Cálculo Numérico

DIRETORIA DE TECNOLOGIAS NA EDUCAÇÃO SEGUNDA ATIVIDADE AVALIATIVA Questão 1 25 pts Use o método de GaussJacobi com 5 iterados para encontrar uma solução aproximada do sistema linear abaixo 05𝑥 01𝑦 02𝑧 1 01𝑥 𝑦 04𝑧 2 02𝑥 03𝑧 0 É possível garantir que a sequência gerada por esse método converge para a solução do sistema linear Justifique Questão 2 25 pts Em relação ao sistema linear 01𝑥 02𝑦 02𝑧 12 03𝑥 05𝑦 01𝑧 2 04𝑥 01𝑦 02𝑧 1 podemos garantir que o método de GaussSeidel gera uma sequência convergente para a solução do sistema dado Justifique Em seguida resolva o sistema linear Questão 3 25 pts Encontre um polinômio 𝑝𝑡 do segundo que satisfaz 𝑝1 𝑎 𝑝0 𝑏 e 𝑝1 𝑎 Em seguida calcule 𝑝𝑡𝑑𝑡 8 98 Questão 4 25 pts Usando o método de Lagrange encontre o polinômio interpolador para o conjunto de dados 1 3 0 1 1 5 1 Encontrando o polinˆomio pt Um polinˆomio do segundo grau tem a forma geral pt at2 bt c onde a b e c sao constantes As condicoes dadas para encontrar esses coefi cientes p1 a a12 b1 c a a b c a b c 0 1 p0 b a02 b0 c b c b 2 p1 a a12 b1 c a a b c a 2a b c 0 3 Substituindo 2 em 1 e 3 b b 0 2a b b 0 2a 2b 0 Simplificando a ultima equacao a b 0 4 Agora temos um sistema de duas equacoes com duas incognitas a b 0 c b Resolvendo esse sistema a b e c b Portanto o polinˆomio pt e pt bt2 bt b 1 Calculando a integral definida Calculando a integral definida de pt de 1 a 1 from 1 to 1 pt dt from 1 to 1 bt2 bt b dt b t33 b t22 bt from 1 to 1 b 133 b 122 b1 b 133 b 122 b1 b3 b2 b b3 b2 b b3 b2 b b3 b2 b 2b 2b3 4b3 A integral definida de pt de 1 a 1 é igual a 4b3 1 Isolando as variaveis Isolando cada variavel em uma das equacoes x 1 0 1y 0 2z 0 5 2 0 2y 0 4z y 2 0 1x 0 4z z 0 2x 0 3 2 3x 2 Chute inicial Chute inicial para comecar as iteracoes usando x0 y0 z0 0 0 0 3 Iteracao Aplicando as formulas iterativamente usando os valores da iteracao anterior para calcular os novos valores Iteracao 1 x1 2 0 20 0 40 2 y1 2 0 10 0 40 2 z1 2 30 0 Iteracao 2 x2 2 0 22 0 40 1 6 y2 2 0 12 0 40 2 2 z2 2 32 4 3 1 333 Iteracao 3 x3 2 0 22 2 0 44 3 2 133 y3 2 0 11 6 0 44 3 3 027 z3 2 31 6 1 067 Iteracao 4 x4 2 0 23 027 0 41 067 1 818 y4 2 0 12 133 0 41 067 2 640 z4 2 32 133 1 422 1 Iteracao 5 x5 2 0 22 640 0 41 422 2 041 y5 2 0 11 818 0 41 422 2 761 z5 2 31 818 1 212 4 Solucao aproximada Apos 5 iteracoes a solucao aproximada do sistema e x y z 2 041 2 761 1 212 Convergˆencia Para garantir a convergˆencia do metodo de GaussJacobi usamos o criterio das linhas Para cada linha da matriz de coeficientes o modulo do coeficiente da variavel isolada deve ser maior que a soma dos modulos dos outros coefi cientes Verificando o criterio para cada linha Linha 1 0 5 0 1 0 2 Linha 2 1 0 1 0 4 Linha 3 0 3 0 2 O criterio das linhas e satisfeito para todas as linhas Portanto podemos garan tir que a sequˆencia gerada pelo metodo de GaussJacobi converge para a solucao do sistema linear 2 Analisando a matriz dos coeficientes do sistema 0 1 0 2 0 2 0 3 0 5 0 1 0 4 0 1 0 2 Linha 1 0 1 0 2 0 2 Linha 2 0 5 0 3 0 1 Linha 3 0 2 0 4 0 1 Como a condicao de dominˆancia diagonal nao e satisfeita para todas as linhas nao podemos garantir que o metodo de GaussSeidel gere uma sequˆencia convergente para a solucao do sistema Resolvendo o sistema linear Mesmo que nao haja garantia de convergˆencia pelo metodo de GaussSeidel podemos resolver o sistema utilizando outros metodos como o metodo de elim inacao de Gauss Escalonamento da matriz aumentada 0 1 0 2 0 2 1 2 0 3 0 5 0 1 2 0 4 0 1 0 2 1 Multiplicando a primeira linha por 3 e somando a segunda linha 0 1 0 2 0 2 1 2 0 1 1 0 5 1 6 0 4 0 1 0 2 1 Multiplicando a primeira linha por 4 e somando a terceira linha 0 1 0 2 0 2 1 2 0 1 1 0 5 1 6 0 0 7 1 5 8 Substituicao regressiva Da terceira linha 0 7z 5 8 z 5 8 0 7 8 29 Da segunda linha 1 1y 0 5z 1 6 1 1 1y 0 5 8 29 1 6 1 1y 2 545 y 2 545 1 1 2 31 Da primeira linha 0 1x 0 2y 0 2z 1 2 0 1x 0 2 2 31 0 2 8 29 1 2 0 1x 0 038 x 0 38 Solucao x 0 38 y 2 31 z 8 29 2 1 Fórmula de Lagrange A fórmula geral para o polinômio interpolador de Lagrange é Px yi Lix onde yi é o valor da função no ponto xi Lix é o iésimo polinômio de Lagrange dado por Lix x xj xi xj para j i 2 Calculando os polinômios de Lagrange Para o conjunto de dados temos três pontos então o polinômio interpolador será de grau 2 Calculando cada Lix L0x L0x x 0x 1 1 01 1 x2 x 2 L1x L1x x 1x 1 0 10 1 x2 1 1 x2 1 L2x L2x x 1x 0 1 11 0 x2 x 2 3 Montando o polinômio interpolador Substituindo os valores de yi e Lix na fórmula geral Px 3 x2 x2 1x2 1 5 x2 x2 Simplificando a expressão Px 32x2 32x x2 1 52x2 52x Px 5x2 x 1 O polinômio interpolador para o conjunto de dados 1 3 0 1 1 5 usando o método de Lagrange é Px 5x2 x 1