Distribuição-de-Probabilidade-Discreta-Binomial-Poisson-Bioestatistica

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA BINOMIAL POISSON BIOESTATAULA 620252 Probabilidade de 2 acontecimentos independentes a e b será o produto das probabilidades de ocorrência de a e b ou seja P ab Pa Pb Dois ou mais eventos são ditos independentes se a ocorrência de um deles não afeta a ocorrência dos outros Probabilidade de dois eventos independentes EXEMPLOS Ex uma população de animais fêmeas e machos em proporções de p 04 e q 06 respectivamente foram tomadas amostras ao acaso de 2 indivíduos da população A probabilidade do 1º ser fêmea é p 04 e a probabilidade do 2º ser fêmea é também p Então pp p2 016 A probabilidade da amostra de 2 indivíduos serem machos é qq q2 036 Desde que a probabilidade de 2 eventos independentes ocorreram juntos é o produto das probabilidades de 2 eventos separados a probabilidade de ter 2 fêmeas em uma amostra de 2 indivíduos é p p p2 016 e dois machos é q q q2 036 Qual a probabilidade em uma amostra de 2 indivíduos de se ter um macho e uma fêmea pq ou qp A probabilidade de 2 eventos independentes é o somatório da probabilidade de cada evento Assim a probabilidade de 1 fêmea e 1 macho na amostra é pq qp 2 pq 2 04 06 048 Deste modo notamos que 016 036 048 100 Probabilidade de se ter 3 machos qqq3 063 0216 Amostra com n 3 Probabilidade de se ter 3 fêmeas ppp3 043 0064 Probabilidade de se ter 2 fêmeas e 1 macho ppq pqp qpp 3p2q 304206 0288 Probabilidade de 1 fêmea e 2 machos pqq qpq qqp pq2 pq2 pq2 3pq2 304062 0432 Amostra com n 4 Probabilidade de 4 fêmeas p4 044 00256 3 fêmeas e 1 macho 4 p3q 404306 01536 2 fêmeas e 2 machos 6p2q2 6042062 03456 4 machos q4 01296 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARA VARIÁVEIS DISCRETAS DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Uma VA X de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso S e 0 se ocorrer fracasso F com probabilidade de sucesso p isto é X 1 se ocorrer sucesso 0 se ocorrer fracasso O que é uma distribuição de probabilidades Tratase de uma tabela ou uma função matemática ou mesmo um gráfico que descreve quais as probabilidades que os valores de uma variável aleatória pode assumir Também é chamada simplesmente de função de probabilidade Existe alguma condição que deve ser satisfeita Sim Suponha uma variável aleatória discreta X que pode assumir os valores x1 x2 x3 x4 x5 xn Para que tenhamos realmente uma distribuição de probabilidades devemos ter 1 1 0 i i i p e x p Exemplo 1 O número de automóveis de luxo vendidos em uma loja ao longo de um dia mostrou ser uma variável aleatória com a seguinte distribuição X 0 1 2 3 4 PX 01 004 035 025 035 Quando em um determinado experimento aleatório a variável aleatória só pode assumir dois resultados diferentes Estes resultados são geralmente definidos como fracasso e sucesso e seus valores na distribuição são respectivamente 1 e 0 P X1 p PX0 1 p X 0 1 PX 1 p p Exemplo 1 Um produto é testado pelo controle de qualidade de uma fábrica Há 83 do produto passar no teste sucesso Descreva a tabela desta distribuição de Bernoulli X 0 1 PX 017 083 A distribuição de Bernoulli DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS BINOMIAL E POISSON A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Por que binomial Porque assim como na distribuição de Bernoulli neste tipo de distribuição Em cada ensaio tentativa prova só há dois resultados possíveis Qual a diferença para a distribuição de Bernoulli A diferença agora é que não teremos um ensaio único mas sim uma sequência de ensaios idênticos e independentes O que a Variável X descreve neste caso Ela descreve o número de sucessos obtidos x ao longo de todos os ensaios Parâmetros de uma distribuição binomial São valores definidores de uma distribuição binomial São dois n número total de ensaios p probabilidade de sucesso em cada ensaio Exemplo 1 Suponha que casal deseja ter 5 filhos e que cada nascimento a probabilidade de nascer menina é 30 Considere X quantidade de meninas Quais os parâmetros desta distribuição binomial n 5 p 03 Exemplo 2 Uma moeda honesta é lançada 10 vezes Considere X o número de caras observadas Quais os parâmetros n 10 p 