Sistemas Mecanicos - Massas, Molas e Amortecedores

Elementos de um Sistema Mecânico 1 1 INTRODUÇÃO Um sistema mecânico é composto por massas molas e amortecedores conectados entre si ou a uma estrutura fixa O sistema mecânico mais simples com apenas um grau de liberdade também denominado sistema padrão é composto de apenas uma massa uma mola e um amortecedor Tal sistema servirá de modelo daqui por diante para a dedução da equação diferencial do movimento de sistemas com apenas um grau de liberdade A seguir vamos estudar cada um dos componentes básicos de um sistema mecânico 2 MOLAS 21 Definição Entendese por mola uma peça que possui flexibilidade elástica relativamente alta isto é que apresenta grandes deformações quando solicitada A rigor no entanto todas as peças possuem alguma flexibilidade já que não existe o corpo totalmente rígido A mola opõese à força que a ela está aplicada armazenando energia potencial elástica 22 Classificação As molas podem ser classificadas segundo o comportamento apresentado sob carregamento em lineares e nãolineares Uma mola é dita linear quando as deformações que apresenta são diretamente proporcionais às cargas a que ela é submetida ou seja quando ela obedece à Lei de Hooke o que equivale a dizer que ela obedece ao Princípio da Superposição dos Efeitos conforme já foi visto É não linear em caso contrário Se forem aplicadas cargas excitações conhecidas a uma mola e medidas as deformações respostas correspondentes o gráfico obtido ilustra bem o conceito de linearidade conforme mostra a fig 1 representativa de como varia a força F ou o torque T no caso de sistemas torcionais em função do deslocamento translacional x ou deslocamento torcional θ 04 Elementos de um Sistema Mecânico Fig 1 Tipos de molas Elementos de um Sistema Mecânico 2 Na fig 1 a mola linear é representada por uma reta ao passo que as molas nãolineares têm dois tipos de representação Algumas molas nãolineares endurecem à medida que aumenta a solicitação ou seja é cada mais difícil deformálas são as chamadas molas duras cuja representação gráfica é uma curva côncava para cima As molas nãolineares de comportamento oposto denominamse molas macias e sua representação gráfica é contrária à das molas duras Existe uma pequena faixa na qual as molas nãolineares apresentam comportamento quase igual ao das molas lineares É a chamada faixa linear que ocorre em torno de um certo ponto de equilíbrio denominado ponto de operação Por esse motivo o estudo das Vibrações Lineares assume um papel de destaque 23 Rigidez Flexibilidade A inclinação da curva ver fig 1 F Fx ou T Tθ em um determinado ponto recebe o nome de rigidez da mola α θ α tg d dT tg ou k dx dF k 1 onde α é o ângulo que a tangente geométrica no ponto faz com o eixo das abcissas No caso particular de mola linear a inclinação α é constante e é usual chamar a rigidez então de constante da mola k Fx ou k Tθ 2 Quanto maior o k da mola maior é o esforço necessário para se obter o mesmo deslocamento ou seja mais rígida é a mola A unidade SI de rigidez é Nm se a mola for longitudinal ou Nmrad se a mola for torcional Neste trabalho serão consideradas apenas as molas lineares 24 Cálculo da Rigidez O cálculo da rigidez de uma mola pode ser feito experimentalmente ou teoricamente Experimentalmente podemos aplicar sobre a mola cargas conhecidas e medir os deslocamentos correspondentes A seguir aplicamos a equação 2 para cada par de carga e deslocamento e após calculamos um valor médio representativo da faixa considerada Teoricamente podemos calcular a rigidez através da aplicação de conhecimentos de Resistência dos Materiais Exemplo 1 Barra de tração Seja por exemplo uma barra submetida à tração F apresentando uma deformação x conforme fig 2 A mola tem seção constante A comprimento l e módulo de elasticidade longitudinal Fig 2 Barra de tração Elementos de um Sistema Mecânico 3 Módulo de Young E Calcular a sua rigidez Solução Ao ser aplicada a força F a barra sofre um alongamento x dado por EA x Fl Substituindo x na eq 2 l EA k Vemos portanto que a rigidez não