Bioestatística-Amostragem-e-Determinação-do-Tamanho-da-Amostra

BIOESTAT AULA 5 20252 Prof Antonio Carlos Leal de Castro Determinação do Tamanho de uma Amostra Se uma população for muito grande requererá muito trabalho para estudála e geralmente os resultados serão sempre falhos Então recorre se a UMA AMOSTRA UMA AMOSTRA é uma redução representativa da População a dimensões menores porem sem perda da característica Introdução à Amostragem Amostra é um subconjunto retirado da população que se supõe ser representativo de todas as características da mesma sobre o qual será feito o estudo com o objetivo de serem tiradas conclusões válidas sobre a população Amostragem é o procedimento pelo qual um grupo de pessoas ou um subconjunto de uma população é escolhido com vista a obter informações relacionadas com um fenômeno e de tal forma que a população inteira que nos interessa esteja representada População e Amostra População e Amostra População Amostra UMA AMOSTRA é a redução de uma população a Dimensões menores porem sem perda de suas características Ao processo de definição da amostra chamase amostragem UMA AMOSTRA tem que ser Representativa conter em proporção tudo o que a população possui qualitativa e quantitativamente Imparcial todos os elementos da população tem igual oportunidade de fazer parte da amostra Uma amostra é dita representativa se as suas características se assemelham o mais próximo possível às da populaçãoalvo A amostra deve representar não só as variáveis em estudo mas também outros fatores susceptíveis de exercer alguma influência sobre as variáveis estudadas como a idade o sexo a escolaridade o rendimento etc Não há dúvida de que uma amostra não representa perfeitamente uma população Ou seja a utilização de uma amostra implica na aceitação de uma margem de erro que se denomina ERRO AMOSTRAL Erro Amostral é a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacional tais erros resultam de flutuações amostrais aleatórias Não podemos evitar a ocorrência do ERRO AMOSTRAL porém podemos limitar seu valor através da escolha de uma amostra de tamanho adequado Obviamente o ERRO AMOSTRAL e o TAMANHO DA AMOSTRA seguem sentidos contrários Quanto maior o tamanho da amostra menor o erro cometido e vice versa A determinação do tamanho de uma amostra é problema de grande importância porque Amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e de dinheiro Amostras excessivamente pequenas podem levar a resultados não confiáveis Cálculo do tamanho mínimo da amostra Considerações Tamanho da diferença considerada importante Quanto menor a diferença maior a amostra Quanto maior o número de elementos numa amostra menor os desvios dos parâmetros em relação ao valor esperado da população Quanto maior a homogeneidade da população menor a amostra a ser pesquisada Probabilidade de que a amostra identifique uma diferença real Tempo verbas e pessoal disponíveis dificuldade na obtenção dos dados e complexidade do experimento São vários os procedimentos para determinar o tamanho de uma amostra contudo deve terse em atenção a seguinte sequencia Analisar o questionário ou roteiro da entrevista e escolher uma variável que julgue mais importante para o estudo Se possível mais do que uma Verificar o nível de mensuração da variável nominal ordinal ou intervalar Considerar o tamanho da população infinita ou finita Procedimentos para determinar o tamanho da amostra DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL Onde n Número de indivíduos na amostra Zα2 Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado σ Desviopadrão populacional da variável estudada E Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA Identifica a diferença máxima entre a MÉDIA AMOSTRAL X e a verdadeira MÉDIA POPULACIONAL DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA ESTIMATIVA DA PROPORÇÃO POPULACIONAL Onde n Número de indivíduos na amostra Z α2 Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado p Proporção populacional de indivíduos que pertence a categoria que estamos interessados em estudar q Proporção populacional de indivíduos que NÃO pertence à categoria que estamos interessados em estudar q 1 p E Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA Identifica a diferença máxima entre a PROPORÇÃO AMOSTRAL e a verdadeira PROPORÇÃO POPULACIONAL p DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA POPULAÇÕES FINITAS Determinação do tamanho da amostra n com base na estimativa da média populacional Determinação do tamanho da amostra n com base na estimativa da proporção populacional DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA POPULAÇÕES FINITAS Cálculo do tamanho de uma amostra a partir de um erro máximo tolerável EXEMPLOS Exemplo cálculo do tamanho da amostra Tamanho da Amostra Observe que N 200 famílias E0 4 n 152 famílias 76 da população Observe que N 200000 famílias E0 4 n 623 famílias 03 da população Logo é errôneo pensar que o tamanho da amostra deve ser tomado como um percentual do tamanho da população para ser representativa N n Exercício tamanho da amostra Numa pesquisa para uma eleição presidencial qual deve ser o tamanho de uma amostra aleatória simples se se deseja garantir um erro amostral não superior a 2 n n0 1002² 100004 2500 eleitores Numa empresa com 1000 funcionários desejase estimar a percentagem dos favoráveis a certo treinamento Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória simples que garanta um erro amostral não superior a 5 N 1000 empregados E0 erro amostral tolerável 5 E0 005 n0 1005² 400 empregados n 1000x4001000400 286 empregados Amostragens Probabilísticas e NãoProbabilísticas A amostragem é probabilística quando cada elemento na população tem a mesma probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra É usada alguma forma de sorteio Permite generalizações para a totalidade da população O tipo de amostragem não probabilística pode prejudicar a possibilidade de generalizações validade externa de um estudo fazendo com que não seja representativo em relação à população Os seus resultados são válidos para aquele estudo determinado não permitindo generalizações para outras situações semelhantes Amostragem Probabilística e Não Probabilística Métodos Probabilísticos Aleatórios Todos os elementos da população tem uma probabilidade conhecida diferente de zero de pertencer à amostra Desta forma a amostragem probabilística implica um sorteio com regras bem determinadas Métodos Não Probabilísticos Não Aleatórios Quando não é possível designar uma probabilidade a cada elemento da população dizemos que a amostragem é não probabilística Amostragem probabilística Os métodos de amostragem probabilística servem para assegurar uma certa precisão na estimação dos parâmetros da população reduzindo o erro amostral O objetivo desta abordagem é obter a melhor representatividade possível Amostragem probabilística Teoricamente é identificada pela existência de uma probabilidade conhecida associada a cada elemento de participar da amostra Amostragem aleatória simples Amostragem sistemática Amostragem estratificada Amostragem por conglomerado A Amostragem aleatória simples é uma técnica segundo a qual cada um dos elementos sujeitos que compõe a população alvo tem igual probabilidade de ser escolhido para fazer parte de uma amostra É um procedimento que pode se tornar trabalhoso quando a população é muito grande É aplicado quando a população é considerada homogênea Para manter essa propriedade devese numerar todos os elementos da população e através de um sorteio ou do auxílio de uma tabela de números aleatórios obter os elementos que comporão a amostra desejada Amostragem Aleatória Simples ASS Todos os elementos da população tem mesma probabilidade de pertencer à amostra isto é 1N Equivalente a um sorteio é utilizada quando a população encontrase desordenada sendo que por essa técnica qualquer elemento tem a mesma chance de ser sorteado Quando a população é relativamente pequena até 30 por exemplo podese numerar os elementos e em seguida realizar o sorteio Amostragem Aleatória Simples ASS Tratandose de uma quantidade grande o processo de numeração tornase trabalhoso Para tanto utilizase a TABELA DE NÚMEROS ALEÁTORIOS TNA A leitura dessa tabela é feita após escolhido o ponto de início da esquerda para a direita e viceversa de cima para baixo e vice versa na