05 Exemplo 3 A probabilidade de em uma fábrica ser produzida uma peça com defeito é 2 Em um grupo de 15 peças considere a quantidade de peças sem defeitos Quais os parâmetros n 15 p 098 Como calcular a probabilidade de um determinado valor da variável aleatória em uma distribuição binomial x pxqn x n x X P Onde x é o número de sucessos n é o número total de tentativas p é a probabilidade de sucesso q é 1 p isto é a probabilidade de fracasso x n x n Cn x x n Cálculo da probabilidade O termo com n e x entre parêntesis nada mais é que a combinação de n elementos tomados x a x Exemplo 1 Voltando ao casal qual seria a probabilidade de nascer 3 meninas Note que n 5 x 3 p 03 e q 07 INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas genericamente por resposta do tipo sucessofracasso Associaremos p a probabilidade de sucesso ao evento que nos interessa e 1 p será a probabilidade de fracasso Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma variável com distribuição Binomial A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade de eventos que podem ocorrer em duas classes O problema central está em determinar a probabilidade de x sucessos em n tentativas sendo x 0123n A variável aleatória x é uma contagem do número de sucessos em n tentativas A expansão binomial produz a frequência esperada das classes da distribuição binomial A proporção p e q são valores paramétricos também e estritamente seria distinguido da proporção da amostra Associa números a resultados de experimentos Assumem valores inteiros 0123 Função de probabilidade soma 1 Variável Aleatória Discreta DISTIBUIÇÃO BINOMIAL Parâmetros da distribuição n e p A distribuição binomial assume 4 suposições 1 Há um número fixo de n ensaios idênticos 2 Cada um resulta em um de dois resultados mutuamente exclusivos sucesso ou fracasso 3 Os resultados dos n ensaios são independentes 4 A probabilidade de sucesso p é constante para cada um dos ensaios DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Distribuição de probabilidades de variáveis discretas Probabilidade de dois eventos mutuamente exclusivos Ocorre quando são realizados experimentos independentes com amostras de tamanho constantes n A probabilidade esperada é dada pelo desenvolvimento do binômio p qn Px Cxn px qnx onde Cxn n x nx n número de itens que compõem os ensaios independentes x número de sucessos variando de 1 até n p probabilidade de ocorrência do evento principal q probabilidade de ocorrência do evento complementar n pqn 1 p q 2 p2 2pq q2 3 p3 3p2q 3pq2 q3 4 p4 4p3q 6p2q2 4pq3 q4 5 p5 5p4q 10p3q2 10p2q3 5pq4 q5 6 p6 6p5q 15p4q2 20p3q3 15p2q4 6pq5 q6 Expansão Binomial pqn TRIÂNGULO DE PASCAL COEFICIENTE BINOMIAL TABLE 242 Binomial Coefficient nCx n X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sum of coefficients 1 1 1 2 2¹ 2 1 2 1 4 2² 3 1 3 3 1 8 2³ 4 1 4 6 4 1 16 2⁴ 5 1 5 10 10 5 1 32 2⁵ 6 1 6 15 20 15 6 1 64 2⁶ 7 1 7 21 35 35 21 7 1 128 2⁷ 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 256 2⁸ 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 512 2⁹ 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1024 2¹⁰ µ e σ são usados porquê são parâmetros de uma distribuição de frequência esperada não estimativa de amostras Média μ np Desvio padrão σ Variância σ2 npq EXEMPLO Considere uma loja de roupas que receba 3 clientes p o cliente faz compra 030 1p o cliente não faz compra 070 X número de clientes que compram Total100 X Px 0 0343 1 0441 2 0189 3 0027 Cálculo da Probabilidade Binomial Px com n 5 p05 q05 Cálculo da Probabilidade Binomial Px com n 5 p03 q07 Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é de 30 qual a probabilidade que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes Considere uma prova com 12 questões cada uma com 4 alternativas Suponha que o aluno escolha as respostas ao acaso Qual é a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões EXEMPLOS DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Distribuição de probabilidades Eventos caracterizados por variáveis discretas Ocorrência dos eventos é independente Número de ocorrências do evento principal é muito grande Aplicada para eventos raros p 0 e q 1 Número muito elevado de ocorrência A