Plano de Ensino Algebra I e Estruturas Algebricas UFOB 2022-1

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA Plano de Ensino IDENTIFICAÇÃO CAMPUS CAMPUS REITOR EDGARD SANTOS CENTRO CENTRO DAS CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS CURSOS MATEMÁTICA CRES LICENCIATURA MATEMÁTICA CRES BACHARELADO MODALIDADE Presencial ÁREAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PRÉREQUISITOS COMPONENTE CURRICULAR ÁLGEBRA I ESTRUTURAS ALGÉBRICAS ANO SEMESTRE 20221 ANO SEMESTRE DE INGRESSO DA TURMA CARGA HORÁRIA 50 C H TEÓRICA 50 C H PRÁTICA 0 TURNO Tarde TURMA CET0001 ÁLGEBRA I ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 50h Turma 1 20221 COORDENAÇÃO CURSOS LAURICLÉCIO FIGUEREDO LOPES MATEMÁTICA CRES LICENCIATURA SAMARA COSTA LIMA MATEMÁTICA CRES BACHARELADO DOCENTES SILVINA ALEJANDRA ALDERETE EMENTA Operação Binária e Relação Grupos e Subgrupos Homomorfismo e Isomorfismo de Grupo Classes Laterais Anéis subanéis Corpo e subcorpo Homomorfismo e Isomorfismo de Anel OBJETIVO DO COMPONENTE CURRICULAR OBJETIVO GERAL Explorar os conceitos básicos da álgebra abstrata tais como as noções de grupo anel e corpo OBJETIVOS ESPECÍFICOS A disciplina deverá possibilitar ao estudante Compreender os principais conceitos e resultados relacionados ao conteúdo Desenvolver a capacidade de abstração e melhorar a capacidade para formalismo matemático Interpretar e resolver problemas que envolvam o conteúdo da ementa RECURSOS Serão utilizados os seguintes recursos internet webcam mesa digitalizadora slides e a plataforma Microsoft Oficce 365 Todas as aulas serão síncronas por meio da aplicação Teams da plataforma Microsoft Oficce 365 CONTEÚDOS OPERAÇÃO BINÁRIA E RELAÇÃO Operação Binária definição e exemplos Propriedades da Operação Binária Relação definição exemplos e representação Propriedades da Relação Relação de Equivalência Relação de Ordem Classe de Equivalência Conjunto Quociente Operação conceito e propriedades elemento neutro e elemento simétrico Tábua de operação GRUPOS Grupo definição e exemplos Propriedades do grupo Grupos finitos e ordem do grupo Subgrupos Homomorfismos de Grupos Definição e propriedades Núcleo de um homomorfismo ANÉIS E CORPOS Anel Definição e exemplos Propriedades e classificação Tipos de Anéis anéis comutativos e não comutativos anéis com unidade anéis de integridade Corpo definição e exemplos Propriedades e subcorpo Subcorpo Homomorfismo de anéis Núcleo de um homomorfismo de anéis Isomorfismo e automorfismo de anéis METODOLOGIA Aulas síncronas As aulas serão teóricas expositivas e dialogadas feitas no ambiente virtual Os alunos realizarão atividades na sala virtual listas de exercícios e apresentações CRONOGRAMA DE AULAS CRONOGRAMA SEMANAL DE AULAS Início Fim Descrição 18032022 22042022 OPERAÇÃO BINÁRIA E RELAÇÃO Operação Binária definição e exemplos Propriedades da Operação Binária 25032022 25032022 Relação definição exemplos e representação Propriedades da Relação 01042022 01042022 Propriedades da Relação Relação de Equivalência MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA CRONOGRAMA DE AULAS CRONOGRAMA SEMANAL DE AULAS Início Fim Descrição 08042022 08042022 Relação de Equivalência Relação de Ordem Classe de Equivalência 15042022 15042022 Classe de Equivalência Conjunto Quociente Operação conceito e propriedades elemento neutro e elemento simétrico 22042022 22042022 Operação conceito e propriedades elemento neutro e elemento simétrico Tábua de operação Dúvidas e revisão para a prova 29042022 29042022 Prova 1 06052022 03062022 GRUPOS Definição e exemplos Propriedades do grupo 13052022 13052022 Grupos finitos e ordem do grupo 20052022 20052022 Subgrupos 27052022 27052022 