Exercícios - Ajuste de Curvas - Algoritmos Numéricos 2023 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO – DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA DISCIPLINA ALGORITMOS NUMÉRICOS I - SEMESTRE 2023/2 Professor: Saulo Bortolon Turmas: INF09269 - Algoritmos Numéricos I - Turma: 06.1 INF09270 - Algoritmos Numéricos I - Turma: 02 1) AJUSTE DE CURVAS Os dados abaixo são amostras de diferentes “conjuntos de dados” (dataset) que podem ser obtidos da Internet e sobre os quais se podem aplicar alguns dos conceitos aprendidos em sala de aula. 1.1) Percentual de Gordura e Circunferências Corporais Os dados do arquivo .csv no apêndice 1 apresentam o percentual de Gordura Corporal de 252 Homens, com os correspondentes dados de idade, peso, altura e dez medidas de circunferência corporal. Estes dados foram fornecidos por Roger Johnson, Departamento de Matemática/Computação Carleton College (disponíveis em http://www.statistics4u.com/fundstat_eng/data_bodyfat.html). Os valores da tabela disponível no drive já estão convertidos (peso em kg, e comprimento em centímetros). (endereço do arquivo: https://drive.google.com/file/d/1KTmnZ3AnTH3xElIbdyYt-o-bMENC- 6Iv/view?usp=sharing ) Pede-se: a) tome aleatoriamente parte dos dados (“aprendizado”) e produza uma função que aproxime o percentual de gordura como uma função da idade, peso, altura e das 10 medidas de circunferência corporal; b) teste a parte restante dos dados (“teste”) e verifique a qualidade da aproximação realizada pela função gerada em “a”; c) repita a-b procedimento para diferentes funções, incluindo no mínimo: ◦ linear: f(x) = a0 + a1.x1 + a2.x2+...+a13.x13 ◦ quadrática: f(x) = a0 + a1.x1 + a2.x2+...+a13.x13 + b1.x1 2 + b2.x2 2+...+b13.x13 2 ◦ RBF (função de base radial): f(x) = a0 + onde: φ(r) = [ 1+(r)/c} 2], -1/2 (RBF multiquádrica) ou  φ(r) = exp(-(r)/c} 2), (RBF gaussiana) d) analise os resultados e determine qual a função que apresentou o melhor resultado. ∑ ( ai . φ (||x-xi||) ) i є aprendizado 2) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS As equações competitivas Lotka-Volterra são um modelo simples da dinâmica populacional de espécies que competem por algum recurso comum. Elas podem ser ainda generalizadas para a equação Lotka-Volterra generalizada, a fim de incluir interações tróficas. Dadas duas populações, x1 e x2, com dinâmicas logísticas, a formulação Lotka-Volterra adiciona um termo adicional para considerar as interações entre as espécies. Portanto, as equações competitivas Lotka-Volterra são as seguintes: Onde: - dx1/dt e dx2/dt são as taxas de variação no tempo das populações de x1 e x2, respectivamente. - r1 e r2 são as taxas intrínsecas de crescimento das populações x1 e x2. - K1 e K2 são as capacidades de suporte do ambiente para as populações x1 e x2, respectivamente. - α12 e α21 são coeficientes que representam a intensidade das interações competitivas entre as duas espécies. Um modelo mais simples (sem considerar limintes de suporte do ambiente) foi estudado em sala de aula. Essas equações descrevem como as populações de duas espécies interagem e competem por recursos limitados em um ambiente, levando em consideração as taxas de crescimento intrínsecas, as capacidades de suporte e os efeitos competitivos mútuos. De fato, este modelo pode ser estendido para um conjunto de N espécies. Neste caso: Se a capacidade de suporte do ambiente for retirada do modelo, então: Geralmente, assume-se que as interações entre as espécies são competitivas ( α12 >= 0). Pede-se para simular o comportamento de um ambiente com 4 espécies em que: Comece a simulação dos seguintes “pontos” (populações iniciais) e veja o que acontece em cada um deles: Utilize os métodos de RK-4 clássico e de RK-adaptativo. Lembre-se de que quando uma população se torna negativa, a simulação deve ser interrompida. Procure testar outros pontos iniciais, também. Procure encontrar algum ponto em que uma das populações fique extinta (vá para zero) enquanto as outras entram em equilíbrio. Algumas dicas: • se você começar com uma população xi = 1 e as outras em zero, as populações não se alterarão (solução de equilíbrio) • é possível encontrar soluções de equilíbrio em que apenas duas espécies estão presentes (1- 3, 2-3 e 3-4), mas não se consegue isso com outras combinações de duas populações (1-2, 1- 4 ou 2-4) • existe uma solução de equilíbrio em que a espécie 3 é extinta mas as outras não • obviamente, se todas forem extintas também se tem equilíbrio: o equilíbrio da morte... Este caso é estudado com cuidado em VANO, J. A. et al. Chaos in low-dimensional Lotka–Volterra models of competition. Nonlinearity, v. 19, n. 10, p. 2391, 2006. (disponível em https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0951-7715/19/10/006/pdf) 3) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Considere o seguinte problema de equações diferenciais parciais> com as seguintes condições de contorno: Pede-se: • construa um sistema de equações lineares que determine os valores de ϕ (x,y) empregando Δx = Δy = 0.05 para gerar uma grade de 21 por 21 pontos (x,y) empregando o método das diferenças finitas • plote o gráfico de ϕ (x,y) • compare as soluções obtidas com a solução analítica (determine o menor e o maior erro nos pontos discretizados): • repita os 3 passos acima, mas agora empregando Δx = Δy = 0.025 • compare os dois resultados