Funções Contínuas - Definição, Exemplos e Continuidade Uniforme

Funcoes Contınuas ANALISE IAULAS VIRTUAIS Pr Edwin Oswaldo Salinas Reyes Universidade federal do oeste da Bahia CCET 0207 de junho de 2022 Salinas Reyes Edwin 1 19 Funcoes Contınuas 1 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Salinas Reyes Edwin 2 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme A ideia de funcao contınua e o tema central da Topologia O estudo de funcoes contınuas reais de uma variavel real que faremos neste capıtulo tem o duplo proposito de estabelecer os fatos e conceitos topologicos essenciais a Analise Salinas Reyes Edwin 3 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Definicao Uma funcao f X R dizse contınua no ponto a X quando e possıvel tornar f x arbitrariamente proximo de f a desde que se tome x suficientemente proximo de a Em termos precisos diremos que f X R e contınua no ponto a X quando para todo ϵ 0 dado arbitrariamente pudermos achar δ 0 tal que x X e x a δ impliquem f x f a ϵ Simbolicamente Para todo ϵ 0 existe δ 0 tal que x X x a δ f x f a ϵ Em termos de intervalos dado qualquer intervalo aberto J contendo f a existe um intervalo aberto I contendo a tal que f I X J Sempre que desejarmos podemos tomar J f a ϵ f a ϵ com ϵ 0 e I a δ a δ com δ 0 Diremos simplesmente que f X R e contınua quando f for contınua em todos os pontos de X Salinas Reyes Edwin 4 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Definicao Uma funcao f X R dizse contınua no ponto a X quando e possıvel tornar f x arbitrariamente proximo de f a desde que se tome x suficientemente proximo de a Em termos precisos diremos que f X R e contınua no ponto a X quando para todo ϵ 0 dado arbitrariamente pudermos achar δ 0 tal que x X e x a δ impliquem f x f a ϵSimbolicamente Para todo ϵ 0 existe δ 0 tal que x X x a δ f x f a ϵ Em termos de intervalos dado qualquer intervalo aberto J contendo f a existe um intervalo aberto I contendo a tal que f I X J Sempre que desejarmos podemos tomar J f a ϵ f a ϵ com ϵ 0 e I a δ a δ com δ 0 Diremos simplesmente que f X R e contınua quando f for contınua em todos os pontos de X Salinas Reyes Edwin 4 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Definicao Uma funcao f X R dizse contınua no ponto a X quando e possıvel tornar f x arbitrariamente proximo de f a desde que se tome x suficientemente proximo de a Em termos precisos diremos que f X R e contınua no ponto a X quando para todo ϵ 0 dado arbitrariamente pudermos achar δ 0 tal que x X e x a δ impliquem f x f a ϵSimbolicamente Para todo ϵ 0 existe δ 0 tal que x X x a δ f x f a ϵ Em termos de intervalos dado qualquer intervalo aberto J contendo f a existe um intervalo aberto I contendo a tal que f I X J Sempre que desejarmos podemos tomar J f a ϵ f a ϵ com ϵ 0 e I a δ a δ com δ 0 Diremos simplesmente que f X R e contınua quando f for contınua em todos os pontos de X Salinas Reyes Edwin 4 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Observacao Ao contrario da definicao de limite so faz sentido indagar se f e contınua no ponto a quando a X Se a e um ponto isolado de X entao toda funcao f X R e contınua no ponto a Dado qualquer ϵ 0 basta tomar δ 0 tal que a δ a δ X a Entao xa δ com x X implica x a e portanto f x f a 0 ϵ Em particular se todos os pontos de X sao isolados entao qualquer funcao f X R e contınua Seja agora a X um ponto de acumulacao de X Entao f X R e contınua no ponto a se e somente se limxa f x f a Isto reduz essencialmente a nocao de funcao contınua a de limite Reciprocamente poderıamos definir limxa f x L pela condicao de ser contınua no ponto a a funcao g X a R onde ga L e gx f x para x X a Salinas Reyes