Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra I - Grupos e Subgrupos UFOB

LISTA 4 UFOB ALGEBRA I Exercıcio 1 Determine se cada conjunto G com operacao binaria dada define um grupo abeliano i G x Zx 0 a b a b a b G ii G 5xx Z a b a b a b G iii Sejam x Z e G x a b ab a b G iv G 2 1 1 2 a b ab a b G v G xx Z5 a b a b ab G vi G xx Z6 a b ab ab G Exercıcio 2 Seja G x Rx 1 Defina em G a operacao binaria dada por ab abab Verifique que G e um grupo Exercıcio 3 Seja G x Rx 0 Defina em G a operacao binaria dada por a b ab Determine se G e grupo Exercıcio 4 Seja E a b c d munido da operacao binaria dada pela tabua d a b c d d a b c a a d c b b b c d a c c b a d Mostre que E e um grupo determine quem e o elemento neutro e os elementos simetricos de cada elemento de E Se verifica a propriedade comutativa Exercıcio 5 Mostre que se G1 1 e G2 2 sao grupos entao G1 G2 e um grupo com a operacao binaria definida por a1 b1 a2 b2 a1 1 a2 b1 2 b2 Exercıcio 6 Seja Z2 um grupo abeliano Escreva a tabua que descreve a operacao em Z2 Z2 Exercıcio 7 Descrever o conjunto das simetrias de um triˆangulo e escrever a tabua que descreve a operacao entre seus elementos Exercıcio 8 Descrever o conjunto das simetrias de um quadrado e escrever a tabua que descreve a operacao entre seus elementos Este grupo e o grupo diedral D4 Quantos elementos possui Exercıcio 9 Escrever todos os elementos do drupo simetrico de 4 letras S4 Este grupo e abeliano Exercıcio 10 Seja Q8 um grupo onde Q8 1 1 i j k i j k e seus elementos verificam que i2 j2 k2 1 ij k ji jk i kj ki j ik Escrever a tabua que descreve a opracao entre seus elementos Determine o elemento simetrico de cada elemento de Q8 O grupo e comutativo Exercıcio 11 Escrever a tabua que descreve a opracao entre os elementos de Z6 Z7 Z6 Z7 Z 6 Z 7 Z 6 Z 7 Cada par representa um grupo Justifique sua resposta em cada caso Exercıcio 12 Mostre que o conjunto das matrizes quadradas triangulares superiores de ordem 3 com entradas reais forma um grupo com a soma usual de matrizes 1 LISTA 5 UFOB ÁLGEBRA I Exercício 1 Determine todos os subgrupos de Z6 e Z8 faça o retículo dos subgrupos para cada grupo Exercício 2 Determine todos os subgrupos de S3 e de D4 Mostre o retículo dos subgrupos para cada grupo Exercício 3 Dados H e K subgrupos do grupo G determine se H K é um subgrupo de G Mostre ou apresente um contraexemplo Exercício 4 Mostre que 7Z e 3Z são subgrupos de Z Exercício 5 Mostre que o conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem 3 x 3 é um subgrupo do grupo das matrizes de ordem 3 x 3 com entradas reais com a soma Exercício 6 Mostre que se H é um subgrupo do grupo G e x G então xHx1 é um subgrupo de G Exercício 7 Apresentar exemplos de grupos cíclicos finitos e infinitos e seus geradores Exercício 8 Dados H e K subgrupos do grupo G mostre que H K é um subgrupo de G se e somente se H K ou H K Exercício 9 Dador α1 2 3 4 4 2 1 3 6 5 S6 Determine o subgrupo gerado por α em S6 Exercício 10 Determine se Z7 e Z8 são grupos cíclicos Calcule a ordem dos elemento de cada grupo Exercício 11 Determine os subgrupos cíclicos de S3 e de D4 Calcule a ordem dos elemento de cada grupo Exercício 12 Dado um grupo G mostre que o conjunto ZGg G gx xg x G é um subgrupo de G O subgrupo ZG é abeliano O conjunto ZG é chamado centro do grupo G Exercício 13 Dado o subconjunto Ve f g h de S4 dado por e1 2 3 4 1 2 3 4 f1 2 3 4 2 1 4 3 g1 2 3 4 3 4 1 2 h1 2 3 4 4 3 2 1 a Mostre que V é um subgrupo de S4 b Mostre que V é um subgrupo abeliano não cíclico Exercício 14 Seja R o grupo dos números reais positivos com o produto usual dos números reais Q é um subgrupo de R Justifique Exercício 15 D6 é um grupo cíclico Encontre a ordem de cada elemento Exercício 16 Seja G um grupo de ordem 2p com p primo mostre que todo subgrupo proprio de G é cíclico Exercício 17 Seja G um grupo Mostre que a interseção de todos os subgrupos de G é também um subgrupo de G Exercício 18 Seja G um grupo e a G um elemento fixo de G Mostre que o conjunto Hg Gg a a g é um subgrupo de G 9 Se G é um grupo finito tal que Gpm onde p é primo m1 e m N Mostre que a ordem de todo elemento é uma potência de p bi Mostre que Hs x 0 0 x x R0 é um subgrupo de Gl2R ii Determine se existem finitos ou infinitos classes laterais de H em G 11 Sejam H e K são subgrupos de um grupo G tais que H p e Kq com p e q primos distintos Mostre que H K e Lista 6 Algebra I 1 Mostre que todos grupos de ordem n ou 3 é cíclico 2 Apresente dois grupos de ordem 4 um que seja cíclico e outros não 3 Mostre que Zm é cíclico m N m 1 4 Seja G um grupo cíclico de ordem k 0 Se d é um divisor positivo de k mostre que existe um subgrupo ciclico de ordem kd 5 Determine todos os classes laterais de H03 no grupo Z41 6 Determine todos os classes laterais de 3Z no grupo aditivo Z 7 Dado S3 o grupo de permutação de 3 letras Determine todos os classes laterais do subgrupo H de S3 sendo H1 2 3 1 2 3 8 Sejam Z x Z um grupo e Z x 0 x Z um subgrupo de Z x Z Determine se o números de classes laterais de Z x 0 x Z em Z x Z é finitas o infinitos Justifique