Lista 3 Cálculo 3 2022

DMAT/UFES P3: 22/03/2022 Calculo 3B - 2021.2 EARTE - Jaqueline da Costa Ferreira Aula 16 1. Determine a solugao geral da equacao diferencial dada. a moat _ ah ty —%e-t 4.3 Equacoes de ordem n (ay v u * ote (b) yY — y = 3t + cost p= cyet + cge—* 4+ cg cost + +c4 sent 34 Ltsen t Secao 4.1 pag 120 - (c) yy" ty" +y +y=e '+4t 1. Determine os intervalos que, com certeza, existe j= cyent 4 egcost + eq sent + dte-t $.4(t —1 solugoes (d) y) yl" =t (a) y + 4y!” + 3y =t ] ey + egt + egt? + eget + €!/(e5 cos(V3t/2 x t boo 6 sen(V3t/2 ag tt (b) ty’” + (sent)y” + 3y = cost 2. Determine uma forma adequada para Y(t) se for uti- sooo eco izado o método das coeficientes indeterminados. Nao , lizad 6todo d fici ind inados. Na (c) (a2 — A)y() + 22y!" + 9y =0 calcule as constantes. x x 2,—-2 1 2,2 Y x (a) yi _— Qy"" + y’ => 3 + Qet 2. Determine se 0 conjunto de funcées dado é linearmente ve no a toes : : (b) y” —y' =te~' + 2cost dependente ou linearmente independente. y y Y(t) = t(Agt A, )e *Bcost + Csent (a) fi(t) = 2t—3, fo(t)=t +1, fg(t) = 20? -t (c) yO —2y"+y =e + sent (b) fi(t) = 2t — 3, f(t) =?+1, f(t) = 2t? — t, Y(t) st2e¢ 4 Boost + Csent fault) =P +t4+1 3. Verifique que as funcoes dadas sao solugoes da equagao | Aula 17 diferencial e determine seu wronskiano. (a) y) +y"” =0; 1,t,cost,sent Resolugao em Séries: . Definicao e calculo (b) yl! + Qy" _ y! _ Qy — 0; et, ew, e2t “ Sedo 5.1 pag 134 (c) ry!” a y" = 0; 1, z, av . pas s, 1. Determine o raio de convergéncia da série de poténcia. 4. Use o método de reducao de ordem para resolver a (a) s\ x — 3)” equacao diferencial dada. Faca y(t) = yi(t).v(t), de- — rive, substitua e resolva a nova EDO em v fazendo a oo substituicao u =v’ (b) ee" =0 (a) (2-0)y'""+(2t-3)y"" —ty’+y = 0,1 < 2: (1) =e = al n! = cet beat teqtet (c) us n=0 Segao 4.2 pag 125 2. Determine a Série de Taylor da funcgao dada em torno 1. Encontra a solugao geral da equacao diferencial dada. do ponto xo. Determine também o raio de con- Como a solugao se comporta quando t + oo? vergencia da série. (a) y" —y" -y +y=0 (a) Inz, %=1 1 J = cpeh + egte! + eg: (b) ae ro = 0 (b) 2y!” — 4y"" — 2y/ + 4y = 0 re n j= ere! + egertt + ege" A série de poténcia em que os coeficientes a, = Po) n) (c) y@ — 4y'" + dy” = 0 é dita também com o Série de Taylor. ) = cy + egte’ + cge?* + cyte" oo (d) y“) — 5y” + 4y = 0 3. Dado que y = Sona” calcule y’ e y” e escreva os qua- t t sett 4 eye 2t n=0 1 o _ oo tros primeiros termos de cada uma das séries, assim (c) y — 8y' =0 como 0 coeficientes de x” no termo geral. ees 4. Escreva a expressao dada com uma série cujo o termo Secao 4.3 pag 127 geral envolve x”. 1 co b (a) Sana”? ( ) n=0 t?, O<t<1 9° oo f(it)=4(t-1)1, 1<t<2 n-1 k , _ (b) cy nx +S Cage 1 2<t<3 n=0 k=0 Nenhuma das duas 5. Determine a, de modo que a equacao 2. Encontre as transformadas de Laplace da funcao dada; °° °° a eb sao constantes reais. Sonana”! + 2S ana” =0 n=1 n=0 (a) sen bt (b) e“ sen bt seja satisfeita. Tente identificar a funcao representada b co ————.,s>a (s —a)2 + b? ne n pela série S Cana . (c) e% cos bt n=0 s—a _ . (s—a?+e’~ “ Secao 5.2 pag 140 _ 3. Use integragao por partes para encontrar a transfor- 1. Resolva a equacao diferencial dada através de uma mada de Laplace da fungao dada; n ¢ um numero in- série de poténcia em torno do ponto xp dado. Encontre teiro e a é uma constante real. a relacao de recorréncia; encontre também os quatros (a) te” primeiros termos em cada uma das duas solucoes lin- | —— earmente independentes (a menos que a série termine (s — a)?’ antes). Se possivel, encontre o termo geral em casa (b) tsen(at) solucao. 708 ng (s+ + az) (a) y’—ay’-y=0, x =0 4. Determine se a integral converge ou diverge. (b) -2)y"+y=0, 2 =0 @ [ 1 a 724? (c) ay” +y'+ay=0, a =1 0 P +1 co (4) (L-2)y"+2y'—y=0, 2 =0 (o) [tet 0 Qy” 1)y' + 3y =0 =2 ~ (ce) 2y" + (w+ Dy! + 3y 7 70 5. Suponha que f e f’ sao continuas em t > 0 e de ordem 2. Fazendo a mudanca de varidvel x—1 = t e supondo que exponencial quando ¢ — oo. Integrando por partes, y tem uma série de Taylor em poténcias em t, encontre mostre que, se F(s) = £{f(t)}, entao jim F(s) =0. duas solugoes em séries linearmente independentes de y+ (c— Vy + (2 —y =0 ane em poténcias de x—1. Mostre que vocé obtem o mesmo Transformada de Laplace: resultado diretamente, supondo que y é dado por uma Propriedades; série de Taylor em poténcias de x — 1 e expressando o TIRAe LORI oRinme nan coeficiente x? — 1 em poténcias de x — 1. Aula 18 Secao 6.2 pag 174 1. Encontre a transformada de Laplace inversa da fungao Transformada de Laplace: dada. Definicao e calculo (a) 3 se +4 = sen 2t Secao 6.1 pag 168 (b) 4 (s — 1)° 1. Esboce o grafico da fungao dada. Determine se f é 2i*e" 9 continua, continua por partes ou nenhuma das duas, (c) = no intervalo 0 < t < 3. 5 7 3s 4 (a) (a) 2542 s?+2s+5 t?, O0<t<l1 2e—* cos 2t 2 fit)=<24+t, 1<t<2 (e) 38 sth 6—t, 2<t s 3 OED oy Continua por partes Secao 6.3 pag 178 2 1. Encontre a transformada de Laplace da funcao dada. e) y” — 2y' + 2y = cost; y(0) = 1,y'(0) =0 ¢ y y y y y y= L(cost — 2sint + 4e’ cost — 2e* sin t) (a) f(t) = ur(t) + 2u3(t) — 6ua(t) . _ (s) = L(e-8 + 26-35 — 6e~48) (f) y! — 2y! + 2y =e y(0) = 0,y'(0) = 1 we gh - ‘ y= £(¢ t _ et cost + Te’ sin t) b th=(t-3 t)-—(t-2 t (b) I y= ar, Jua( )~ ( Jus(t) 2. Encontre a transformada da solucao do problema de F(s) = s~? [(1—s)e — (14 s)e735] lor inicial valor inicial. (c) f(t) =t—w(t)(t—1),t = 0 F(s) = (1 —e78)/s? yf vay={t O<t<a7 2. Encontre a transformagao de Laplace inversa da 0, TSt<0o funcgao dada. y(0) =le y' (0) —0 3! (e) — 8 l—e 7s (a) Pls) = ay *) 244 5244) f(t) = Be Secao 6.3 pag 178 —2s (b) F(s) = Pos 1. Esboce o grafico da fungaéo dada no intervalo t > 0. P(t) = gua(t)(eh? — e 2) (a) uy(t) + 2ug(t) — 6us(t) _ —2s (c) F(s) = “ee (b) (t— 3)us(t) — (t— 2)us(t) — 28+ f(t)= ous (t)e! 2 coal — 2) (c) f(t a TT )Un(t), onde f(t) = t? @) Fs) en8 4 e725 — 638 — e- 48 (d) (¢ — 1)uy() — 2(€ — 2)ue(t) + (¢ — 3)u3(t) Ss) = F(t) = ur(t) + ua(t) — Fa (t) — ua(t) 2. Encontre a transformada de Laplace da fungao dada. 3. Suponha que F'(s) = £{f(t)} existe para s > a> 0. (a) (a) Mostre que, se c 6 uma constante positiva, entao _ J, t<2 f(t) ~~ 2 Loos (t-2)?, t>2 L{f(t)} =-F (). s>ca © © F(s) = 2e-s/s” 4. Use o exercicio anterior para encontrar a transformada (b) de Laplace inversa da funcao dada. 2s+1 = 0, t<1 (a) MS) = Tapas 8 fe) {ores t21 fOH= 56 2 cost e2e745 F(s) = e—8(s? + 2)/s° b) F(s) = —— foH%)= sel 22 (t/2) 0, t<7 ills ot f= \t-7, w<t<2r 0, t > 27 Transformada de Laplace: eT ~~ e278 “(s) = —— — — —(] TS Resolugaéo de um PVI 9) = 2 a rms) Funcao degrau 3. Encontre a transformada de Laplace da funcao dada. f(t) = 1, O<t<l ~ . 