculo II ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas. 1. Calcule as integrais: (a) \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx (b) \int \frac{1}{x(x^2+1)} dx 2. Considere a sequência a_1 = \sqrt{2}, a_2 = \sqrt{2\sqrt{2}}, a_3 = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}, ... (a) Verifique que a sequência é crescente e limitada por 2. (b) Calcule \lim_{n \to \infty} a_n. 3. Determine se as seguintes séries divergem ou convergem: (a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n + 2^{n/2} + 3^{n/3}} (b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + n - 1}{2n^2 - 3n + 4} 4. Faça o que se pede: (a) Use a soma dos cinco primeiros termos para estimar a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}. Quão boa é essa estimativa? (b) Encontre um valor de n que garanta que o erro na aproximação s \approx s_n seja menor que 0.000001. 5. Determine a série de potências de \int \frac{1}{1 + 2x^4} dx e determine seu raio de convergência. MeuGuru Trabalho de cálculo. 1. Calcule as integrais: a) ∫ 1 𝑥4 𝑑𝑥 ∞ 1 Resposta: ∫ 1 𝑥4 𝑑𝑥 ∞ 1 Calculando primeiro a integral definida ∫ 1 𝑥4 𝑑𝑥 ∫ 𝑥−4𝑑𝑥 𝑥−3 −3 Agora aplicando os limites [− 𝑥−3 3 ] ∞ 1 lim 𝑥→∞ (− 1 3𝑥3) − (lim 𝑥→1 − 1 3𝑥3) − 1 3 lim 𝑥→∞ ( 1 𝑥3) + 1 3 lim 𝑥→1 ( 1 𝑥3) − 1 3 (1 ∞) + 1 3 ( 1 13) Quando o denominador tende ao infinito, o numerador tende a zero 0 + 1 3 Então, a integral definida vale: 1 3 b) ∫ 1 𝑥(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 Resposta: ∫ 1 𝑥(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 Tirar fração parcial 1 𝑥(𝑥2 + 1) = 𝑎0 𝑥 + 𝑎2𝑥 + 𝑎1 𝑥2 + 1 Multiplicando tudo por 𝑥(𝑥2 + 1) para simplificar 𝑥(𝑥2 + 1) 𝑥(𝑥2 + 1) = 𝑎0𝑥(𝑥2 + 1) 𝑥 + (𝑎2𝑥 + 𝑎1)𝑥(𝑥2 + 1) 𝑥2 + 1 1 = 𝑎0(𝑥2 + 1) + 𝑥(𝑎2𝑥 + 𝑎1) 1 = 𝑎0𝑥2 + 𝑎0 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 Aplicando a raiz do denominador 0 para achar 𝑎0 1 = 𝑎0(0)2 + 𝑎0 + 𝑎2(0)2 + 𝑎1(0) 𝑎0 = 1 Aplicando na fórmula 1 = 𝑥2 + 1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 0 = 𝑥2(1 + 𝑎2) + 𝑥(𝑎1) Montando o sistema de equações { 0 = 𝑎1 0 = 1 + 𝑎2 Portanto 𝑎1 = 0 Achando 𝑎2 𝑎2 = −1 Então a nova fração fica 1 𝑥 + (−1)𝑥 + (0) 𝑥2 + 1 1 𝑥 − 𝑥 𝑥2 + 1 Sendo assim, a nova integral é ∫ (1 𝑥 − 𝑥 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ ( 𝑥 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 ln(𝑥) + 𝐶 − ∫ ( 𝑥 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 Integração por substituição 𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 = ( 1 2𝑥) 𝑑𝑢 Aplicando na integral ln(𝑥) + 𝐶 − ∫ (𝑥 𝑢) ( 1 2𝑥) 𝑑𝑢 ln(𝑥) + 𝐶 − 1 2 ∫ 1 𝑢 𝑑𝑢 ln(𝑥) − ln(𝑢) 2 + 𝐶 𝑢 = 𝑥2 + 1 ln(𝑥) − ln(𝑥2 + 1) 2 + 𝐶 2. Considere a sequência 𝑎1 = √2, 𝑎2 = √2√2, 𝑎3 = √2√2√2, ... a) Verifique que a sequência é crescente e limitada por 2. Resposta: Os temos da sequência são 𝑎1 = √2 𝑎2 = √2√2 𝑎3 = √2√2√2 Então 𝑎3 pode ser considerada como 𝑎3 = √2𝑎2 Sendo assim: 𝑎𝑛+1 = √2𝑎𝑛 Para 𝑛 ≥ 1 Verificando se a sequência