depende da carga a que é submetida mas do material E e das dimensões l A Exemplo 2 Barra de torção Deduzir uma expressão para a rigidez de uma mola do tipo barra de torção de comprimento l momento de inércia polar constante Ip módulo de elasticidade transversal G submetida a um torque T Solução O ângulo de torção é dado por GIp Tl θ Aplicando a definição de k e levando em conta essa última equação l GI GI Tl T T k p p θ 25 Associações de Molas É muito comum na prática encontrarmos duas ou mais molas associadas em um mecanismo A fim de obter o sistema mecânico padrão no qual existe apenas uma mola há necessidade de encontrar uma mola fictícia cuja rigidez seja equivalente à da associação dada As associações mais comuns são molas em série molas em paralelo molas associadas com alavancas molas inclinadas e molas associadas com polias 251 Associação Série Inicialmente serão consideradas apenas duas molas em série A fig 3 mostra à esquerda duas molas em série de rigidezes conhecidas k1 e k2 submetidas a uma força de tração F e à direita uma mola equivalente fictícia submetida à mesma excitação Elementos de um Sistema Mecânico 4 Desejamos encontrar a rigidez equivalente k Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos temos deflexão da mola 1 devida à carga F x1 Fk1 deflexão da mola 2 devida à carga F x2 Fk2 deflexão total x Fk Logo como x x1 x2 1 k 1k1 1k2 4 252 Associação Paralela Aqui também serão consideradas duas molas em paralelo A fig 4 mostra à esquerda duas molas de rigidezes conhecidas k1 e k2 solicitadas por uma força de tração F aplicada paralela e eqüidistantemente das molas Consideremos a existência de restrições laterais que obriguem as molas a se distenderem igualmente e que não permitam a rotação da barra sem massa sobre a qual atua a força F assegurando ao sistema apenas um grau de liberdade À direita temos o sistema equivalente deflexão da mola 1 x1 F1k1 deflexão da mola 2 x2 F2k2 onde F1 e F2 são as cargas nas molas k1 e k2 respectivamente Por outro lado no sistema equivalente x Fk onde F F1 F2 Logo kx k1x1 k2x2 Tendo em vista que a deflexão é a mesma isto é x x1 x2 chegamos finalmente a k k1 k2 5 Fig 3 Molas em Série Fig 4 Molas em Paralelo Elementos de um Sistema Mecânico 5 Observando as eq 4 e 5 vemos que as mesmas são idênticas respectivamente às fórmulas das associações série e paralelo de capacitâncias elétricas Logo existe uma analogia eletromecânica entre capacitor e mola o que não deve constituir surpresa pois ambos são armazenadores de energia Tais analogias são muito úteis sendo amplamente empregadas na análise de sistemas dinâmicos Podemos pois generalizar as equações acima para n molas associação série n i 1 ik 1 1 k 6 associação paralelo n i 1 ik k 7 253 Associação de Molas com Alavancas Neste tipo de associação está presente além das molas uma alavanca cuja massa é considerada desprezível A fig 5 mostra à esquerda o sistema mais simples constando de apenas uma mola e de uma alavanca considerada rígida e de massa desprezível articulada no ponto O Na extremidade livre está aplicada a força de excitação F Tal associação é muito comum em sistemas mecânicos reais A suspensão independente de um automóvel por exemplo pode ser modelada por um sistema desse tipo a menos do amortecedor na fig 5 o ponto O seria o chassis a alavanca OA seria a peça móvel o braço oscilante e a força F seria a reação do solo sobre a roda Desejamos obter o sistema padrão equivalente mostrado à direita da fig 5 Notemos que a mola equivalente k é colocada no ponto de aplicação A da força F Para a dedução da rigidez equivalente consideremos a fig 6 na qual aparece o sistema já deformado Fig 5 Sistema Mola e alavanca articulada Fig 6 Sistema na posição deformada Elementos de um Sistema Mecânico 6 Tomando momentos em relação ao ponto O FL k1xa Sendo k a rigidez da mola equivalente F kx k AA1 Por outro lado a semelhança de triângulos permite escrever L a AA x 1 Combinando as expressões acima chegamos a k aL2k1 8 A expressão acima pode ser melhor compreendida se levarmos em conta que a é a