distribuição de Poisson é uma aproximação da distribuição binomial quando o número de provas n tende para o infinito e a probabilidade p do evento em uma prova tende para zero mantendose finito e não nulo o produto np média da distribuição Na distribuição de Poisson se n é um valor muito grande e p um valor muito pequeno temos o que se chama acontecimento raro Como exemplo de acontecimento raro podemos citar a ocorrência de gêmeos fenômenos meteorológicos de rara apresentação número diário de desastres de automóvel numa cidade número de objetos defeituosos que aparecem num processo de fabricação número de sementes de ervas daninhas no meio das sementes de uma planta etc Na prática dizse que um acontecimento é raro quando n 50 e p 01 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON n 1 2 np npq q 2 2 1000 1 0 0 999 001 0 q nq npq q n p n p q p n Testes em conformidade com a série Poisson são usados como teste para distribuição de casualidade porém deve ser lembrado que a série Poisson é somente um caso especial da binominal positiva onde p tende para 0 quando n se aproxima de infinito p e q tende para 1 quando 2 se aproxima de sendo Diferenças em relação à Distribuição Binomial A distribuição de Poisson difere da distribuição binomial nos seguintes aspectos fundamentais A distribuição binomial é caracterizada pela dimensão da amostra n e pela probabilidade de sucesso p enquanto que a distribuição de Poisson é caracterizada apenas pela média μ Numa distribuição binomial os valores que a variável aleatória X pode tomar são 0 1 n enquanto que na distribuição de Poisson a variável X toma os valores 0 1 sem limite superior 1 Sua média deve ser pequena em relação ao número máximo possível de eventos por unidade amostral 2 Uma ocorrência de um evento deve ser independente da ocorrência do anterior dentro da unidade amostral A distribuição Poisson tem importância em descrever binominalmente eventos distribuídos tendo baixa probabilidade Para ser distribuída na forma Poisson a variável deve ter duas propriedades A série Poisson está associada com eventos que ocorrem casualmente em um contínuo de tempo e espaço A distribuição Poisson pode ser considerada como um caso particular de distribuição binominal na qual a probabilidade de ocorrência de um acontecimento é muito pequena A distribuição de Poisson é também uma distribuição de frequência discreta do número de vezes que um evento raro ocorre Porém em contraste com a distribuição binominal o número de vezes que um evento não ocorre é infinitamente grande Média μ np Variância σ² μ np Desvio padrão σ np Os termos da distribuição Poisson são PX eμ μx x ou PX μx eμ x PX probabilidade de X ocorrências em uma unidade de espaço ou tempo e base neperiana μ numero médio de ocorrências em um intervalo X numero de sucessos desejado A Distribuição Poisson é uma distribuição de frequência discreta que é matematicamente muito simples porque depende somente de um parâmetro que é a média Os termos da distribuição Poisson são definidos como frequência relativa probabilidade Probabilidade de observar zero indivíduos em um quadrado eμ Probabilidade de observar 1 indivíduo em um quadrado eμ μ1 Probabilidade de observar 2 indivíduos em um quadrado eμ μ²2 Probabilidade de observar 3 indivíduo em um quadrado eμ μ³3 EXERCÍCIO Distribuição de Poisson Exemplo 1 Em Angola de cada 100 mil mulheres grávidas 1 500 morrem devido à gravidez OMS 09042005 Numa comunidade Angolana em que houver 300 mulheres em estado de gravidez ache a probabilidade de que morrerão a Nenhuma b 3 delas c 5 delas EXERCÍCIOS 1 A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de uma distribuição de Poisson com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada Suponha que o número de partículas alfa emitidas por minuto seja uma variável aleatória seguindo o modelo Poisson com parâmetro 5 isto é a taxa média de ocorrências é de 5 emissões a cada minuto Calcular a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto 2 Estimase que em todo o mundo os tubarões matem dez pessoas por ano Determine a probabilidade de que a três pessoas sejam mortas por tubarões este ano b no mínimo duas pessoas sejam mortas por tubarões este ano