Lista Aula 3 4 5 2021 2

​​(b) y'' = (\cos^2 + y^2) (c) \frac{dy}{dt} = \frac{1−x}{3y−x^2} 4. Resolva o problema de valor inicial dado e determine de que modo o intervalo no qual a solução existe depe- de do valor inicial y_0. (a) y'' = 2ty^2, y(0) = \cdots (b) y' = \frac{1}{1 + y^2}, y(0) = (c) y'' + e^{4/t} y(0) = y 5. Verifique que ambas as funções y_1(t) = 1 − 1 e y_2(t) = \int \exp y^2y' são soluções do problema de valor inicial \[y'' = −\frac{t + 4}{[2y^3]}$, y[2] = −1\] Onde essas soluções são válidas? 6. Explique porque a existência de duas soluções do problema dado não conduz à parte de unici- dade do Teorema de existência e unicidade. 7. Mostre o que x(L) = ±e^{4t}, onde e é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencial no item a) para x > 2t. Se e = _, a condição inicial x(0) = 1/50 é aquela em que a, y= e(cH)e^{-c}\ln t\] também é satisfeita e obtenha-se a solução y(t). 8. Verifique que x_0(t) no problema da equação diferencial (d) no item 2 não é solução dessa equação a menos que m = 0 ou m = 1. Aula 7 Equações diferenciais: Dinâmica populacional. Seção 2.5 pág 48 1. Os problemas a seguir envolvem equações da forma dy/dt = f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y. Determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um deles como assintoti- camente estável ou instável. Desenhe a seta de fase e esboce diversos gráficos das soluções no plano (t, y). (a) \[dy/dt = ay^2 + by, \quad a > 0, b > 0, \, 2, 0 \qquad 2 \quad > \quad 0 2. Algumas vezes, uma solução de equilíbrio tem a propriedade que as soluções ao lado do ponto crítico c do lado, enquanto as do outro lado se afastam dele. nesse caso, a solução de equilíbrio é dita semi-estável. a) \[(dy/dt + Now Y - 1)/(y^2 - 2)), \quad [], \cdots \sin Y/Z\] b) \[(dy/dt = \, =,\cdot /(\overline{1} + \overline{0}) - \cdots \overline{1}/Y\( 3. En cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de f(y) e determinem os pontos críticos (de equilíbrio) e clas- sifique cada um deles como assintoticamente estável, instável ou semi-estável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos das soluções. (a) \[dy/dt = \frac{dy}{Z}, \infty Z^{-1}, −\infty < x < \infty (b) \[dy[1] − y\quad\ SEC < x < \infty\sin(1) Y\], \quad [∞Z^{-1}\], \Re(x\sin(\theta)) 4. Suponha que uma determinada população obedeça ao crescimento logístico \[dy/dtT(K),\frac{}{ (a) Se y(0) = K/3, encontre o instante t no qual a população inicial dobrará. Encontre o valor do correspondente a r = 0,025 por ano. (b) Se y(K, t) = \infty, encontre o instante T no qual \[ \!] no qual a população é dobrada. 5. Outra equação que tem sido usada para modelar o crescimento populacional é a equação de Gompertz \[dy/dt = rp(yf)(K) onde r é K são constantes positivas. (a) Esboce o gráfico de f(y) em função de y, encontre os pontos críticos e determine se cada um deles é assintoticamente estável ou instável. (b) Resolva a equação de Gompertz. (Sugestão: faça a substituição y = \ln[dy/dx] 6. A população de mosquitos em determinada área cresce a uma taxa proporcional à população atual e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada três semanas. Existe, inicialmente, 200 mosquitos na área e os predadores consomem 20.000 mosquitos por dia. Determine a população de mosquitos na área em qual- quer instante t. ​​(e) \frac{dy}{dx} = \frac{x^2−3y^2}{2xy} 2. As equações dadas são equações de Bernoulli, use sub- stituição para resolvê-las. (a) (t^{−4} + 2ty) y' = 0, t > 0 (b) t^3 y'' − (3t^2 − 1) y' = 0, t > 0 Aula 5 Equações 1ª ordem: Modelagem: Mistura Seção 1.1 pág 5 1. Para objetos maiores, caindo rapidamente, é mais pre- ciso supor que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade. (a) Escreva uma equação diferencial para a velocidade de um objeto em queda de massa m se a re- sistência do ar é proporcional à velocidade. (b) Determine a velocidade limite após um longo período de tempo. 