Modelagem Matematica de Sistemas Mecanicos Hibridos Mecanica Newtoniana

Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 1 1 INTRODUÇÃO Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemático de sistemas mecânicos híbridos ou seja aqueles cujas massas executam movimentos de translação e rotação a partir da aplicação da 2a Lei de Newton e da Equação de Euler Nosso estudo ficará restrito ao movimento de corpos rígidos no plano também conhecido simplesmente por movimento plano Felizmente a grande maioria dos mecanismos existentes nos sistemas reais se enquadra nesse tipo de movimento Inicialmente apresentaremos um resumo das equações do movimento plano de um corpo rígido e após mostraremos a obtenção do modelo matemático através de exemplos ilustrativos 2 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO As equações básicas da Mecânica Newtoniana para o movimento plano de um corpo rígido são 21 Translação 2a Lei de Newton 1 CM F mR onde F é a resultante de todas as forças externas que atuam sobre o corpo de massa m e CM R é a aceleração do centro de massa CM 22 Rotação plana Aqui devemos distinguir 3 situações a Rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa CM 2 CM CM J T θ onde TCM é a resultante de todos os torques externos que atuam no corpo em torno de um eixo perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo centro de massa do corpo JCM é o momento de inércia do corpo rígido em relação a esse mesmo eixo e θ é a aceleração angular do corpo 7 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 2 b Rotação em torno de um eixo passando por um ponto fixo O que não seja o centro de massa CM 3 O O J T θ onde TO é a resultante de todos os torques externos que atuam no corpo em torno de um eixo perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto fixo O JO é o momento de inércia do corpo rígido em relação a esse mesmo eixo e θ é a aceleração angular do corpo c Rotação em torno de um eixo passando por um ponto S que não coincide com o centro de massa CM e que sofre translação 4 S CMS S S x m J R r θ T onde TS é a resultante de todos os torques externos que atuam no corpo em torno de um eixo perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto que translada S JS é o momento de inércia do corpo rígido em relação a esse mesmo eixo e θ é a aceleração angular do corpo Além disso rCMS é o vetor posição do centro de massa CM em relação ao ponto S e S R é a aceleração absoluta do ponto S Obs 1 na eq 4 são consideradas as componentes paralelas ao eixo coordenado z perpendicular ao plano do movimento de rotação xy 2 as eqs 2 3 e 4 também são conhecidas como Equações de Euler 3 As rotações relatadas em a e b já foram estudadas em apostila anterior vamos nos concentrar pois no caso c em ocorrem rotação e translação do centro de rotação 3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS HÍBRIDOS Será estudada através de exemplos ilustrativos Exemplo 1 sistema moladisco O disco da fig 1 rola sem deslizar sobre o plano horizontal Achar o seu modelo matemático usando a coordenada θ Solução Fig 1 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 3 Neste caso S é o centro instantâneo de rotação conforme ilustra o diagrama de corpo livre da fig 2 no qual kx é a força da mola e f é a força resistente ao rolamento Aplicando a eq 4 S CMS S S x m J R r θ T Usando o Teorema de Steiner achamos o momento de inércia JS 2 2 2 S 2 mr 3 mr 2 mr 1 J Por outro lado o momento TS provocado apenas pela força da mola é dado por TS kxr kr2θ onde foi usada a equação de restrição x rθ que liga as coordenadas x e θ Além disso o produto vetorial S CMS x R r é nulo pois ambos os vetores são colineares com sentido de S para C notemos que o ponto S tem velocidade nula porém possui aceleração radial 2 S r R θ não nula dirigida para o centro de massa assim o que torna nulo o termo S CMS x R r é a definição de produto vetorial Finalmente levando essas informações na eq 4 chegamos ao modelo matemático 0 3m 2k θ θ Exemplo 2 Sistema carropêndulo simples A fig 3 mostra um carro de massa M que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito Ele está ligado à parede por uma mola k e um amortecedor viscoso c e é submetido a um forçamento ft O centro de massa do carro serve como eixo de rotação de um pêndulo simples de massa punctual m e comprimento L Deduzir