Edwin 5 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Observacao Ao contrario da definicao de limite so faz sentido indagar se f e contınua no ponto a quando a X Se a e um ponto isolado de X entao toda funcao f X R e contınua no ponto a Dado qualquer ϵ 0 basta tomar δ 0 tal que a δ a δ X a Entao xa δ com x X implica x a e portanto f x f a 0 ϵ Em particular se todos os pontos de X sao isolados entao qualquer funcao f X R e contınua Seja agora a X um ponto de acumulacao de X Entao f X R e contınua no ponto a se e somente se limxa f x f a Isto reduz essencialmente a nocao de funcao contınua a de limite Reciprocamente poderıamos definir limxa f x L pela condicao de ser contınua no ponto a a funcao g X a R onde ga L e gx f x para x X a Salinas Reyes Edwin 5 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Observacao Ao contrario da definicao de limite so faz sentido indagar se f e contınua no ponto a quando a X Se a e um ponto isolado de X entao toda funcao f X R e contınua no ponto a Dado qualquer ϵ 0 basta tomar δ 0 tal que a δ a δ X a Entao xa δ com x X implica x a e portanto f x f a 0 ϵ Em particular se todos os pontos de X sao isolados entao qualquer funcao f X R e contınua Seja agora a X um ponto de acumulacao de X Entao f X R e contınua no ponto a se e somente se limxa f x f a Isto reduz essencialmente a nocao de funcao contınua a de limite Reciprocamente poderıamos definir limxa f x L pela condicao de ser contınua no ponto a a funcao g X a R onde ga L e gx f x para x X a Salinas Reyes Edwin 5 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Exemplo Toda funcao f Z R e contınua porque todo ponto de Z e isolado Pela mesma razao toda funcao definida no conjunto X 1 12 1n e contınua Por outro lado se Y 0 1 12 1n entao uma funcao f Y R e contınua se e somente se e contınua no ponto 0 Em outras palavras f 0 limnf 1n As proposicoes que enunciamos decorrem imediatamente dos fatos analogos demonstrados para limites no topico anterior Salinas Reyes Edwin 6 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Exemplo Toda funcao f Z R e contınua porque todo ponto de Z e isolado Pela mesma razao toda funcao definida no conjunto X 1 12 1n e contınua Por outro lado se Y 0 1 12 1n entao uma funcao f Y R e contınua se e somente se e contınua no ponto 0 Em outras palavras f 0 limnf 1n As proposicoes que enunciamos decorrem imediatamente dos fatos analogos demonstrados para limites no topico anterior Salinas Reyes Edwin 6 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Toda restricao de uma funcao contınua e contınua Mais precisamente seja f X R contınua no ponto a X Se a Y X e g f Y entao g Y R e contınua no ponto a Quando Y I X onde I e um intervalo aberto contendo a entao vale a recıproca se g f Y e contınua no ponto a entao f X R tambem e contınua no ponto a A ultima parte do Teorema diz que a continuidade de uma funcao f e um fenˆomeno local ou seja se f coincide nas proximidades do ponto a com uma funcao que e contınua em a entao f tambem e contınua nesse ponto Coincidir com uma funcao contınua nas proximidades de a significa que para um certo intervalo aberto I contendo a a restricao f I X e contınua no ponto a Salinas Reyes Edwin 7 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Toda restricao de uma funcao contınua e contınua Mais precisamente seja f X R contınua no ponto a X Se a Y X e g f Y entao g Y R e contınua no ponto a Quando Y I X onde I e um intervalo aberto contendo a entao vale a recıproca se g f Y e contınua no ponto a entao f X R tambem e contınua no ponto a A ultima parte do Teorema diz que a continuidade de uma funcao f e um fenˆomeno local ou seja se f coincide nas