Aula 12 - Equação de Euler 2021 1

Aula 12 Calculo 3ps 2021.1 Casota rcr - 1) + brtc = o tem duas raízes reais distintas Aula passada : raízes repetidas ç então yeah = trd , yzlt) = tr ? Aula Hoje : Eq de Euler → uma mão autônoma Wftrd , tra) = www. %:: aí:*. Equação de Euler C Exercício porq 91) J e na recreio 5.5 . rir,-1 = lrz-r.lt A equação linear da forma f- o tt teco .co) aty-b.ly?-cy--Q- CE ) portanto a forma da solução é é dita Equação de Euler yctl-qtrs.ec ↳ Esse tipo de eguagão aparece quando . estamos resolvendo a equação de Laplace ④ arlr - 1) + brtc = o tem raízes Au = o CEDP ) . repedidas r ÷÷÷÷i÷ :( iiiiii """ Usar o método de redução de ordem para As potência de t obter uma segunda solução LI nos achar o r • O suponha que ylt) = t dependa yzlt) = olt) .É derivando em ( 0,00) ( por exemplo) -sera uma solução de CE ) para algum re IR yiu) = v? É + ro.tt - 1 ↳ queremos achar um condição para a yjlt ) e o " . trt Zro?tr -1 + rcr - 1)otr - ? Revirando e substituindo substituindo r - 1 jet) = rt r - 2 YIH = rir - Mt a.tipo ".tt, zrótr - ttrcr - 1) otr -2) t btlvitrtrvt " ) r + cot = o ltr # O , tio ou tao ) a-ilrcr-srtr-Y-btrtr-t-ctr.co ( ar ( r - 1) + br + c) td e- o rts ) f r -11 ↳ # o pois tecaoo) ator" . • " + ( Zart" I be r - O % to ↳ o que acompanha portanto ylt) = ter é solução de CE) o se anula desde que r satisfaça ato " -1 (zaçrt b) o ' = o ar(r-1)+brt = ajab Ce) • alto " + fav ' = o uso ' substituindo : ↳ polinômio de grau 2 . tu ' + u = o solução geral { tudo f-çdt yltt . - C , Écoslmlnt) + çthsencrelnt) lnu = - lnt + c v ' = u = kt - 1 Eniemplo Resolva V = 1¥ . dt = Klnt a) 9-iji-3tj-8y.co Solução - - podemos tomar K . - 1 Eq . característica : 9 rcr - 1) + 3r - 8=0 Ir ? - Gr - 8=0 lnt ré % , ré -43 Assim a forma geral é YHI = ↳ÍBCÍÉ yHt b) 4thji-8tyi-y.co Solução 4 rlr - 1) + ser -11=0 Gritar +1=0 ⇒ e- - % ↳ verifique que wltritrent) # ° yahoo.tn + çtent Caso 3 arcr - 1) + brtc = o tem raízes complexas Exemplo : Encontre os valores de x = para que as soluções de e- Atri tiy " -1 xy = o Recorde Fórmula de Euler - tendam a zero quando t -so CMÍ cospe + isenrr Solucráa Equação característica r A solução é : t r ( r - 1) + = O r ? - se + X = O Note que ri 1 ± M 1- 4A r Atri mi zt = t = t.to = ta elntmi = É eimlnt ylt) = çtrdtçtr ? - formula de Euler ylt ) = çtr + czterlnlt ) = talcos (mlnt) + isenlmlnt)] ylt) = çtcoslmlnt ) + çtsenlmlnt ) Assim y, lt) = tacos ( mlnt) Nate que r CO ( ou 1<0 ) r Yzlt) = tsenlmlnt) t → 00 t → O então se A = 1-4×70 → ao 1 4 r .- 1£45 > o z Resumam : 1 ± # > o Equação Formada solução ↳ 1 + Fã so sempre - raízes distintas ylt) . -çêtçêzt ↳ 1. Faa > o r. - ra ⇒ M . - at 1- Uai a 1 ay " -ibejtcy _ - o raízes complexas yltt.ge/cosmt-caesen-mlr--A-mi 1- 4in a 1 • / × > o estou raízes repetidas ryltt .- çêtxçtert O Cd a 1 4 raízes distintas ylt) .-çtiçt" se A co x ) Y ra - ra 4 r .- 1 ± TÊ atty-btj-icy.co raízes complexas ytttiçtcodmlnt) - e- Atri + çtsenlmlnt) parte real 170 raízes repetidas ryetticatrtçlnt - Ê se A = O → a _- Yy e r _ - Yz yIplttyt-qltty-oyzioctt.y.lt) + yah) sducrao redução de 9H) _- ÇY, + ÇY , ordem ylt) = ↳ t" + çt "lnt [ HOSP limtlnt = sim lnt = + → o t -70 1 A 1 = him = fiz - § .VE = o + → o -1 < A Resumo