o modelo matemático para pequenas oscilações θ Fig 2 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 4 Solução Temos aí um sistema multicorpo duas massas com dois graus de liberdade x para descrever a translação do carro de massa M e θ para descrever a rotação do pêndulo de massa m A fig 4 mostra o diagrama de corpo livre no qual estão mostradas apenas as forças que produzem translação na direção x e o peso mg que produz momento em relação ao ponto S Como podemos ver o ponto S é um centro de rotação que translada no espaço Portanto para o movimento de rotação do pêndulo aplicamos a eq 4 4 S CMS S S x m J R r θ T onde S CMS x mL cos mL x sen2 x m θ π θ R r JS mL2 momento de inércia de massa punctual TS mgsenθL Levando tudo na eq 4 e ordenando chegamos a a 0 mgL sen x mL cos mL 2 θ θ θ Já para o movimento de translação da massa M aplicamos a 2a Lei de Newton CM MR F logo na direção x temos levando em conta que são 2 massas a considerar b CM mx M x cx kx ft Fig 3 Fig 4 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 5 Tendo em vista que θ θθ θ θθ θ L sen L cos x x L cos x x L sen x x 2 CM CM CM podemos levar essas informações na eq b e obter após ordenação c tf kx mL sen c x mL cos m x M 2 θθ θθ Para pequenas oscilações θ podemos considerar cosθ 1 senθ 0 0 θ e substituir nas eqs a e c para obter o modelo matemático linearizado tf kx c x mL m x M θ 0 mgL mL mL x 2 θ θ Sob forma matricial θ θ θ 0 ft x mgL 0 0 k x 0 0 0 c x mL mL mL m M 2 Exemplo 3 Sistema carropêndulo invertido A fig 5 mostra um carro de massa M que rola sem deslizar sob a ação da força ft Ele está ligado à estrutura fixa pelo amortecedor c Um pêndulo invertido de massa concentrada mc e haste homogênea de massa m gira em torno de um pivô fixado ao carro Deduzir o modelo matemático para pequenas oscilações θ Solução Temos novamente um sistema com duas massas e dois graus de liberdade x para descrever a translação do carro de massa M e θ para descrever a rotação do pêndulo invertido A fig 6 mostra o diagrama de corpo livre para o pêndulo invertido no qual estão mostradas apenas as forças que produzem momento em relação ao ponto S Fig 5 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 6 Como podemos ver o ponto S é um centro de rotação que translada no espaço Portanto para o movimento de rotação do pêndulo invertido aplicamos a eq 4 porém levando em conta que agora temos duas massas m e mc 4 S CMS S S x m J R r θ T onde c c c S CMS x m L cos 2 m m L cos x 2 cos m L x m L sen2 x 2 sen2 m L x m θ θ θ π θ π θ R r 2 c 2 2 c S 3 L m m 3 mL 1 m L J θ θ θ 2 gL sen m m 2 sen mg L m gL sen T c c S Levando tudo na eq 4 e ordenando chegamos a a 0 2 gL sen m m 3 L m x m 2 L cos m m c 2 c c θ θ θ Já para o movimento de translação da massa M aplicamos a 2a Lei de Newton CM F MR logo na direção x temos levando em conta que são 3 massas a considerar b mc c CM m x mx M x cx ft Da fig 5 obtemos θ θθ θ θθ θ 2 sen L 2 cos L x x 2 cos L x x 2 sen L x x 2 CM CM CM e θ θθ θ θθ θ L sen L cos x x L cos x x L sen x x 2 mc mc c m Fig 6 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 7 Levando tudo na eq b L sen L cos m x 2 sen L 2 cos L mx M x cx t f 2 c 2 θ θθ θ θ θθ θ Ordenando c ft cx sen m L 2 m m L cos 2 m x m m M 2 c c c θ θ θθ Para pequenas oscilações θ podemos considerar cosθ 1 senθ 0 0 θ e substituir nas eqs a e c para obter o modelo matemático linearizado ft c x m L 2 m x m m M c c θ 0 2 gL m m 3 L m 2 L x m m m c 2 c c θ θ Sob forma matricial d θ θ θ 0 ft x 2 gL m m 0 0 0 x 0 0 0 c x 3 L m m 2 L m m 2 L m m m m M c 2 c c c c EXERCÍCIOS 1 Dado o pêndulo com massa distribuída da figura pedemse a Modelo matemático b Linearizar o modelo matemático estabelecendo a condição de linearização Resp a 0 l2 sen 3g θ θ b 0 l2 3g θ θ para θ 1 rad Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana 8 2 Idem Exercício 1 porém agora existe uma massa concentrada M na extremidade da haste e um amortecedor viscoso torcional C na articulação O Resp a 0 sen M l 3 m Mg 2 m M l 3 m C 2 θ θ θ b 0 M l 3 m Mg 2 m M l 3 m C 2 θ θ θ para θ 1 rad 3 Considere o sistema carro pêndulo invertido do Exemplo 3 do texto cujo modelo matemático é dado pela equação θ θ θ 0 ft x 2 gL m m 0 0 0 x 0 0 0 c x 3 L m m 2 L m m 2 L m m m m M c 2 c c c c Sendo ft a entrada e xt e θt as saídas achar as funções de transferência correspondentes