diagonal etc A opção deve ser feita antes de iniciado o processo Amostragem Aleatória Simples ASS Lista com números aleatórios LNA Amostragem Aleatória Simples ASS Os números aleatórios podem ser selecionados de qualquer lugar da tabela o importante é selecionar e manter uma sequência lógica ex coluna de cima para baixo linha esquerda para a direita etc Existem várias tabelas de números aleatórios com sequência de três quatro ou cinco números Essas tabelas também podem ser obtidas em programas como Excel Apesar de se pretender representatividade quando recorremos a uma técnica de amostragem aleatória pode ocorrer que a amostra não seja representativa da população Por exemplo uma população formada por 50 de mulheres e 50 de homens a amostragem probabilística simples pode resultar numa amostra de 65 de mulheres e 35 de homens Nesse caso a amostra continua a ser aleatória mas não é representativa Amostragem Aleatória Simples ASS Exemplo Obter uma amostra representativa de 10 de uma população de 200 alunos de uma escola 1º Numerar os alunos de 1 a 200 2º Escrever os números de 1 a 200 em pedaços de papel e colocá los em uma urna 3º Retirar 20 pedaços de papel um a um da urna formando a amostra da população Nesta técnica de amostragem todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de serem selecionados 1N onde N é o número de elementos da população Amostragem Aleatória Simples ASS Como a amostragem aleatória é vital para a inferência estatística existem tabelas especialmente elaboradas chamadas Tabelas de Números Aleatórios construída de modo que os dez algarismos 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas Na tabela de números aleatórios os dez algarismos 012789 podem ser lidos isoladamente ou em grupos podem ser lidos em qualquer ordem como por colunas num sentido ou noutro por linhas diagonalmente etc e podem ser considerados aleatórios A opção de leitura porém deve ser feita antes de iniciado o processo TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 1 Amostragem Aleatória Simples A amostragem aleatória é vital para a inferência estatística existindo tabelas especialmente elaboradas chamadas Tabelas de Números Aleatórios construída de modo que os dez algarismos 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas Na tabela de números aleatórios os dez algarismos 012789 podem ser lidos isoladamente ou em grupos podem ser lidos em qualquer ordem como por colunas num sentido ou noutro por linhas diagonalmente etc e podem ser considerados aleatórios A opção de leitura porém deve ser feita antes de iniciado o processo OUTRO TIPO DE TABELA ALEATÓRIA Exemplo Imagine que 500 clientes estão cadastrados em sua empresa e você precisa obter uma amostra aleatória de 2 dos cadastros Como você usaria a tabela de números aleatórios para extrair essa amostra Depois de numerar os cadastros podemos escolher por exemplo percorrer a última coluna da tabela de cima para baixo lendo os três primeiros algarismos de cada linha Os números obtidos dessa forma são 473 828 920 923 380 272 750 488 224 764 309 192 838 466 652 344 913 412 Desprezando os números que são maiores do que 500 e eventuais repetições devemos tomar para a amostra os cadastros de números 473 380 272 488 224 309 192 466 344 412 EXEMPLO DE UMA TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS retirada de STEVENSON William J Estatística aplicada à administração São Paulo Harbra 1981 3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730 0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280 6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9202 0772 2160 8236 0812 4195 5589 0830 8261 9232 5692 9870 3583 8997 1533 6566 8830 7271 3809 2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729 1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501 7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882 8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244 5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642 0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092 0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921 2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 8383 