proximidades do ponto a com uma funcao que e contınua em a entao f tambem e contınua nesse ponto Coincidir com uma funcao contınua nas proximidades de a significa que para um certo intervalo aberto I contendo a a restricao f I X e contınua no ponto a Salinas Reyes Edwin 7 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Toda restricao de uma funcao contınua e contınua Mais precisamente seja f X R contınua no ponto a X Se a Y X e g f Y entao g Y R e contınua no ponto a Quando Y I X onde I e um intervalo aberto contendo a entao vale a recıproca se g f Y e contınua no ponto a entao f X R tambem e contınua no ponto a A ultima parte do Teorema diz que a continuidade de uma funcao f e um fenˆomeno local ou seja se f coincide nas proximidades do ponto a com uma funcao que e contınua em a entao f tambem e contınua nesse ponto Coincidir com uma funcao contınua nas proximidades de a significa que para um certo intervalo aberto I contendo a a restricao f I X e contınua no ponto a Salinas Reyes Edwin 7 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Se f X R e contınua no ponto a X entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existe δ 0 tal que pondo Uδ X a δ a δ o conjunto f Uδ e limitado Teorema Se f g X R sao contınuas no ponto a X e f a ga entao existe δ 0 tal que f x gx para todo x X com x a δ Corolario Sejam f X R contınua no ponto a X e k R uma constante Se f a k entao existe δ 0 tal que f x k para todo x X com x a δ Salinas Reyes Edwin 8 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Se f X R e contınua no ponto a X entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existe δ 0 tal que pondo Uδ X a δ a δ o conjunto f Uδ e limitado Teorema Se f g X R sao contınuas no ponto a X e f a ga entao existe δ 0 tal que f x gx para todo x X com x a δ Corolario Sejam f X R contınua no ponto a X e k R uma constante Se f a k entao existe δ 0 tal que f x k para todo x X com x a δ Salinas Reyes Edwin 8 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Se f X R e contınua no ponto a X entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existe δ 0 tal que pondo Uδ X a δ a δ o conjunto f Uδ e limitado Teorema Se f g X R sao contınuas no ponto a X e f a ga entao existe δ 0 tal que f x gx para todo x X com x a δ Corolario Sejam f X R contınua no ponto a X e k R uma constante Se f a k entao existe δ 0 tal que f x k para todo x X com x a δ Salinas Reyes Edwin 8 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme O corolario do Teorema anterior e um fato simples porem extremamente importante nas aplicacoes Vale a pena portanto dar sua demonstracao explıcita Eila Sendo f a k tomamos ϵ k f a 0 Pela definicao de funcao contınua a este ϵ corresponde um δ 0 tal que x X x a δ f a ϵ f x f a ϵ Mas f a ϵ k Logo todo ponto x X cuja distˆancia ao ponto a seja menor do que δ cumpre f x k Evidentemente um resultado analogo e valido se f a k existe δ 0 tal que x X e x a δ f x k O mesmo se da para f a k deve existir δ 0 tal que x X e x a δ f x k Com efeito se f a k temse f a k ou entao f a k Aplicase entao um dos dois resultados anteriores Salinas Reyes Edwin 9 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme O corolario do Teorema anterior e um fato simples porem extremamente importante nas aplicacoes Vale a pena portanto dar sua demonstracao explıcita Eila Sendo f a k tomamos ϵ k f a 0 Pela definicao de funcao contınua a este ϵ corresponde um δ 0 tal que x X x a δ f a ϵ f x f a ϵ Mas f a ϵ k Logo todo ponto x X cuja distˆancia ao ponto a seja menor do que δ cumpre f x k Evidentemente um resultado analogo e valido se f a k existe δ 0 tal que x X e x a δ f x k O mesmo se da para f a k deve existir δ 0 tal