distância da mola dada ao centro de rotação e L é a distância da mola equivalente ao centro de rotação No caso geral de um sistema articulado possuir uma barra e n molas ki distantes ai i 1 2 n do centro de rotação podemos aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos e obter a fórmula geral i n 1 i 2 i k L a k 9 254 Associação Inclinada ou Concorrente ou Radial Consideremos um sistema com uma mola inclinada de um ângulo α com a direção do movimento da massa m conforme mostra a fig 7 a Desejamos achar uma mola equivalente k a ser colocada na direção x do movimento Logo a força nesta direção é Fx kx enquanto que na direção xm da mola a força vale F k1xm Do triângulo hachurado da fig 7a F Fxcosα Observando a fig 7b podemos considerar que para pequenos deslocamentos x o ângulo α praticamente não sofre modificação o que permite escrever x xmcosα Fig 7 Associação Inclinada Elementos de um Sistema Mecânico 7 Combinando as equações acima podemos concluir que k k1 cos2 α Caso existam n molas inclinadas ki de ângulos αi i 1 2 n com a horizontal podemos aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos e obter a fórmula geral α n i 1 i kicos2 k 10 Observações importantes 1 As fórmulas 4 a 10 deduzidas para molas translacionais podem também ser usadas para molas torcionais se utilizarmos a correspondência abaixo Mola longitudinal translação Mola torcional rotação área da seção reta S Momento de inércia polar Ip massa m Momento de inércia J deslocamento retilíneo x Deslocamento angular θ força F Torque T módulo de Young E Módulo de elasticidade transversal G 2 Existem tabelas que fornecem as rigidezes para vários tipos de molas como ilustra a Tab 1 abaixo Tab 1 Rigidezes de Molas Elementos de um Sistema Mecânico 8 Exemplo 3 Achar a rigidez equivalente do sistema da fig 8 Fig 8 Sistema de molas em série e em paralelo Solução Este tipo de problema deve ser resolvido por passos Assim podemos começar substituindo as molas em paralelo por suas equivalentes A seguir podemos combinar as molas em série de ambos os lados da massa obtendo Finalmente combinamos essas duas últimas molas que se encontram em paralelo 3 AMORTECEDORES 31 Definição Chamase amortecimento o processo pelo qual a energia é retirada do sistema elástico A energia é consumida por atrito entre as peças móveis do sistema eou pelo atrito interno entre as moléculas das peças do sistema havendo uma dissipação de energia mecânica sob forma de calor eou som Um amortecedor pois é o componente do sistema mecânico que dissipa energia mecânica do mesmo assim como o resistor é o componente do sistema elétrico que dissipa energia elétrica do mesmo Na modelagem consideramos que o amortecedor não tem nem massa e nem rigidez Elementos de um Sistema Mecânico 9 32 Tipos de Amortecimento O amortecimento pode ser classificado em três tipos 321 Amortecimento viscoso É o que mais ocorre na prática da Engenharia Ele resulta do atrito viscoso isto é aquele que acontece entre um sólido uma peça e um fluido viscoso um óleo lubrificante por exemplo interposto entre as peças móveis do sistema mecânico Assim o atrito que ocorre entre um eixo e o seu mancal de deslizamento quando há lubrificação é um atrito viscoso A força de atrito viscoso ou resistência viscosa é diretamente proporcional à velocidade relativa entre sólido e fluido Matematicamente a resistência viscosa Fv é dada por cx F v 11 onde x é a velocidade relativa entre sólido e fluido e c é o coeficiente de proporcionalidade denominado coeficiente de amortecimento viscoso A unidade SI de cv é Nsm No caso de movimento de rotação o torque de resistência viscoso Tv é dado por v c T θ 12 onde θ é a velocidade angular relativa entre sólido e fluido e cv é o coeficiente de amortecimento viscoso A unidade SI de c nesse caso é Nmsrad O coeficiente de amortecimento viscoso c é o parâmetro característico de um amortecedor viscoso do mesmo modo que a rigidez k é o parâmetro característico da mola Cada amortecedor viscoso tem o seu c característico Como o coeficiente de amortecimento viscoso está intimamente