Homomorfismos de Grupos Definição e propriedades 03062022 03062022 Núcleo de um homomorfismo Dívidas e revisão para a prova 10062022 10062022 Prova 2 17062022 15072022 ANÉIS E CORPOS Anel Definição e exemplos Propriedades e classificação 24062022 24062022 Tipos de Anéis anéis comutativos e não comutativos anéis com unidade anéis de integridade 01072022 01072022 Corpo definição e exemplos Propriedades e subcorpo 08072022 08072022 Propriedades e subcorpo Subcorpo Homomorfismo de anéis 15072022 15072022 Núcleo de um homomorfismo de anéis Isomorfismo e automorfismo de anéis 22072022 22072022 Prova 3 29072022 29072022 Segunda chamada AVALIAÇÃO INSTRUMENTOS A SEREM USADOS PELO DOCENTE A Internet webcam plataforma Microsoft 365 aplicativo Teams email CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Serão realizadas quatro avaliações sendo três prova P1 P2 e P3 individuais e escritas ao vivo com câmera ligada e gravadas e a quarta P4 será uma avaliação de participação e de atividades propostas no decorrer do período letivo A média final MF será calculada da seguinte forma MF 02 P1 03 P2 04 P3 01 P4 O aluno será aprovado se obtiver nota igual ou superior a 5 cinco e se tiver 75 ou mais da frequência nas aulas Será reprovado o aluno que ultrapassar 25 de ausência no geral das aulas A segunda chamada deverá ser solicitada ao docente em até 06 seis dias após a realização de cada prova individual e escrita P1 P2 ou P3 AVALIAÇÕES CRONOGRAMA DE AVALIAÇÕES Data Hora Descrição 29042022 1350 hs a 15 1ª Avaliação BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA BÁSICA Tipo de material Descrição Livro Lang Serge Algebra Spriger 2002 Livro Lentin A e Rivaud J Álgebra Moderna Aguilar 1970 Livro Iezzi Gelson e Domingues Hygino H Álgebra Moderna Atual 1982 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR Tipo de material Descrição BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR Tipo de material Descrição Livro Fraleigh Jonh B A First Course in Abstract Algebra AddisonWesley 2002 Livro Hungerford Thomas W Algebra Springer 1973 Livro Hernstein I N Tópicos de Álgebra Polígono 1970 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Tipo de material Descrição Livro Hungerford Thomas W Algebra Springer 1973 Livro Hernstein I N Tópicos de Álgebra Polígono 1970 OBSERVAÇÕES P2 10 06 2022 P3 22 07 2022 Segunda chamada 29072022 Barreiras BA 2 de Março de 2022 ASSINATURAS Docentes SILVINA ALEJANDRA ALDERETE LISTA 4 UFOB ÁLGEBRA I Exercício 1 Determine se cada conjunto G com operação binária dada define um grupo abeliano i Gx Zx 0 a b a b a b G ii G5xx Z a b a b a b G iii Sejam x Z e Gx a b ab a b G iv G2 1 1 2 a b ab a b G v Gxx Z5 a b a b a b G vi Gxx Z6 a b ab a b G Exercício 2 Seja Gx Rx 1 Defina em G a operação binária dada por a b a b ab Verifique que G é um grupo Exercício 3 Seja Gx Rx 0 Defina em G a operação binária dada por a b ab Determine se G é grupo Exercício 4 Seja Ea b c d munido da operação binária dada pela tábua dabc dda bc aadcbbcd a cba d Mostre que E é um grupo determine quem é o elemento neutro e os elementos simétricos de cada elemento de E Se verifica a propriedade comutativa Exercício 5 Mostre que se G1 1 e G2 2 são grupos então G1 x G2 é um grupo com a operação binária definida por a1 b1 a2 b2 a1 1 a2 b1 2 b2 Exercício 6 Seja Z2 um grupo abeliano Escreva a tábua que descreve a operação em Z2 x Z2 Exercício 7 Descrever o conjunto das simétrias de um triângulo e escrever a tábua que descreve a operação entre seus elementos Exercício 8 Descrever o conjunto das simétrias de um quadrado e escrever a tábua que descreve a operação entre seus elementos Este grupo é o grupo diedral D4 Quantos elementos possui Exercício 