que x X e x a δ f x k Com efeito se f a k temse f a k ou entao f a k Aplicase entao um dos dois resultados anteriores Salinas Reyes Edwin 9 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme O corolario do Teorema anterior e um fato simples porem extremamente importante nas aplicacoes Vale a pena portanto dar sua demonstracao explıcita Eila Sendo f a k tomamos ϵ k f a 0 Pela definicao de funcao contınua a este ϵ corresponde um δ 0 tal que x X x a δ f a ϵ f x f a ϵ Mas f a ϵ k Logo todo ponto x X cuja distˆancia ao ponto a seja menor do que δ cumpre f x k Evidentemente um resultado analogo e valido se f a k existe δ 0 tal que x X e x a δ f x k O mesmo se da para f a k deve existir δ 0 tal que x X e x a δ f x k Com efeito se f a k temse f a k ou entao f a k Aplicase entao um dos dois resultados anteriores Salinas Reyes Edwin 9 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Suponhamos agora que f seja contınua em todos os pontos de X e consideremos o conjunto A dos pontos a X tais que f a k ou seja A a X f a k Que se pode dizer sobre A Pelo que vimos para cada ponto a A existe um intervalo aberto Ia a δ a δ tal que x Ia X f x k Isto significa que a Ia X A para todo a A Seja U αAIa Entao U e um conjunto aberto e a U X A para todo a A ou seja A U X A em suma A U X Em particular quando X e aberto o conjunto A e aberto como intersecao A U X de dois abertos Salinas Reyes Edwin 10 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Suponhamos agora que f seja contınua em todos os pontos de X e consideremos o conjunto A dos pontos a X tais que f a k ou seja A a X f a k Que se pode dizer sobre A Pelo que vimos para cada ponto a A existe um intervalo aberto Ia a δ a δ tal que x Ia X f x k Isto significa que a Ia X A para todo a A Seja U αAIa Entao U e um conjunto aberto e a U X A para todo a A ou seja A U X A em suma A U X Em particular quando X e aberto o conjunto A e aberto como intersecao A U X de dois abertos Salinas Reyes Edwin 10 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Para que f X R seja contınua no ponto a X e necessario e suficiente que se tenha lim f xn f a para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a Corolario Para que f seja contınua no ponto a e necessario que exista lim f xn e independa de sequˆencia de numeros xn X com lim xn a Corolario A fim de que f seja contınua no ponto a e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a exista lim f xn Salinas Reyes Edwin 11 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Para que f X R seja contınua no ponto a X e necessario e suficiente que se tenha lim f xn f a para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a Corolario Para que f seja contınua no ponto a e necessario que exista lim f xn e independa de sequˆencia de numeros xn X com lim xn a Corolario A fim de que f seja contınua no ponto a e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a exista lim f xn Salinas Reyes Edwin 11 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Para que f X R seja contınua no ponto a X e necessario e suficiente que se tenha lim f xn f a para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a Corolario Para que f seja contınua no ponto a e necessario que exista lim f xn e independa de sequˆencia de numeros xn X com lim xn a Corolario A fim de que f seja contınua no ponto a e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a exista lim f xn Salinas Reyes Edwin 11 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Dadas as funcoes f g X R sabemos definir novas funcoes f g X R f g X R f g X R e f g X0 R onde X0 X g10 x X gx 0 Temos f gx f x gx f gx f xgx f gx f xgx e f gx f xgx Teorema Se f g X R sao