10, t>1. Secao 6.2 pag 174 ’ 1. Use a transformada de Laplace para resolver o prob- F(s) = (1—e7°)/s lema de valor inicial. _ Secao 6.4 pag 182 "—y' — 6y =0;y(0) = 1,y/(0) = —-1 (a) y | v y + y(0) V(0) 1. Encontre a solucao do problema de valor inicial dado. y = —(e3t + de-2") 5 ”" _ . _— / —1- (b) y” —2y' + 2y = 0;y(0) = 0,y"(0) =1 (a) y” +y = f(t); y(O) =9, y/(0) = 1; y = e'sent _ 1, 0<t<7/2 (c) y — dy!" + 6y” — dy! + y = 0; y(0) = 0,y/(0) = I= 99 r/2<t<o 1,y"(0) =0,y'"(0) =1 , 7 y = te’ — tel + 243! y =1-—cost+sint — u,/9(t)(1 — sint) (d) mit = 0;y(0) = 1,y'(0) = 0,y"(0) = (b) ro) 4y = sent — Ugn(t)sen(t — 2m); y(0) = 0, —2,y""(0) =0 y (0) = 0. y = cos(v ‘t) y= i [1 — uaz(t)| (2sent — sen 2t) 3 (c) y+ 38y! + 2y = ua(t); y(0) = 0, y/(0) = 1. (d) y" +y = d(t — 2m )cost; y(0) = 0, y"(0) = 1 y =e t_¢ 2t + uo(t) [5 —« (t 2) 4 4, 2(t—2)] , R ' “ “ : . Resolva o sistema (d) y"” +y = usn(t); y(0) = 1, y/(0) = 0. y = cost + a 1 — cos(t — 37)) Qy” + y! + 2y = O(t _ 5), y(0) = 0, y’(0) = 0. ” ! _— 47 _ . _ (e) wry + 4! t — Unja(t)(t — 7/2); y(0) = 0, Suponha que desejamos colocar o sistema em re- y =v. ouso apos exatamente um ciclo, isto €, quando a re- ‘(0) =0 p po iclo, isto é, quand y = h(t) — upso(t)h(t — 7/2), h(t) = ge (-4 + 5t + sposta volta, pela primeira vez, 4 posicgao de equilibrio te~*/* cost — 3e~*/* sent) movendo-se no sentido positivo. f) y” dy = _ . _ ! _ (yh + in oy ul) 4 ° 4 ”) ‘ ° (a) Determine o impulso kd(t — tg) que deve ser apli- y= T — 7 COS\ 4U— £47) ) — U3 — >cos| Zt — oT yee C0 ys cado ao sistema para se alcancar esse objetivo. 2. Encontre uma expressaéo envolvendo u,(t) para um Note que k 6 0 tamanho do impulso e to € 0 in- funcgao f cujo grafico é uma rampa crescente de zero stante de sua aplicagao. em t = to até o valor h em t = to + k seguida de uma (b) Resolva o problema de valor inicial resultante e rampa decrescente que chega a zero em t = to + 2k. faca o grafico de sua solucao para confirmar que 3. Um determinado sistema massa-mola satisfaz o prob- se comporta da maneira especificada. lema de valor inicial 3. Considere o problema de valor inicial 1 ul + jul + u = kg(t),u(0) = 0,u'(0) = 0, y! +7 ty =4(t-1), y(0) =0,y'(0) =0 onde g(t) = ug/2(t) — us/2(t) e k > 0 6 um parametro. onde y é 0 coeficiente de amortecimento. (a) Esboce o grafico de g(t). (a) Seja y = 1/2. Encontre a solugao do problema (b) Resolva o problema de valor inicial. de valor inicial e desenhe seu grafico. (c) Suponha que k = 2. Encontre o instante 7 apds (b) Encontre o instante t1, no qual a solugao atinge o qual |u(t)| < 0,1 para todo t > 7 seu valor maximo. Encontre, também, esse valor , maximo y; da solugao . c) Considere y = 1/4 e repita os itens (a) e (b). Y Aula 21 . . woe a“ (d) Determine como ft, e y; variam quando y diminui. Quais sao os valores de t; e y; quando 7 = 0 Transformada de Laplace: Fungaéo impulso - Delta de Dirac 4. O problema trata o efeito de uma sequéncia de im- pulsos aplicados em um oscilador nao amortecido. Suponha Secao 6.5 pag 185 20 . . y +y => 6(t—kr) y(0) =0 y'(0) =0. 1. Encontre a solucao do problema de valor inicial dado. hel (a) y+ 2y! + 2y = d(t — m); y(0) = 1, y(0) =0 (a) Tente prever a natureza da solucdo sem resolver (b) y” +4y = d(t— 7) —d(t— 27); y(0) = 0, y’(0) = 0 o problema. c) y” + 3y’ + 2y = d(t — 5) + uio(t); y(0) = 0 b) Teste sua previséo encontrando a solucao e de- y y y > Y , p ¢ y'(0) = 1/2 senhando seu grafico. Fim 3° lista 4