7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664 5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525 6905 7127 5933 1137 7583 6450 5658 7678 3444 8387 5323 3753 1859 6043 0294 5110 6340 9137 4094 1957 0163 9717 4118 4276 9465 8820 4127 4951 3781 5101 1815 7068 6379 7252 1086 8919 9047 0199 5068 7447 1664 9278 1708 3625 2864 7274 9512 0074 6677 8676 0222 3335 1976 1645 9192 4011 0255 5458 6942 8043 6201 1587 0972 0554 1690 6333 1931 9433 2661 8690 2313 6999 8231 5627 1815 7171 8036 1832 2031 6298 6073 3995 9677 7765 3194 3222 4191 2734 4469 8617 2402 6250 9362 7373 4757 1716 1942 0417 5921 5295 7385 5474 2123 7035 9983 5192 1840 6176 5177 1191 2106 3351 5057 0967 4538 1246 3374 7315 3365 7203 1231 0546 6612 1038 1425 2709 5775 7517 8974 3961 2183 5295 3096 8536 9442 5500 2276 6307 2346 1285 7000 5306 0414 3383 3251 8902 8843 2112 8567 8131 8116 5270 5994 4675 1435 2192 0874 2897 0262 5092 5541 4014 3543 6130 4247 4859 2660 7852 9096 0578 0097 3521 8772 6612 0721 3899 2999 1263 7017 8057 5573 9396 3464 1706 9204 3389 5678 2589 0288 7478 7569 7551 3380 2152 5411 2647 7242 2800 3339 2854 9691 9562 3252 9848 6030 8472 2266 5505 8474 3167 8552 5409 1556 4247 4652 2953 6381 2086 5457 7703 2758 2963 8167 6712 9820 Amostragem Sistemática Tal como a técnica de amostragem aleatória simples só se pode utilizar quando existe uma lista ordenada de elementos da população seja por ordem alfabética seja em arquivo processo clinico ou numa lista telefónica Esta técnica consiste em retirar K elementos dessa lista sendo o primeiro elemento da amostra retirado ao acaso O que a faz diferir da técnica anterior é o tamanho do intervalo que aqui corresponde à razão entre o tamanho da população e da amostra Amostragem Sistemática É aplicada em populações finitas os elementos são escolhidos por um sistema utilizando a sua ordenação natural listagens registos alunos etc Definese a quantidade k que é a sigla que representa o intervalo de amostragem kNn a seguir deve ser sorteado o início do sistema a partir do qual serão definidos os elementos amostrais para cada k 𝐾 𝑁 𝑛 Amostragem Sistemática Uma amostra sistemática de tamanho n é constituída dos elementos de ordem K K r K 2r onde K é um inteiro escolhido aleatoriamente entre 1 e n r é o inteiro mais próximo da fração Nn Já que esta técnica de amostragem em populações que possuem os elementos ordenados em que não há a necessidade de construir um sistema de referência a seleção dos elementos que comporão a amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador Amostragem Sistemática Novamente é feito o sorteio sendo que nessa amostragem os elementos da população já se encontram ordenados e nesses casos não é necessário se construir um sistema de referência TNA Determinase a cota amostral pela fórmula k Nn Escolhese aleatoriamente um elemento no intervalo este será o primeiro elemento da amostra O segundo elemento será o primeiro mais k e assim sucessivamente Amostragem Sistemática Exemplos de populações ordenadas fichas individuais de empregados alfabética casas de uma rua número notas fiscais data etc Ex Suponhamos que uma empresa tenha 720 colaboradores em determinado setor dentre os quais desejase uma amostra formada por 30 destes empregados Amostragem Sistemática 1 Determinar o intervalo de amostragem 2 Escolhemos por sorteio um número de 01 a 24 inclusive Este número indicará o primeiro elemento da amostra Se o primeiro número sorteado for o 5 escolhemos os demais colaboradores relacionado com o primeiro elemento da amostra Os demais elementos serão escolhidos periodicamente em intervalos de 24 em 24 Procedimentos Amostragem Sistemática A amostragem estratificada utilizase quando a população possui características que permitem a criação de subconjuntos já que nestes casos as amostras extraídas por amostragem simples são menos representativa Com efeito a amostragem aleatória estratificada é mais uma variante da amostra aleatória simples uma vez que após divisão da população alvo em subgrupos homogêneos chamados estratos a seguir se tira de forma aleatória uma amostra de cada estrato Amostragem Aleatória Estratificada O mais comum é utilizarse a amostragem estratificada