contınuas no ponto a X entao f g f g e f g sao contınuas nesse mesmo ponto Se ga 0 entao f g tambem e contınua no ponto a Em particular se f e contınua no ponto a entao c f e contınua no mesmo ponto para qualquer c R Tambem o mesmo ocorre com 1f se f a 0 Salinas Reyes Edwin 12 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Dadas as funcoes f g X R sabemos definir novas funcoes f g X R f g X R f g X R e f g X0 R onde X0 X g10 x X gx 0 Temos f gx f x gx f gx f xgx f gx f xgx e f gx f xgx Teorema Se f g X R sao contınuas no ponto a X entao f g f g e f g sao contınuas nesse mesmo ponto Se ga 0 entao f g tambem e contınua no ponto a Em particular se f e contınua no ponto a entao c f e contınua no mesmo ponto para qualquer c R Tambem o mesmo ocorre com 1f se f a 0 Salinas Reyes Edwin 12 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme A composta de duas funcoes contınuas e contınua Ou seja se f X R e g Y R sao contınuas nos pontos a X b f a Y respectivamente e alem disso f X Y entao g f X R e contınua no ponto a A restricao de uma funcao contınua g Y R a um subconjunto X Y e um caso particular de funcao composta temos gX g f onde f X Y e a inclusao isto e f x x para todo x X Salinas Reyes Edwin 13 19 Seja f X ℝ contínua Dado ε 0 podemos para cada a X obter δ 0 que depende de ε e de a tal que x a δ fx fa ε Em geral não é possível obter a partir do ε 0 dado um único δ 0 que sirva para todos os pontos a X Seja f 0 ℝ fx 1x Dado ε 0 mostraremos que não se pode escolher δ 0 tal que x a δ 1x 1a ε seja qual for a 0 Com efeito dado ε 0 suponhamos escolhido δ 0 Tomemos um número positivo a tal que 0 a δ e 0 a 13ε Então para x a δ2 temos x a δ mas 1x 1a 1a δ2 1a 22a δ 1a δ2a δa δ3δa 13a ε Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Exemplo Seja f R R definida por f x cx d com c 0 Dado ϵ 0 escolhamos δ ϵ c Entao qualquer que seja a R temos x a δ f x f a cx d ca d cx ca cx a cδ ϵ Neste caso foi possıvel a partir do ϵ dado obter um δ 0 que servisse para todos os pontos a do domınio de f Definicao Uma funcao f X R dizse uniformemente contınua quando para cada ϵ 0 existe δ 0 tal que x y X x y δ f x f y ϵ E obvio que toda funcao uniformemente contınua e contınua Mas a recıproca nao vale Salinas Reyes Edwin 15 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Exemplo Seja f R R definida por f x cx d com c 0 Dado ϵ 0 escolhamos δ ϵ c Entao qualquer que seja a R temos x a δ f x f a cx d ca d cx ca cx a cδ ϵ Neste caso foi possıvel a partir do ϵ dado obter um δ 0 que servisse para todos os pontos a do domınio de f Definicao Uma funcao f X R dizse uniformemente contınua quando para cada ϵ 0 existe δ 0 tal que x y X x y δ f x f y ϵ E obvio que toda funcao uniformemente contınua e contınua Mas a recıproca nao vale Salinas Reyes Edwin 15 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Exemplo Seja f R R definida por f x cx d com c 0 Dado ϵ 0 escolhamos δ ϵ c Entao qualquer que seja a R temos x a δ f x f a cx d ca d cx ca cx a cδ ϵ Neste caso foi possıvel a partir do ϵ dado obter um δ 0 que servisse para todos os pontos a do domınio de f Definicao Uma funcao f X R dizse uniformemente contınua quando para cada ϵ 0 existe δ 0 tal que x y X x y δ f x f y ϵ E obvio que toda funcao uniformemente contınua e contınua Mas a recıproca nao vale Salinas Reyes Edwin 15 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Assim a funcao contınua f 0 R definida por f x 1 x nao e uniformemente contınua pois como vimos no exemplo anterior dado ϵ 0 seja qual for δ 0 podemos encontrar x y no domınio de f com x y δ e f x f y ϵ Por outro lado a funcao f R R definida por f x cx d e uniformemente contınua como vimos no Exemplo