2. Uma gota de chuva ordinária evapora a uma taxa pro- porcional à área da superfície. Determine uma equação diferencial para o volume de uma gota de chuva em função do tempo. 3. A lei de esfriamento de Newton diz que a tempo- ratura de um objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a tempera- tura do meio em que está inserido. Suponha que a temperatura ambiente é 70°F e que a taxa é de 0,05 por minuto. Escreva uma equação diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante t. Seção 2.3 pág 34 1. Considere um tanque vazio em determinados experi- mentos hidrodinâmicos. Após um experimento, o tanque contém 200 litros de uma solução de tinta a uma concentração de 1 g/L. Para preparar para o próximo experimento, o tanque tem que ser wash- ed com água fresca entrando a uma taxa de 2 litros por minuto, a solução bem misturada saindo a mesma taxa. Encontre o tempo necessário para que a con- centração de tinta no tanque atinja 1 por cento do seu valor original. 2. Um tanque contém, inicialmente 120 litros de água salina. Uma mistura contendo uma concentração de 1/4 kg de sal entra no tanque a uma taxa de 3 m³/min e a solução, bem misturada, sai do tanque a 3 metros por minuto. Encontre uma equação para definir a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Encontre, também, a quantidade final de sal no médaque quando t \to ∞. 3. Um tanque contém, originalmente, 100 galões de água fresca. É despejada, então, água no tanque contendo 1/2 lb de sal por galão a uma taxa de 2 galões por minuto e é misturada saindo do tanque a mesma taxa. Após 10 minutos, o processo é parado e o despejamento de água fresca no tanque e a uma taxa de 2 galões por minuto, com nutrição saindo, envolvendo, a mesma taxa. En- contre a quantidade de sal no tanque após mais 10 minutos. 4. Um tanque, com capacidade para 500 galões, contém, originalmente, 200 galões de uma solução de água com 10th de sal. Uma solução de água contendo 1 lb de sal por galão entra a uma taxa de 3 galões por minuto é permitido e é misturada saído a uma taxa de 2 galões por minuto. Encontre a quantidade de sal do tanque em qualquer instante anterior ao instante em que o tanque começa a transbordar. Continue abastecendo sal em tanque quando está cheio e bem misturado. Compare essa concentração com o limite teórico quando o tanque eventualmente transborda. 5. Um tanque contém 100 galões de (454L) água e 50 galões (1.42 kg) de sal. Água contendo uma concen- tração de sal de \frac{1}{1 + t} \frac{1}{1 + 2(1\pi^2)}\frac{1}{1 + 2\pi^2}lb/gal entra no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto e a mistura no tanque sai a mesma taxa. Encontre a quantidade do sal no tanque após 10 minutos. 6. A lei de esfriamento de Newton diz que a tempera- tura do objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e o ambiente asso- ciado. Suponha que uma xícara de café esfriando em uma sala a temperatura de 200°F e ao ser colocado na xícara, o mesmo ainda fervendo, passa por 190ºF uma sala a 70°F determine quando o café atingir a temperatura de 150°. Aula 6 Equações diferenciais: Teoremas de Existência e Unicidade Seção 2.4 pág 42 1. Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado cer- tamente existe. (a) (t^{−3} y' + (ln t)(y−2t, y(1) = 2 (b) (e^{y'}−1)y'' + 2ty) (1 − x) (t − 1), \ln(t) (c) (e^y − t^2)y' + 2ty − 3(t − 1)\ln(t) (d) (d^3 y' + (t^x)y^3 − 3t^y^3 2. Seja y(t) uma solução de y' + p(t)y = q e solu(t) ot(u, q(t))] é também a solução de q' + y^t(t) determine se é a solução do plano (p) sobre as condições teoremas de existência e unicidade são satisfeitas. (a) y' − (1 − \frac{2t}{y^3}) = \frac{1}{(1 − \frac{2t}{y^3})^3} 8. Considere o problema de valor inicial \[y' = \frac{3}{2y} = e^2x, \quad y(0) = \frac{\pi}{2}\] Encontre o valor de y_0 tal que separa as soluções que crescem positivamente quando t \to ∞ do disca que crescem em módulo com sinal negativo. Como a solução cor- respondente a este valor crítico de y \approx -\ln(t) não) converge m(a(t)) - \sin t) 9. Mostre que, se a e b são constantes positivas e se b é qualquer número real, então toda a solução da equação \[( ua + uy = e^{-a}(\sin x) )\] tem a propriedade que y = 0 quando − t \to ∞. 10. Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm limite 3 quando t \to ∞. Aula 3 Equações não lineares 1ª ordem: Método de equações separáveis. Seção 2.2 pág 27 1. Resolva a equação diferencial dada (a) y' = \frac{x}{2} (b) y' = 3x^2 − y^2 (c) y' = \cos x (a^2 > 2) (d) y' = \sqrt{2y(xk)} (e) \frac{dy}{dx} = \frac{e^m}{1 + y^3} 2. Resolva o problema de valor inicial. Quando possível dê a solução explícita e determine, aproximadamente, o intervalo no qual a solução está definida. (a) y' = (1 − 2x)^2, \quad y(0) = 0 (b) y' = \frac{2}{3x}, \quad y(1) = −2 (c) y' = \frac{x}{2}, \quad y(1) = \frac{1}{2} (d) y' = \frac{x^2 −3y^2}{2xy}, \quad y(0) = 1 3. Resolva o problema de valor inicial \[y' = \frac{1}{3x} - \frac{3x^2}{y}, \quad y(0) = 1\] e determine o intervalo de validação da solução. Sugestão: procure pontos nos quais a curva solução tem uma tangente vertical. Aula 4 Equações não lineares 1ª ordem: Método de substituição. Homogêneas e Bernoulli. 1. Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada. (a) y' = (x + t)^2 − 1 t(1 − x − 1) (c) y' = e^{-2x} − \frac{2}{e} f(x − 2) (d) y = \sin x e^{t(x + y)} = 1 2. Resolva o problema de valor inicial dado \[y' = (−2x + y^2) − 7 (y(0) = 0)\] \[3x^2 + 2y = \overline{1} − \overline{1}\] Substituição pág 28 (Homogênea) 43 (Bernoulli) 1. Mostre que a equação dada é homogênea e resolva. (a) \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \cot(b^3 + y^3) (b) \frac{dy}{dx} = 2 + 3y (c) \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2} (d) \frac{dy}{dx} = \frac{2(x + 3y)}{4} 2. As equações dadas são equações de Bernoulli, use sub- stituição para resolvê-las. (a) y' = e^{(x^2 − 3y^2)} (b) y' = \cos(x−y) (c) y' = 1 − y (d) y' = \sin(y|x=x−y) Seção 2.2 pág 27 1. Resolva a equação diferencial dada (b) y'' = 2 - 2(t)y (c) y = e^{-3x}(\sin x) 2. Substitua a variável numa equação homogênea dada (a) y'' + (\sin x)^2 = x(\sin y) 3. As equações dadas são equações de Bernoulli, use substituição para resolvê-las. (a) ( t^2 y'' + sin(x) = \sin x\sin(x/\pi_y) 4. Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada. (a) y' = − \sin x (b) \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y+x}