Aula 13 Resposta ao Degrau de Circuitos de Segunda Ordem-2022 1

ELETRICIDADE APLICADA (CCCT0026) Aula 13 – Resposta ao degrau de circuitos de segunda ordem Prof. Denisson Oliveira dq.oliveira@ufma.br Universidade Federal do Maranhão Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia Sumário • Introdução • Circuitos RLC série sem fonte; • Circuitos RLC paralelo sem fonte. • Anteriormente investigamos circuitos de primeira ordem, ou seja, descritos por equações diferenciais de primeira ordem. Isso porque esses circuitos possuíam um elemento armazenador de energia. • Agora é o momento de investigar circuitos com dois elementos armazenadores de energia, ou seja, circuitos de segunda ordem. • Circuitos de segunda ordem são caracterizados por equações diferenciais de segunda ordem, e consistem de resistores e o equivalente de elementos de armazenamento (capacitores e indutores). Introdução O circuito RLC série sem fonte • Aplicando LTK ao circuito: R i + L \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} i \, dt = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 i}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{di}{dt} + \frac{i}{LC} = 0 • Considerando as seguintes condições iniciais: • Condição inicial do indutor e derivada da corrente inicial: i(0) = I_0 \quad \begin{cases} \quad Ri(0) + L \frac{di(0)}{dt} + V_0 = 0 \\ \quad \frac{di(0)}{dt} = -\frac{1}{L} (RI_0 + V_0) \end{cases} • Considerando \dot{i} = A e^{st}, e substituindo: As^2 e^{st} + \frac{AR}{L} se^{st} + \frac{A}{LC} e^{st} = 0 \quad \Rightarrow \quad Ae^{st} \left( s^2 + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} \right) = 0 • Determinando as condições iniciais: • Lembre que: • CUIDADO!!!! Lembre-se sempre de considerar a convenção passiva do sinal. A corrente entra pelo terminal positivo e a queda de tensão é medida entre os dois terminais. Introdução • Considere o seguinte circuito RLC série: O circuito RLC série sem fonte O circuito RLC série sem fonte • Equação característica: \(s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0\) • Raízes da equação característica: \(s_1 = \frac{-R}{2L} + \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{1}{LC}}\) \(s_2 = \frac{-R}{2L} - \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{1}{LC}}\) • Ou de outra maneira: \(s_1 = -\alpha + \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}\), \(s_2 = -\alpha - \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}\) • \(s_1\) e \(s_2\): frequências naturais; • \(\omega_0\): frequência ressonante ou frequência natural não-amortecida; • \(\alpha\): fator de amortecimento ou frequência neperiana. O circuito RLC série sem fonte Onde \(\alpha = \frac{R}{2L}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) Reescrevendo a equação característica, temos: \(s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0\) Assim, \(i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}\), onde \(i_1 = A_1 e^{s_1 t}\) e \(i_2 = A_2 e^{s_2 t}\) Temos três respostas possíveis: • Superamortecido, quando \(\alpha > \omega_0\); • Criticamente amortecido, quando \(\alpha = \omega_0\); • Subamortecido, quando \(\alpha < \omega_0\). O circuito RLC série sem fonte • Caso superamortecido (\(\alpha > \omega_0\)): duas raízes reais e negativas. \(i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}\) O circuito RLC série sem fonte Caso Criticamente amortecido (α = ω₀): duas raízes reais e iguais. i(t) = (A₂ + A₁t)e^{-αt} O circuito RLC série sem fonte Caso Subamortecido (α < ω₀): duas raízes complexas conjugadas. s₁ = -α + \sqrt{\omega₀² - α²} = -α + jω_d s₂ = -α - \sqrt{\omega₀² - α²} = -α - jω_d i(t) = A₁e^{-(α-jω_d)t} + A₂e^{-(α+jω_d)t} = e^{-αt}(A₁e^{jω_d t} + A₂e^{-jω_d t}) Ou ainda: i(t) = e^{-αt}(B₁ \cos ω_d t + B₂ \sin ω_d t) ω_d: frequência de amortecimento • Considere o seguinte circuito RLC paralelo: O circuito RLC paralelo sem fonte Condições iniciais: • Aplicando a LCK ao circuito: • Então a equação característica fica: • E as raízes da equação são: • Ou de outro modo: O circuito RLC paralelo sem fonte O circuito RLC série sem fonte Caso superamortecido (α > ω₀): duas raízes reais e negativas. v(t) = A₁e^{s₁t} + A₂e^{s₂t} O circuito RLC série sem fonte • Caso Criticamente amortecido (α = ω₀): duas raízes reais e iguais. v(t) = (A₁ + A₂t)e^{-αt} O circuito RLC série sem fonte • Caso Subamortecido (α < ω₀): duas raízes complexas conjugadas. s₁,₂ = −α ± jω_d ω_d = √{ω₀² − α²} v(t) = e^{-αt}(A₁ cos ω_dt + A₂ sin ω_dt) ω_d: frequência de amortecimento • Exemplo. A chave no circuito abaixo esteve fechada por um longo período de tempo. Posteriormente, ela é aberta em t = 0. Encontre as condições iniciais de corrente e de tensão no circuito, as derivadas das condições iniciais e as condições de regime permanente. Exemplo. Encontre i(t) no circuito abaixo. Assuma que o circuito atingiu o regime permanente quando t = 0⁻. 10V 4Ω 0.02F 3Ω 6Ω 0.5H • Exemplo. Para o circuito da figura abaixo, considere que R = 5 Ω, C = 10 mF, e L = 1 H. Determine v(t) para t > 0, considerando v(0) = 5V, i(0) = 0. Material complementar • https://www.youtube.com/watch?v=V6kItLfNXX8 • https://www.youtube.com/watch?v=DR44o80p-VM • https://www.youtube.com/watch?v=96Vo6cNyHvQ • http://www.eletrica.ufpr.br/thelma/Capitulo9.pdf • http://www.fem.unicamp.br/~grace/RC_RL_RLC.pdf • http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/EA513/Cap9.pdf