Aula 10 Resposta de Circuitos de Primeira Ordem-2022 1

ELETRICIDADE APLICADA (CCCT0026) Aula 10 – Resposta de circuitos de primeira ordem Prof. Denisson Oliveira dq.oliveira@ufma.br Universidade Federal do Maranhão Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia Sumário • Introdução • Circuitos RC de primeira ordem • Circuitos RL de primeira ordem • Por que circuitos de primeira ordem? • Capacitores e indutores são elementos passivos armazenadores de energia. Ao utilizar LTK e LCK para analisar circuitos com capacitores e indutores, aparecem equações lineares de primeira ordem. • Existem duas formas de excitar circuitos de primeira ordem: • Considerando que as condições iniciais dos elementos são diferentes de zero, ou seja, que existe energia armazenada neles; • Utilizando fontes independentes para excitação. Introdução • Circuitos RC sem fonte são encontrados quando a fonte de excitação é desconectada do circuito. A partir desse instante, a energia armazenada no capacitor é entregue ao circuito. Circuitos RC sem fonte Circuitos RC sem fonte • Considere a tensão no capacitor igual a v(t). Assim, a tensão inicial e a energia armazenada são, respectivamente: v(0) = V0 e w0 = \frac{1}{2} CV0^2 • Aplicando LCK: i_C + i_R = 0 C \frac{dv}{dt} + \frac{v}{R} = 0 \frac{dv}{dt} + \frac{v}{RC} = 0 \frac{dv}{v} = -\frac{1}{RC} dt \ln v = -\frac{t}{RC} + \ln A \ln \frac{v}{A} = -\frac{t}{RC} \rightarrow v(t) = Ae^{-t/RC} \rightarrow v(t) = V0 e^{-t/RC} Circuitos RC sem fonte • Assim, a tensão no capacitor é dada por: v(t) = V0 e^{-t/RC} • A resposta do circuito RC é uma exponencial com decaimento a partir de uma tensão inicial V0. Como essa resposta é devida apenas às características físicas dos elementos e suas condições iniciais, ela é chamada de resposta natural do circuito. • A resposta natural do circuito depende de sua constante de tempo τ. • A constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para que a resposta decaia 1/e, ou 36,8%, do seu valor inicial. Em outras palavras, a constante de tempo determina a velocidade de descarregamento/carregamento do capacitor. Circuitos RC sem fonte Circuitos RC sem fonte • Para um circuito RC, a constante de tempo é: τ = RC Assim, v(t) = V0 e^{-t/τ} TABLE 7.1 Values of v(t)/V0 = e^{-t/τ}. t v(t)/V0 τ 0.36788 2τ 0.13534 3τ 0.04979 4τ 0.01832 5τ 0.00674 Figure 7.4 Plot of v/V0 = e^{-t/τ} for various values of the time constant. • No resistor, a corrente e a potência são dadas por: • E a energia dissipada no resistor: Circuitos RC sem fonte • Resumindo: Circuitos RC sem fonte Circuitos RL sem fonte Assim, em circuitos RL sem fonte deve-se determinar: 1 - A corrente inicial i(0) = I₀; 2 - A constante de tempo do circuito RL . Circuitos RC sem fonte Exemplo: No circuito abaixo, considere Vₙ(0) = 15V. Encontre vₙ, vₓ e iₓ, para t > 0. • Considere agora o circuito mostrado na Figura abaixo. Devemos determinar a resposta do circuito, a qual assumimos ser a corrente i(t) através do indutor. Aplicando LTK ao circuito, e considerando conhecidas a corrente inicial e a energia inicialmente armazenada: Circuitos RL sem fonte • Para circuitos RL, a constante de tempo é dada por: • Logo, a resposta natural do circuito é: Circuitos RL sem fonte Circuitos RC sem fonte Exemplo. A chave do circuito abaixo estava fechada por um longo período de tempo, e é aberta em t = 0. Encontre v(t) para t ≥ 0. Calcule a energia inicial armazenada no capacitor. • Tanto em circuitos RC quanto em circuitos RL, a resposta natural dura 5 constantes de tempo. Isso quer dizer que, após 5 constantes de tempo, a energia armazenada no elemento vai ser totalmente dissipada no circuito. Circuitos RL sem fonte Circuitos RL sem fonte Exemplo: Assumindo que i(0) = 10 A, determine as correntes i(t) e i_x(t) no circuito abaixo. Exemplo: Para o circuito da Figura abaixo, determine i(t) para t > 0. Circuitos RL sem fonte Material complementar • https://www.youtube.com/watch?v=iagXCp9n_8s • https://www.youtube.com/watch?v=lps1hDCJH0s • https://www.youtube.com/watch?v=dGEagJOnn78 • http://ensinoadistancia.pro.br/EaD/Eletromagnetismo/CircuitoRC/CircuitoRC. html • https://www.youtube.com/watch?v=cJVKpkgdcLQ • https://www.youtube.com/watch?v=KxGBDYAjEBA • http://www.ufjf.br/fisica/files/2013/10/FIII-08-04-O-circuito-RL.pdf • http://www.eletrica.ufpr.br/thelma/Capitulo8.pdf