relacionado com a viscosidade do fluido ele sofre a influência da temperatura aumentos de temperatura implicam em queda do coeficiente de amortecimento viscoso Por esse motivo verificamos que no verão os carros apresentam uma suspensão mais macia ao passo que no inverno principalmente em dias muito frios a suspensão do carro se apresenta mais dura Dados práticos de c podem ser encontrados em obras especializadas sobre amortecedores 322 Amortecimento seco Também denominado amortecimento constante ou de Coulomb É o que ocorre quando o atrito é seco isto é quando atritam entre si dois sólidos sem lubrificação Matematicamente a força de atrito seco também denominada força de Coulomb Fd é dada por Fd µN 13 onde µ é o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies em contato e N é a força normal entre as superfícies Obviamente µ é adimensional Conforme podemos verificar facilmente a força de atrito é constante daí o nome de amortecimento constante Elementos de um Sistema Mecânico 10 323 Amortecimento estrutural ou histerético É o que ocorre pelo atrito interno entre moléculas quando o sólido é deformado fazendo com que a energia seja dissipada pelo material A medida do amortecimento estrutural é dada pela amplitude da tensão reinante durante a deformação Como exemplo de amortecimento estrutural podese citar o que acontece na estrutura de uma prensa mecânica logo após a pancada do martelo parte da energia é consumida pelo atrito intermolecular na estrutura da máquina 32 Cálculo do Coeficiente de Amortecimento Viscoso O cálculo do coeficiente de amortecimento viscoso pode ser feito experimentalmente ou teoricamente Experimentalmente podemos aplicar sobre o amortecedor cargas conhecidas e medir os deslocamentos correspondentes bem como os intervalos de tempo necessários para as cargas percorrerem os ditos deslocamentos A seguir aplicamos a eq 11 ou 12 e tiramos um valor médio para c representativo da faixa considerada Teoricamente podemos calcular o coeficiente de amortecimento através da aplicação de conhecimentos de Estática e de Mecânica dos Fluidos conforme ilustra o exemplo a seguir Exemplo 4 Consideremos a fig 9 na qual um disco circular de raio R gira em um recipiente contendo óleo estando separado do fundo do mesmo por uma camada de fluido de viscosidade absoluta µ e espessura t sendo ω a velocidade de rotação do disco em relação ao recipiente estacionário Desejamos calcular o coeficiente de amortecimento do sistema Solução Para calcular o coeficiente de amortecimento viscoso c suporemos o perfil de velocidades como linear sendo a velocidade angular do fluido nula no contato com o fundo do recipiente e constante e igual a ω no contato com o disco Consideremos uma coroa circular elementar distante r do centro e portanto com comprimento 2πr e de largura dr Logo sua área vale dA 2πrdr A tensão de cisalhamento existente na superfície de contato sólidofluido é então r 2 rdr dT dA dF π τ Fig 9 Cálculo do Coeficiente de Amortecimento Elementos de um Sistema Mecânico 11 onde dT rdF é o torque elementar atuando sobre o elemento de área elementar dA Por outro lado sabemos da Mecânica dos Fluidos que a tensão de cisalhamento é dada por t r t v dz dv µ ω µ µ τ onde dvdz é o gradiente de velocidades ao longo da espessura do fluido considerado constante e igual a vt devido à linearidade assumida para o perfil de velocidades Igualando as duas equações acima t r 2 r dr dT 2 µ ω π ou dr t r 2 dT πµω 3 Integrando entre os limites 0 e R chegamos a 2t R T 4 µπω Para o caso de amortecedor viscoso torcional c Tω logo 2t R c 4 µπ 32 Associações de Amortecedores Do mesmo modo que as molas também os amortecedores podem estar dispostos em série em paralelo articulados ou inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante à que foi feita para as molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes são dados por fórmulas análogas às das rigidezes equivalentes das molas isto é associação série n i 1 ic 1 1 c 14 associação paralela n i 1 ic c 15 associação articulada c L a c i n 1 i i 2 16 