é limitada por 2 Primeiro termo 𝑎1 = √2 < 2 Condição verdadeira Segundo termo 𝑎2 = √2√2 < 2 Também verdadeira Dessa maneira, por indução temos que: 𝑎𝑛 < 2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 1 O que quer dizer que a sequência é limitada superiormente por 2 b) Calcule lim 𝑥→∞ 𝑎𝑛 Organizando a sequência {2 1 2, (2(2) 1 2) 1 2 , (2 (2(2) 1 2) 1 2) 1 2 } Conservando a base e somando os expoentes {2 1 2, (2 3 2) 1 2 , (2 7 4) 1 2} {2 1 2, 2 3 4, 2 7 8} Agora, vamos definir a sequência que é formada no expoente da série No expoente temos o seguinte {1 2 , 3 4 , 7 8} Note que o denominador é uma sequência de 2𝑛 e o numerador é sempre 1 numero a menos que o denominador, sendo assim a sequência do expoente é 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1 2𝑛 Vamos calcular os limites separados para facilitar o cálculo lim 𝑛→∞ 2𝑛 − 1 2𝑛 lim 𝑛→∞ 2𝑛 2𝑛 − 1 2𝑛 lim 𝑛→∞ 1 − 1 2𝑛 Como 𝑛 tende ao infinito, o segundo termo tenderá a zero lim 𝑛→∞ 1 = 1 Voltando para a sequência do enunciado, com o cálculo do expoente já feito lim 𝑛→∞ 21 Então o limite da sequência com 𝑛 tendendo ao infinito é 2 Portanto, a sequência 𝑎𝑛 converge para 2 3. Determine se as seguintes séries convergem ou divergem: a) ∑ ( 1 2 + 2𝑛 + 2 3 + 3𝑛) ∞ 𝑛=1 Resposta: Podemos separar as séries em duas, pela regra da soma ou subtração ∑ ( 1 2 + 2𝑛) ∞ 𝑛=1 + ∑ ( 2 3 + 3𝑛) ∞ 𝑛=1 Testando a primeira série ∑ ( 1 2 + 2𝑛) ∞ 𝑛=1 Aplicando o teste da razão Onde, se 𝐿 < 1 a série é convergente Se 𝐿 > 1 a série é divergente E se 𝐿 = 1 o teste é inconclusivo 𝑎𝑛 = 1 2 + 2𝑛 | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = | 1 2 + 2𝑛+1 1 2 + 2𝑛 | Simplificando | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = |( 1 2 + 2𝑛+1) (2 + 2𝑛 1 )| | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = | 2 + 2𝑛 2 + 2𝑛+1| Calculando o limite para definir o valor de 𝐿 lim 𝑛→∞ | 2 + 2𝑛 2 + 2𝑛+1| Manipulando a equação lim 𝑛→∞ | 2𝑛(21−𝑛 + 1) 2𝑛(1+1 𝑛) ( 1 2𝑛 + 1) | Simplificando os termos em evidência 𝑛 (1 + 1 𝑛) − 𝑛 = 1 lim 𝑛→∞ |(21−𝑛 + 1) 2 ( 1 2𝑛 + 1) | 1 2 lim 𝑛→∞ |21−𝑛 + 1 1 2𝑛 + 1 | Calculando o limite do numerador lim 𝑛→∞(21−𝑛 + 1) 21−∞ + 1 Quando um numero é elevado a menos infinito ele tende a zero Então o limite do numerador é 1 Calculando o limite do denominador lim 𝑛→∞ ( 1 2𝑛 + 1) 1 2∞ + 1 Como o denominador do primeiro termo tende ao infinito ele será zero E o limite do denominador também é 1 Sendo assim: lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = 1 2 (1 1) lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = 1 2 𝐿 = 1 2 Como 𝐿 < 1 a primeira série converge Verificando a segunda ∑ ( 2 3 + 3𝑛) ∞ 𝑛=1 Utilizando o teste da razão | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = | 2 3 + 3𝑛+1 2 3 + 3𝑛 | | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = |( 2 3 + 3𝑛+1) (3 + 3𝑛 2 )| | 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 | = | 3 + 3𝑛 3 + 3𝑛+1| Calculando o