9 Escrever todos os elementos do grupo simétrico de 4 letras S4 Este grupo é abeliano Exercício 10 Seja Q8 um grupo onde Q81 1 i j k i j k e seus elementos verificam que i2j2k21 ijkji jkikj kijik Escrever a tábua que descreve a operação entre seus elementos Determine o elemento simétrico de cada elemento de Q8 O grupo é comutativo Exercício 11 Escrever a tábua que descreve a operação entre os elementos de Z6 Z7 Z6 Z7 Z7 Z6 Z7 Cada par representa um grupo Justifique sua resposta em cada caso Exercício 12 Mostre que o conjunto das matrizes quadradas triangulares superiores de ordem 3 com entradas reais forma um grupo com a soma usual de matrizes LISTA 5 UFOB ÁLGEBRA I Exercício 1 Determine todos os subgrupos de Z6 e Z8 faça o retículo dos subgrupos para cada grupo Exercício 2 Determine todos os subgrupos de S3 e de D4 Mostre o retículo dos subgrupos para cada grupo Exercício 3 Dados H e K subgrupos do grupo G determine se H K é um subgrupo de G Mostre ou apresente um contraexemplo Exercício 4 Mostre que 7Z e 3Z são subgrupos de Z Exercício 5 Mostre que o conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem 3 x 3 é um subgrupo do grupo das matrizes de ordem 3 x 3 com entradas reais com a soma Exercício 6 Mostre que se H é um subgrupo do grupo G e x G então xHx1 é um subgrupo de G Exercício 7 Apresentar exemplos de grupos cíclicos finitos e infinitos e seus geradores Exercício 8 Dados H e K subgrupos do grupo G mostre que H K é um subgrupo de G se e somente se H K ou H K Exercício 9 Dador α 1 2 3 4 5 6 4 2 1 3 6 5 S6 Determine o subgrupo gerado por α em S6 Exercício 10 Determine se Z7 e Z8 são grupos cíclicos Calcule a ordem dos elemento de cada grupo Exercício 11 Determine os subgrupos cíclicos de S3 e de D4 Calcule a ordem dos elemento de cada grupo Exercício 12 Dado um grupo G mostre que o conjunto ZGg Ggxxgx G é um subgrupo de G O subgrupo ZG é abeliano O conjunto ZG é chamado centro do grupo G Exercício 13 Dado o subconjunto Ve f g h de S4 dado por e 1 2 3 4 1 2 3 4 f 1 2 3 4 2 1 4 3 g 1 2 3 4 3 4 1 2 h 1 2 3 4 4 3 2 1 a Mostre que V é um subgrupo de S4 b Mostre que V é um subgrupo abeliano não cíclico Exercício 14 Seja R o grupo dos números reais positivos com o produto usual dos números reais Q é um subgrupo de R Justifique Exercício 15 D6 é um grupo cíclico Encontre a ordem de cada elemento Exercício 16 Seja G um grupo de ordem 2p com p primo mostre que todo subgrupo proprio de G é cíclico Exercício 17 Seja G um grupo Mostre que a interseção de todos os subgrupos de G é também um subgrupo de G Exercício 18 Seja G um grupo e a G um elemento fixo de G Mostre que o conjunto Hg Gg aa g é um subgrupo de G Lista 6 Algebra I 1 Mostre que todos os grupos de ordem 2 ou 3 é cíclicos 2 Apresente dois grupos de ordem 4 um que seja cíclico e outro não 3 Mostre que Zm é cíclico m N m 1 4 Seja G um grupo cíclico de ordem k 0 Se d é um divisor positivo de k mostre que existe um subgrupo cíclico de ordem kd 5 Determinar todos os classes laterais de H 0 2 nos grupos Z4 6 Determinar todos os classes laterais de 3Z nos grupos aditivos Z 7 Dado S3 o o grupo de permutacoes de 3 letras Determine todos os classes laterais de subgrupos H de S3 sendo H 1 2 3 1 3 8 Sejam Z Z1 um grupo e Z x e Z um subgrupo de Z x Z Determine se o número de classes laterias de Z x e Z em Z x Z é finita ou infinita Justifique a Se G é um grupo finito tal que Gpm onde p é primo m1 e m N Mostre que a ordem de todo elemento é uma potência de p bi Mostre que H x 0 0 x x R 0 é um subgrupo de Gl2R ii Determine se existem finitos ou infinitos classes laterais de H em G 41 Sejam H e K sub grupos de um grupo G tais que Hp e Kq com p e q primos distintos Mostre que H KeG