associação inclinada α n i 1 i cicos2 c 17 Elementos de um Sistema Mecânico 12 4 MASSAS E INÉRCIAS 41 Introdução O terceiro e último componente de um sistema elástico é a massa ou a inércia dessa massa no caso de movimento torcional No nosso sistema padrão a massa ou a inércia é considerada como um corpo rígido podendo ganhar ou perder energia cinética conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que normalmente surgem são 1 existem várias massas no sistema e há necessidade de se encontrar uma massa equivalente de modo a se obter o sistema padrão com apenas uma massa 2 existem vários eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e há necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padrão constando de apenas um eixo de rigidez amortecimento e inércia equivalente isto é há necessidade de transferir rigidezes amortecimentos e inércias de um eixo para outro Para resolver tais problemas devemos levar em conta que a massa ou inércia equivalente deverá desenvolver a mesma energia cinética do sistema original ou em outras palavras vamos usar o Princípio da Conservação da Energia A energia cinética de um sistema massamola translacional é dada pela expressão 2 2 m x T 1 18 onde m é a massa em kg e x é a velocidade de translação da massa em ms No caso de um sistema torcional a energia cinética é dada por 2 2 J 1 T θ 19 onde J é o momento de inércia da massa em kgm2 e θ é a velocidade angular da massa em rads A seguir serão estudados os dois problemas citados 42 Equivalência de Massas Cada caso deve ser tratado separadamente porém sempre a partir da aplicação do Princípio da Conservação da Energia A destreza em simplificar sistemas complexos dependerá da resolução de um número razoável de exercícios O método será ilustrado através de exemplos Exemplo 5 Em muitos casos a massa da mola é desprezível na presença da massa do sistema Entretanto em algumas situações tal fato não é verdadeiro devendose então calcular a massa equivalente à massa da mola que deve ser acrescentada à massa principal do sistema Elementos de um Sistema Mecânico 13 Seja determinar a massa equivalente à massa da mola a ser adicionada à massa m do sistema da fig 10 Consideremos um elemento de mola dms de espessura dy e distante y da extremidade fixa da mola Então a energia cinética desse elemento de mola será dada por 2 2 dms y 1 dT Considerando a velocidade do elemento de massa y variando linearmente com y então L x y y onde L é o comprimento instantâneo da mola Levando na expressão da energia cinética e integrando obtemos 2 s x 3 m 2 1 T ou seja a mola colabora com 13 da sua massa na formação da massa efetiva do sistema Exemplo 6 Seja reduzir o mecanismo de comando de válvula de um motor de combustão interna ilustrado na fig 11 a um sistema simples constando apenas de uma massa isto é achar o valor da massa mA que colocada no ponto A represente todas as massas e inércias do sistema A energia cinética do sistema é dada pela expressão seguinte na qual também está considerada a massa da mola 2 2 s 2 v 2 s 2 v 2 3 b m m b 2 J 1 3 b m 2 1 2 m b 1 2 J 1 T θ θ θ θ Fig 10 Fig 11 Elementos de um Sistema Mecânico 14 onde temos em seqüência a energias cinéticas de rotação do balancim de translação da massa da válvula e de translação da massa da mola Portanto a massa equivalente mA a ser colocada no ponto A considerando que a x θ vale 2 2 s 2 v A a 3 b m m b J m Exemplo 7 Consideremos o sistema da fig 12 a onde uma barra articulada na extremidade O possui três massas colocadas nos pontos A B e C Ao girar o sistema em torno do ponto O as velocidades das três massas são as indicadas na figura Achar uma massa equivalente que colocada no ponto A tenha o mesmo efeito das três massas conforme mostra a fig 12 b Solução Igualando a energia cinética das três massas à do sistema equivalente 2 1 eq 2 3 3 2 2 2 2 1 1 x 2 m 1 2 m x 1 2 m x 1 2 m x 1 Por outro lado podemos expressar as velocidades das massas m2 e m3 em função da velocidade da massa m1 1 1 3 3 1 1 2 2 l x l l x e x l x as quais substituídas na expressão acima conduz após