Trabalho Computacional 2022 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO – CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA – DISCIPLINA ALGORITMOS NUMÉRICOS I PROF. SAULO BORTOLON – SEMESTRE 2022/1 TURMAS: INF01995 – 01B e 02L ; INF09269 - 06.1 ; INF09270 - 03 TRABALHO COMPUTACIONAL Instruções • resolva os problemas propostos nesta prova utilizando qualquer uma das seguintes ferramentas computacionais ▪ linguagem C++, especificamente a biblioteca Eigen, cuja referência básica você encontra em ◦ https://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TutorialMatrixClass.html ▪ ou linguagem python (numpy / scipy) , para a qual você pode encontrar boas referências nos seguintes livros / notebooks: ◦ LINGE, Svein; LANGTANGEN, Hans Petter. Programming for Computations- Python: A Gentle Introduction to Numerical Simulations with Python 3.6. Springer Nature, 2020. • livro, código e notebook disponíveis em http://hplgit.github.io/prog4comp/ ◦ KONG, Qingkai; SIAUW, Timmy; BAYEN, Alexandre. Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists. Academic Press, 2020.. • livro disponível em https://bit.ly/3PRyz9v • código e notebook disponíveis em https://pythonnumericalmethods.berkeley.edu/notebooks/Index.html ▪ ou linguagem Matlab / Octave ◦ LINGE, Svein; LANGTANGEN, Hans Petter. Programming for Computations-A Gentle Introduction to Numerical Simulations with MATLAB/Octave. 2016. • livro e código disponível em http://hplgit.github.io/prog4comp/ ▪ ou Planilhas LibreOffice Calc • uma vez obtidas as respostas, apresente as respostas enviando OS DOIS ARQUIVOS ABAIXO: • um arquivo PDF com as respostas • um arquivo .ZIP com os códigos-fonte / planilhas utilizados para saulo.bortolon@ufes.br, com cópia para bortolon@inf.ufes.br ◦ lembre-se de identificar nominalmente a si e aos eventuais membros do grupo TANTO NO EMAIL QUANTO NO ARQUIVO PDF. Importante: • 1 – continuaremos a resolver juntos estes problemas também durante as próximas aulas; • 2 – os problemas podem ser resolvidos por grupos de até 3 alunos. • DATA DE ENTREGA: 20/08/2022 (SÁBADO) até 24:00h 1) Laje retangular 2x1, simplesmente apoiada nos quatro lados Considere uma laje retangular, de pequena espessura, homogênea, com dimensões a 13 x 9 (adimensional), com seus quatro lados simplesmente apoiados sobre apoios lineares, na qual será aplicada um carga homogênea e vertical P. Considere que esta placa tem uma rigidez flexural igual a 1 (para facilitar nossos cálculos). Conforme vimos em sala de aula, D = Eh3 / (12(1-v2)), onde E é o módulo de Young1 e v é o Coeficiente de Poisson2 Sendo assim, uma matriz de 96 pontos interiores pode ser definida, com distâncias iguais a “1” entre cada um dos pontos: 1 O Módulo de Young é uma propriedade mecânica que mede a rigidez de um material sólido. Define a relação entre tensão (força por unidade de área) e deformação (deformação proporcional) em um material no regime de elasticidade linear de uma deformação uniaxial. 2 O coeficiente de Poisson, ν, mede a deformação transversal (ortogonal em relação à direção longitudinal de aplicação da carga) de um material homogêneo e isotrópico. Adicionalmente, considere que os pontos nas bordas (que terão deslocamento vertical igual a zero, já que estão “”simplesmente apoiados”) também podem receber identificação. Estes pontos deverão obedecer à seguinte equação diferencial de Lagrange que determina a relação entre os deslocamentos verticais w(x,y) com a carga vertical P(x,y) e a rigidez da placa (supondo que os deslocamentos serão suficientemente pequenos): Esta equação diferencial, devidamente discretizada (considerando os espaços entre os pontos iguais a h, tanto na direção vertical quanto na horizontal, isto é: h = k) gera o seguinte stencil de diferenças finitas que