proporcional que consiste em selecionar os elementos da amostra entre os vários estratos em número proporcional ao tamanho de cada um dos estratos Como a população se divide em subconjuntos convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais divisões para que os elementos da amostra representem o número de elementos desses subconjuntos Amostragem Aleatória Estratificada Amostragem Estratificada Dividese a população em subgrupos estratos de itens similares procedendose à amostragem em cada estrato proporcional ao tamanho do estrato Como os subgrupos são relativamente homogêneos a variabilidade é menor necessitando de um tamanho menor de amostra Exemplo estratos por idade renda Exemplo camada faixa intervalos Razões para Estratificar uma Amostragem Estimativas da média e intervalo de confiança pode ser requerido separadamente para cada subpopulação Problemas de amostragens podem diferir grandemente em diferentes áreas Animais podem ser mais fáceis ou mais difíceis de contar em alguns habitats do que em outros A estratificação pode resultar em um ganho na estimativa dos parâmetros da população inteira O intervalo de confiança pode ser apreciavelmente estreitado quando os estratos são bem escolhidos Exemplo Numa população de 200 estudantes há 120 rapazes e 80 moças Pretendese extrair uma amostra representativa de 10 dessa população Neste exemplo há uma característica que permite identificar 2 subconjuntos da característica Sexo Considerando essa divisão vamos considerar a população e extrair a amostra da população Amostragem Aleatória Estratificada Portanto a amostra deve conter 12 alunos do sexo masculino e 8 do sexo feminino totalizando 20 alunos que correspondem a 10 da população Para selecionar os elementos da população para formar a amostra podemos executar os seguintes passos 1º Numerar os estudantes de 1 a 200 sendo os alunos numerados de 1 a 120 e as alunas de 121 a 200 2º Escrever os números de 1 a 120 em pedaços de papel e colocá los em uma urna A 3º Escrever os números de 121 a 200 em pedaços de papel e colocálos em uma urna B 4º Retirar 12 pedaços de papel um a um da urna A e 8 da urna B formando a amostra da população Amostragem Aleatória Estratificada O próximo exemplo também representa populações com características heterogêneas cujas conclusões podem ficar comprometidas se estas não forem consideradas na composição da amostra Assim a população é subdividida em grupos homogêneos estratos e a amostra será sorteada intra grupos O tamanho de cada estrato será definido pela variância da característica a ser estudada ou seja proporcional ou através da definição de uma percentagem dos estratos ou seja não proporcional Amostragem Aleatória Estratificada Amostragens Não Probabilísticas É um procedimento de seleção segundo o qual cada elemento da população não tem a mesma probabilidade de ser escolhido para formar a amostra Este tipo de amostragem tem o risco de ser menos representativa que a probabilística no entanto é muitas vezes o único meio de construir amostras em certas disciplinas profissionais nomeadamente na área da saúde Este tipo de amostragem requer critérios de inclusão e exclusão rígidos para evitar o maior número possível de vezes Amostragens NãoProbabilísticas Exemplos por voluntários os elementos amostrais são voluntários para a pesquisa Bastante empregada em experimentos com medicamentos e técnicas médicas intencional o pesquisador escolhe os elementos amostrais Entrevistar os exsecretários de saúde para pesquisa de políticas de saúde por acesso mais fácil os elementos são escolhidos por estarem mais próximos ou em melhores condições de acesso Ex Aplicar questionário na população da zona rural mais próxima do centro Amostragens Não Probabilísticas As técnicas de amostragem não probabilísticas mais comuns são Amostragem Acidental ou de Conveniência por substituição da aleatória simples Amostragem por Cotas por substituição da amostragem estratificada ou por conglomerado Amostragem de Seleção Racional ou Tipicidade por substituição da estratificada Amostragem por Redes ou Bola de Neve por substituição da sistemática É formada por sujeitos facilmente acessíveis