limite lim 𝑛→∞ ( 3 + 3𝑛 3 + 3𝑛+1) Dividir todos os termos por 3𝑛+1 lim 𝑛→∞ ( 1 3𝑛 + 1 3 1 3𝑛 + 1 ) Quando 𝑛 tende ao infinito 1 3𝑛 tende a zero lim 𝑛→∞ ( 1 3 1) 𝐿 = 1 3 Como 𝐿 < 1 a segunda série também converge Portanto, a série do enunciado é convergente. b) ∑ 𝑛2 + 𝑛 − 1 2𝑛2 − 3𝑛 + 4 ∞ 𝑛=1 Resposta: Utilizando o teste da divergência Se o lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0 então a série será divergente 𝑎𝑛 = ( 𝑛2 + 𝑛 − 1 2𝑛2 − 3𝑛 + 4) Calculando o limite lim 𝑛→∞ ( 𝑛2 + 𝑛 − 1 2𝑛2 − 3𝑛 + 4) Dividir todos os termos pelo denominador de maior potência lim 𝑛→∞ ( 𝑛2 𝑛2 + 𝑛 𝑛2 − 1 𝑛2 2𝑛2 𝑛2 − 3𝑛 𝑛2 + 4 𝑛2 ) lim 𝑛→∞ ( 1 + 1 𝑛 − 1 𝑛2 2 − 3𝑛 𝑛 + 4 𝑛2 ) Como 𝑛 tende ao infinito, podemos cortar todos os termos que ele está no denominador, pois todos tenderão a zero lim 𝑛→∞ (1 2) 1 2 Portanto lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 1 2 Sendo assim, como a regra do teste da divergência diz que se o limite de 𝑎𝑛 for diferente de zero ela será divergente, a série do enunciado é divergente. 4. Faça o que se pede: a) Use a soma dos cinco primeiros termos para estimar a soma da série. Quão boa é essa estimativa? ∑ (−1)𝑛−1 𝑛3 ∞ 𝑛=1 Resposta: Representando os 5 primeiros termos ∑ (−1)𝑛−1 𝑛3 5 𝑛=1 = (−1)1−1 13 + (−1)2−1 23 + (−1)3−1 33 + (−1)4−1 43 + (−1)5−1 53 ∑ (−1)𝑛−1 𝑛3 5 𝑛=1 = (−1)0 1 + (−1)1 23 + (−1)2 33 + (−1)3 43 + (−1)4 53 ∑ (−1)𝑛−1 𝑛3 5 𝑛=1 = 1 − 1 23 + 1 33 − 1 43 + 1 53 Calculando os valores dos termos 1 − 1 23 + 1 33 − 1 43 + 1 53 1 − 0,125 + 0,03703704 − 0,015625 + 0,008 0,90441204 Então, temos que ∑ (−1)𝑛−1 𝑛3 5 𝑛=1 = 0,90441204 Como no quinto termo temos 0,008 quer dizer que com os 5 primeiros termos obteremos uma soma com duas casas decimais de precisão. b) Encontre um valor de 𝑛 que garanta que o erro na aproximação 𝑠 ≈ 𝑠𝑛 seja menor que 0,0000001 Resposta: Para calcular o erro de aproximação temos a seguinte fórmula 𝑅𝑛 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ 𝑛 Para o exemplo ficamos com lim 𝑡→∞ ∫ 1 𝑥3 𝑑𝑥 𝑡 𝑛 lim 𝑡→∞ [𝑥−2 −2] 𝑡 𝑛 lim 𝑡→∞ [− 1 2𝑥2] 𝑡 𝑛 lim 𝑡→∞ [− 1 2𝑡2 − (− 1 2𝑛2)] 1 2𝑛2 O enunciado quer um erro de aproximação menor que 0,0000001. Logo 1 2𝑛2 ≤ 0,0000001 1 𝑛2 ≤ 0,0000002 1 0,0000002 ≤ 𝑛2 5000000 ≤ 𝑛2 𝑛 ≥ √5000000 𝑛 ≥ 2237 5. Determine a série de potências da integral e determine seu raio de convergência ∫ 1 1 + 2𝑥6 𝑑𝑥 Resposta: Organizando a função 1 1 + 2𝑥6 1 1 − (−2𝑥6) Então temos uma série geométrica, com o primeiro termo 1 e razão −2𝑥6 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥6 + 4𝑥12 … Portanto, temos a seguinte série 𝑓(𝑥) = ∑ 1(−2𝑥6)𝑛 ∞ 𝑛=0 𝑓(𝑥) = ∑(−1)𝑛2𝑛𝑥6𝑛 ∞ 𝑛=0 Agora calculamos a integral da série que achamos ∫ ∑(−1)𝑛2𝑛𝑥6𝑛 ∞ 𝑛=0 𝑑𝑥 Apenas em relação a x ∑(−1)𝑛2𝑛 ( 𝑥6𝑛+1 6𝑛 + 1) ∞ 𝑛=0 A representação da integral em série de potência então é ∑(−1)𝑛 (2𝑛𝑥6𝑛+1 6𝑛 + 1 ) ∞ 𝑛=0 Como a gente tem uma série geométrica com razão −2𝑥6, o raio de convergência é |−2𝑥6| < 1 2|𝑥6| < 1 |𝑥6| < 1 2