anterior Observacao A fim de que f X R nao seja uniformemente contınua e necessario e suficiente que exista ϵ 0 com a seguinte propriedade para cada δ 0 podemse obter xδ yδ X tais que xδ yδ δ mas f xδ f yδ ϵ Salinas Reyes Edwin 16 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Assim a funcao contınua f 0 R definida por f x 1 x nao e uniformemente contınua pois como vimos no exemplo anterior dado ϵ 0 seja qual for δ 0 podemos encontrar x y no domınio de f com x y δ e f x f y ϵ Por outro lado a funcao f R R definida por f x cx d e uniformemente contınua como vimos no Exemplo anterior Observacao A fim de que f X R nao seja uniformemente contınua e necessario e suficiente que exista ϵ 0 com a seguinte propriedade para cada δ 0 podemse obter xδ yδ X tais que xδ yδ δ mas f xδ f yδ ϵ Salinas Reyes Edwin 16 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Assim a funcao contınua f 0 R definida por f x 1 x nao e uniformemente contınua pois como vimos no exemplo anterior dado ϵ 0 seja qual for δ 0 podemos encontrar x y no domınio de f com x y δ e f x f y ϵ Por outro lado a funcao f R R definida por f x cx d e uniformemente contınua como vimos no Exemplo anterior Observacao A fim de que f X R nao seja uniformemente contınua e necessario e suficiente que exista ϵ 0 com a seguinte propriedade para cada δ 0 podemse obter xδ yδ X tais que xδ yδ δ mas f xδ f yδ ϵ Salinas Reyes Edwin 16 19 Seja f X ℝ lipschitziana Isto significa que existe uma constante c 0 tal que xy X fx fy cx y Então f é uniformemente contínua Exemplo Seja f X ℝ lipschitziana Isto significa que existe uma constante c 0 tal que xy X fx fy cx y Então f é uniformemente contínuadado ϵ 0 basta tomar δ ϵc Uma função linear fx cx d é lipschitziana em toda a reta com constante c A função f X ℝ fx x² é lipschitziana se X for limitado Exemplo Seja f X ℝ lipschitziana Isto significa que existe uma constante c 0 tal que xy X fx fy cx y Então f é uniformemente contínuadado ϵ 0 basta tomar δ ϵc Uma função linear fx cx d é lipschitziana em toda a reta com constante c A função f X ℝ fx x² é lipschitziana se X for limitado Por exemplo se tivermos x A para todo x X então dados xy X quaisquer vale fx fy x² y² x yx y 2Ax y Basta tomar c 2A Por outro lado se X ℝ fx x² não é sequer uniformemente contínua Com efeito seja ϵ 1 Qualquer que seja δ 0 escolhido podemos tomar x 1δ e y x δ2 Então x y δ mas fx fy x δ2² x² xδ δ²4 xδ 1 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Seja f X R uniformemente contınua Se xn e uma sequˆencia de Cauchy em X entao f xn e uma sequˆencia de Cauchy Corolario Seja f X R uniformemente contınua Para todo a X existe limxa f x As funcoes f g 0 1 R f x sen1x gx 1x nao sao uniformemente contınuas pois nao possuem limite quando x 0 Salinas Reyes Edwin 18 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Seja f X R uniformemente contınua Se xn e uma sequˆencia de Cauchy em X entao f xn e uma sequˆencia de Cauchy Corolario Seja f X R uniformemente contınua Para todo a X existe limxa f x As funcoes f g 0 1 R f x sen1x gx 1x nao sao uniformemente contınuas pois nao possuem limite quando x 0 Salinas Reyes Edwin 18 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Seja f X R uniformemente contınua Se xn e uma sequˆencia de Cauchy em X entao f xn e uma sequˆencia de Cauchy Corolario Seja f X R uniformemente contınua Para todo a X existe limxa f x As funcoes f g 0 1 R f x sen1x gx 1x nao sao uniformemente contınuas pois nao possuem limite quando x 0 Salinas Reyes Edwin 18 19 Funcoes Contınuas Definicao e Exemplos Continuidade Uniforme Teorema Seja X compacto Toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua Salinas Reyes Edwin 19 19