simplificações a 2 1 3 3 2 1 2 2 1 eq l l m l l m m m Exemplo 8 Seja o sistema pinhãocremalheira da fig 13 em que o pinhão de momento de inércia J0 gira com velocidade angular θ acionando a cremalheira de massa m a uma velocidade linear x Achar a massa equivalente translacional meq b massa equivalente rotacional Jeq Fig 12 Fig 13 Elementos de um Sistema Mecânico 15 Solução a Queremos um sistema com uma só massa equivalente translacional Igualando as energias cinética do sistema original e do sistema equivalente 2 eq 2 0 2 x 2 m 1 2 J 1 2 mx 1 θ Entretanto R x θ Logo substituindo na expressão acima e simplificando 2 0 eq R J m m b Queremos agora um sistema com uma só inércia equivalente rotacional Igualando as energias cinética do sistema original e do sistema equivalente 2 eq 2 0 2 2 J 1 2 J 1 2 mx 1 θ θ Entretanto R x θ Logo substituindo na expressão acima e simplificando 2 0 eq mR J J 43 Acoplamento de Rotores Muitos mecanismos empregam eixos com massas girantes engrenagens discos polias etc acoplados entre si por meio de engrenagens correias correntes etc Nesses casos há necessidade de referir as inércias os amortecimentos e as rigidezes a um dos eixos de rotação o qual constituirá a coordenada para o sistema padrão Um exemplo bastante familiar é o redutor de velocidades ilustrado na fig 14 a Na fig 14 b aparece o sistema padrão correspondente Por simplicidade vamos considerar que as engrenagens têm inércias desprezíveis em comparação com as inércias do motor J1 e da carga J2 As velocidades de rotação dos eixos do motor e da carga valem respectivamente ω1 e ω2 As engrenagens têm número de dentes z1 e z2 conforme mostra a fig 14a Queremos referir todo o sistema em relação ao eixo do motor Fig 14 Elementos de um Sistema Mecânico 16 A fig 14b ilustra o sistema padrão baseado no eixo do motor A inércia do motor J1 pelo fato de já estar localizada nesse eixo não sofre alteração Já a inércia da carga J2 deverá ser transferida para o eixo do motor Quanto às rigidezes à torção a rigidez k1 não sofre alteração pois o eixo correspondente já está no eixo do motor mas a rigidez k2 deverá ser transferida para o eixo do motor As expressões que permitem a transposição das rigidezes e das inércias são deduzidas também a partir do Princípio da Conservação da Energia Para o caso das inércias aplicamos o Princípio da Conservação da Energia Cinética Em geral dados dois eixos acoplados 1 e 2 T1 T2 2 2 2 2 1 1 2 J 1 2 J 1 ω ω logo ω ω 2 1 2 2 2 1 J J 20 Portanto dado o momento de inércia J2 da massa situada no eixo 2 e conhecidas as velocidades de rotação dos eixos 1 e 2 podemos calcular o momento de inércia J1 da massa que colocada no eixo 1 equivale ao momento de inércia J2 Para o caso das rigidezes consideremos que o eixo 2 tenha rigidez à torção k2 e gire com velocidade de rotação ω2 Para calcular a rigidez à torção equivalente k1 no eixo 1 girando com velocidade de rotação ω1 acoplado ao eixo 2 aplicase o Princípio da Conservação da Energia potencial elástica armazenada nos eixos V1 V2 θ θ 2 2 2 2 1 1 2 k 1 2 k 1 logo θ θ 2 1 2 2 2 1 k k onde θ1 e θ2 são os ângulos de deformação por torção dos eixos 1 e 2 respectivamente Admitindo uma proporção entre os ângulos de deformação e as velocidades de rotação podemos escrever ω ω 2 1 2 2 2 1 k k 21 Assim dada a rigidez à torção do eixo 2 que gira com velocidade ω2 podemos calcular a rigidez à torção que colocada no eixo 1 que gira com velocidade ω1 é equivalente à rigidez à torção k2 Embora no exemplo acima não tenha sido considerado o amortecimento podemos mostrar que as fórmulas acima são válidas para os coeficientes de amortecimento isto é dado o coeficiente Elementos de um Sistema Mecânico 17 de amortecimento do eixo 2 que gira com velocidade ω2 podese calcular o coeficiente de amortecimento que colocada no eixo 1 que gira com velocidade ω1 é equivalente ao coeficiente de amortecimento c2 ω ω 2 1 2 2 2 1 c c 22 EXERCÍCIOS 1 Determinar a rigidez à torção do eixo oco da figura Resp 305 x 104 Nmrad 2 Achar a rigidez de uma viga horizontal biapoiada de comprimento