Cálculo Numérico 3

DIRETORIA DE TECNOLOGIAS NA EDUCAÇÃO TERCEIRA ATIVIDADE AVALIATIVA Questão 1 25 pts Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral 1 𝑥 𝑑𝑥 para cinco subintervalos Questão 2 25 pts Use a regra de Simpson para estimar o valor da integral 𝑑𝑥 Questão 3 25 pts Usando o método dos mínimos quadrados encontre a reta que melhor se ajusta ao conjunto de dados 05 2 1 2 0 05 1 12 Questão 4 25 pts Usando o método dos mínimos quadrados encontre a equação da parábola que melhor se ajusta ao conjunto de dados 128 21311 139035 062 059 105123 161139 219 Terceira Atividade Avaliativa Questão 1 Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral I 11 1 x2 dx para cinco subintervalos 11 Definindo a fórmula da regra do trapézio A fórmula da regra do trapézio para uma função f x em n subintervalos é dada por Tn h2 fx0 2 i1n1 fxi fxn onde h é o comprimento do subintervalo e os xi são os pontos de divisão 12 Dividindo o intervalo O intervalo de integração é 1 1 Dividimos este intervalo em cinco subintervalos então h 115 25 04 Os pontos xi são x0 1 x1 06 x2 02 x3 02 x4 06 x5 1 13 Calculando os valores de fxi Para a função fx 1 x2 temos fx0 1 12 2 1414 fx1 1 062 136 1167 fx2 1 022 104 102 fx3 1 022 104 102 fx4 1 062 136 1167 fx5 1 12 2 1414 14 Aplicando a formula Agora aplicamos a formula da regra do trapezio T5 04 2 1414 21167 102 102 1167 1414 T5 02 1414 24374 1414 T5 02 1414 8748 1414 T5 02 11576 23152 Portanto a estimativa para a integral usando a regra do trapezio e I 23152 2 Questão 2 Use a regra de Simpson para estimar o valor da integral I 12 11x3 dx 21 Fórmula da regra de Simpson A fórmula da regra de Simpson é dada por Sn h3 fx0 4 i1 ímparn1 fxi 2 i2 parn2 fxi fxn 22 Dividindo o intervalo O intervalo de integração é 1 2 e dividimos este intervalo em dois subintervalos então h 212 05 Os pontos xi são x0 1 x1 15 x2 2 23 Calculando os valores de fxi A função é fx 11x3 Calculamos os valores nos pontos xi fx0 1113 12 05 fx1 11153 113375 14375 02286 fx2 1123 19 01111 24 Aplicando a fórmula Agora aplicamos a fórmula da regra de Simpson S2 053 05 402286 01111 S2 053 05 09144 01111 S2 053 15255 0762753 025425 Portanto a estimativa para a integral usando a regra de Simpson é I 025425 Questão 3 Usando o método dos mínimos quadrados encontre a reta que melhor se ajusta ao conjunto de dados 05 2 1 2 0 05 1 12 31 Fórmula da reta A equação da reta é dada por y ax b O método dos mínimos quadrados fornece as equações normais y a x bn xy a x2 b x onde n é o número de pontos de dados 32 Calculando as somas Vamos calcular as somas necessárias x 05 1 0 1 05 y 2 2 05 12 57 xy 052 12 005 112 1 2 0 12 18 x2 052 12 02 12 025 1 0 1 225 33 Resolvendo o sistema Agora substituímos os valores nas equações normais 57 a05 4b 18 a225 b05 Resolvendo o sistema obtemos a 069 b 161 Portanto a reta que melhor se ajusta aos dados é y 069x 161 Questão 4 Usando o método dos mínimos quadrados encontre a equação da parábola que melhor se ajusta ao conjunto de dados 128 213 11 139 035 062 059 105 123 161 139 219 41 Fórmula da parábola de ajuste A equação de uma parábola é da forma y ax2 bx c Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a b e c que minimizam o erro quadrático Para isso precisamos resolver o seguinte sistema de equações baseado nas somas de x x2 x3 x4 y xy e x2 y 42 Organizando os dados Os pontos fornecidos são 128 213 11 139 035 062 059 105 123 161 139 219 A partir desses pontos calculamos as somas Σ x 048 Σ x2 6764 Σ x3 128079 Σ x4 103545 Σ y 899 Σ xy 11715 Σ x2 y 12277723 43 Montando o sistema de equações As equações normais são 899 a 6764 b 048 c 6 11715 a 128079 b 6764 c 048 12277723 a 103545 b 128079 c 6764 44 Resolvendo o sistema Resolvendo o sistema encontramos a 0791 b 0020 c 0609 Portanto a equação da parábola é y 0791x2 0020x 0609