que estão presentes num determinado local e momento preciso Neste tipo de amostra tem a vantagem de ser simples de organizar e pouco onerosa todavia este tipo de amostra provoca enviesamentos pois nada indica que as primeiras 30 a 40 pessoas sejam representativas da populaçãoalvo São utilizadas em estudos que não têm como finalidade a generalização dos resultados Esse tipo de amostragem embora não aleatória é bastante utilizada na área da saúde geralmente são amostras obtidas em consultórios hospitais etc Amostragem Acidental ou de Conveniência Neste caso é importante o senso crítico do pesquisador para evitar vieses por exemplo não selecionar sempre pessoas de mesmo sexo de mesma faixa etária etc utilizando critérios específicos de inclusão exclusão Uma técnica possível de aproximar este tipo de amostragens o mais possível às probabilísticas é ir verificando à medida que os dados vão sendo colhidos se os seus subgrupos estão proporcionalmente à população alvo representados na amostra Amostragem Acidental ou de Conveniência Idêntica à amostragem aleatória estratificada já que é constituída por um número prédeterminado de pessoas em cada uma das várias categorias da população A amostragem por cotas difere da estratificada apenas pelo fato dos sujeitos não serem escolhidos aleatoriamente no interior de cada cota ou de cada grupo Amostragem por Cotas Tem por base o julgamento do investigador ou especialista para constituir uma amostra de sujeitos em função do seu carácter típico ou atípico cujos membros tenham boas perspectivas de fornecerem as informações necessárias ao estudo Por exemplo o estudo de casos extremos ou desviantes como uma patologia rara ou uma instituição Amostragem por Seleção Racional Julgamento ou por Tipicidade Consiste em escolher sujeitos que seriam difíceis de encontrar de outra forma Tomase por base redes sociais amizades e conhecimentos Por exemplo quando o investigador encontra sujeitos que satisfazem os critérios escolhidos pedelhes que indiquem outras pessoas de características similares Amostragem por Redes ou Bola de Neve Suficiência amostral Table 1A2 Data for Generating the SpeciesArea Curve of Figure 1A1 Each ecological sample is from a 20m2 area Sample Number 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cumulative Area Sampled m2 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Number of Species 3 4 5 3 4 4 4 3 5 4 Number of New Species 3 2 1 2 3 1 2 0 1 0 Cumulative Number of New Species 3 5 6 8 11 12 14 14 15 15 Table 1A3 Biomass Data for Generating the Performance Curve Plotted in Figure 1A2 Sample Number 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Biomass g 109 67 49 147 123 39 117 77 73 109 Cumulative Mean Biomass per sample g 109 88 75 93 99 89 93 91 89 91 Figure 1A1 A speciesarea curve for the data in Table 1A2 plotting cumulative number of species against area sampled If the cumulative number of species is plotted against the cumulative number of ecological samples indicated in parentheses this would be a speciessample curve Figure 1A2 A performance curve for the data in Table 1A2 plotting cumulative mean biomass against cumulative number of samples Curva sp esforço Curva de desempenho Um programa de televisão foi avaliado em uma pequena cidade do interior cuja população totaliza 5000 habitantes Qual seria o tamanho da amostra suficiente para um grau de confiança de 95 admitindose uma margem de erro de 2 pontos percentuais Uma vacina está sendo testada na população da área ItaquiBacanga que no último levantamento apresentou uma população de 220000 habitantes Admitindose que um valor considerado satisfatório seria a obtenção de um erro máximo tolerável de 3 Qual deverá ser o tamanho da amostra para um intervalo de confiança de 95 EXERCÍCIO Amostra sp sp novas ind 1 3 3 4 2 0 0 0 3 3 3 4 4 2 1 3 5 2 1 2 6 0 0 0 7 3 2 3 8 3 1 3 9 2 1 3 10 2 0 2 11 1 0 1 12 2 0 2 13 3 1 3 14 0 0 0 15 1 0 1 16 2 0 2 17 1 0 2 18 2 1 2 19 3 0 3 20 4 0 4 Amostra sp sp novas ind 1 3 3 4 2 0 0 0 3 3 3 4 4 2 1 3 5 2 1 2 6 0 0 0 7 3 2 3 8 3 1 3 9 2 1 3 10 2 0 2 11 1 0 1 12 2 0 2 13 3 1 3 14 0 0 0 15 1 0 1 16 2 0 2 17 1 0 2 18 2 1 2 19 3 0 3 20 4 0 4 EXERCÍCIO