l momento de inércia da seção reta constante I módulo de Young E submetida a uma carga vertical concentrada F no meio do vão Resp 3l 48EI k 3 Idem Exercício 2 porém agora a viga está engastada e sendo submetida a uma carga vertical concentrada F na extremidade livre Resp l 3 3EI 4 Achar a rigidez de uma mola helicoidal com N espiras ativas diâmetro do arame d raio médio da espira R módulo de elasticidade transversal G quando submetida a uma carga axial F Obs obter o valor da deformação da mola em livros de Resistência dos Materiais ou de Elementos de Máquinas Resp 3 4 nR 64 Gd k Elementos de um Sistema Mecânico 18 5 A figura mostra um acoplamento flexível um anel de borracha espessura t raio externo ro raio interno ri módulo de rigidez transversal G unindo dois eixos Calcular a rigidez do acoplamento Resp t 2 r r G k 4 i 4 o π 6 Achar a rigidez equivalente do sistema da figura 7 Achar a rigidez equivalente do sistema da figura 8 Achar a rigidez equivalente do sistema da figura Resp k 30972 Nmrad Resp k k1 k2ab2 Resp 3 1 1 k L 48EI 48EIk k Dado barras de torção de aço módulo de elasticidade transversal 8275 x 1010 Nm2 Elementos de um Sistema Mecânico 19 9 A figura mostra um tipo de acoplamento bastante usado embreagem seca por exemplo o qual consiste de n molas helicoidais de rigidez k colocadas a uma distância r dos eixos acoplados Calcular a rigidez total do acoplamento keq 10 A figura mostra duas placas paralelas de área A separadas por uma película de óleo de viscosidade absoluta µ e espessura t A velocidade relativa entre elas é v Calcular o coeficiente de amortecimento c Resp t A c µ 11 Um amortecedor é composto por um pistão de diâmetro D e comprimento L que se desloca dentro de um cilindro A folga radial entre pistão e cilindro é t e entre eles existe um óleo de viscosidade µ Calcular o coeficiente de amortecimento do amortecedor Resp c πDLµt Resp t 2 r G r k 4 4o i π Elementos de um Sistema Mecânico 20 12 Considere o amortecedor da figura Sendo µ a viscosidade do fluido calcular o coeficiente de amortecimento viscoso devido apenas à parte lateral do amortecedor Resposta h r l 2 c πµ 3 13 Determinar a massa mo que colocada ponto O equivale à barra cuja massa é m conforme figura Solução 2 2 2 o 2 o 2 o 2 2 cg 2 2 m n l 1 2 m nl 1 2 m x 1 T nl 2 m l 2 J 1 2 J 1 T θ θ θ θ logo simplificando n 2 1 12 1 n m m 2 2 o 14 Um motor de inércia J1 1 kgm2 aciona um compressor de inércia J2 24 kgm2 através de um redutor de velocidades cuja inércia é desprezível conforme figura 14 do texto Calcular a rigidez e as inércias do sistema em relação ao eixo do compressor Dados eixo 1 aço G 84 1010 Nm2 diâmetro 40 mm comprimento 1m eixo 2 aço G 84 1010 Nm2 diâmetro 50 mm comprimento 075m velocidade de rotação do eixo 2 compressor 12 da velocidade do eixo 1 motor Dado Jcg mL212 Elementos de um Sistema Mecânico 21 Solução 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 eq 2 4 10 2 4 10 1 4 kgm 2 1x J J 2 4 kgm já está no eixo 2 J 153200 Nmrad 2 x 21110 68720 K K K 68720 Nmrad 0 75 32 x 0 050 8 4x10 K 21110 Nmrad 1 32 x 0 040 8 4x10 K ω ω ω ω ω ω ω ω π π 15 O acionamento turbinagerador abaixo tem as seguintes características Momento de inércia da turbina 3500 kgm2 Momento de inércia do pinhão 50 kgm2 Momento de inércia da coroa 2700 kgm2 Momento de inércia do gerador 5400 kgm2 Rigidez do eixo da turbina 12 x 106 Nmrad Rigidez do eixo do gerador 18 x 106 Nmrad Velocidade de rotação do eixo da turbina 5400 rpm Velocidade de rotação do eixo do gerador 1800 rpm Achar um sistema equivalente em relação ao eixo da turbina Resp Da esquerda para a direita inércias 3500 kgm2 350 kgm2 600 kgm2 rigidezes 12 x 106 Nmrad 02 x 106 Nmrad 16 Sendo J o momento de inércia da polia em relação ao seu eixo de rotação calcular a massa a rigidez e o coeficiente de amorte cimento equivalentes em relação à coordenada x Resp m J9r2 c9 3k Elementos de um Sistema Mecânico 22 17 Com relação ao exercício 16 calcular a inércia a rigidez e o coeficiente de amortecimento equivalentes em relação à coordenada θ Resp I 9mr2 cr2 27kr2