chamaremos de “básico”, ou “geral”: Como são necessários dois pontos acima, abaixo, à direita e à esquerda de cada ponto interior, cabe ainda representar pontos nas próprias bordas e, também, pontos “imaginários” externos à laje, junto e ao longo de cada borda: Assim, teríamos mais 44 pontos nas bordas da placa (N, S, W, E), e mais 40 pontos imaginários à esquerda dos pontos W, acima dos pontos N, abaixo dos pontos S e à direita dos pontos E. Nas bordas da placa, a derivada direcional (derivada parcial) de segunda ordem é nula. Isso ocorre porque um apoio “simples” não consegue transferir “momento” de torção na direção que lhe é perpendicular. Assim, naquele ponto (da borda) não ocorre deslocamento vertical e não ocorre curvatura da placa, mas a placa se “inclina”. Há, portanto, uma derivada primeira diferente de zero. Se este “movimento” se continua para os pontos imaginários exteriores à borda, então seria como se o deslocamento nos pontos “WW1” e “NN1” fosse igual em módulo, mas sinal contrário ao deslocamento no ponto “1”. Aplicando o “stencil geral” ao ponto “central” de número 27, tem-se o seguinte stencil: que leva à seguinte equação linear: + w3 + 2 w14 - 8 w15 + 2w16 + w25 - 8 w26 + 20 w27 - 8 w28 + +2 w38 - 8 w39 + 2 w40 + w37 = P27 …. ou, em uma única linha: + w3 + 2 w14 - 8 w15 + 2w16 + w25 - 8 w26 + 20 w27 - 8 w28 + 2 w38 - 8 w39 + 2 w40 + w37 = P27 3 14 15 16 29 25 26 27 28 38 39 40 51 w3 2w14 -8w15 2w16 w29 w25 -8w26 20 w27 -8w28 2w38 -8w39 2w40 w51 Por outro lado, vários “stencil” são alterados já que os deslocamentos dos pontos “imaginários” são iguais aos dos pontos interiores da placa (próximos à borda) mas com sinal contrário, enquanto os pontos na borda, propriamente dita, têm deslocamento nulo. Por exemplo, o ponto 13 tem os vizinhos e o respectivo stencil apontados na figura abaixo: O que gera a seguinte equação linear: (20-1) w13 – 8 w1 + 2 w2 -8 w14 + w15 + 2 w26 - 8 w25 + w37= P13 ou, rearranjando: – 8 w1 + 2 w2 + 19 w13 -8 w14 + w15 - 8 w25 + 2 w26 + w37= P13 Em outro exemplo, os vizinhos e o stencil do ponto 1 são apontados nas figura abaixo: …. que se traduz na seguinte equação linear: (20-2) w1 – 8 w2 + w3 -8 w13 + 2 w14 + w25 = P1 Sendo assim, serão geradas 96 equações lineares com 96 incógnitas. Este sistema de equações lineares, uma vez resolvido, apresenta os deslocamentos dos pontos “internos” de forma “adimensional”. Se necessário, os pontos “nas bordas” podem ser acrescentados, explicitamente. Com isso, o sistema de equações lineares aumentaria de tamanho. Nos pontos próximos à borda da placa, contudo é necessário verificar quais os pesos que o stencil irá gerar, considerando que pontos sobre a borda não têm deslocamento vertical e que os pontos “imaginários” têm deslocamento “negativo”. A figura a seguir ressalta os pontos “especiais”. O livro “SZILARD, Rudolph. Theories and applications of plate analysis: classical, numerical and engineering methods. Appl. Mech. Rev., v. 57, n. 6, p. B32-B33, 2004. apresenta em seu capítulo sobre o método das Diferenças Finitas outros stencil de alta precisão. Tal livro está sendo empregado nos estudos feitos na sala de aula (com o capítulo citado já tendo sido compartilhado com os alunos). Os (grupos de) alunos que quiserem empregar os stencil de alta precisão apontado por este livro podem fazê-lo. Contudo, não é obrigatório no trabalho (considerem como “ponto extra”). Por outro lado, é obrigatório resolver um outro “problema”: • Laje retangular 2x1, “engastada” nos quatro lados A segunda parte do trabalho repete a mesma laje (mesmas dimensões relativas), mas com os 4 lados engastados. Os (grupos de) alunos devem elaborar sozinhos os stencil para os pontos especiais. Cada um dos problemas tem peso 0,5 dentro da nota do trabalho computacional.