Topologia-na-Reta-Real-Conjuntos-Abertos-Pontos-de-Acumulacao-e-Conjuntos-Compactos

Topologia na Reta Real ANALISE IAULAS VIRTUAIS Pr Edwin Oswaldo Salinas Reyes Universidade federal do oeste da Bahia CCET 1026 de maio de 2022 Salinas Reyes Edwin 1 22 Topologia na Reta Real 1 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Salinas Reyes Edwin 2 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Estudaremos neste capıtulo as principais propriedades topologicas dos subconjuntos da reta Chamamse assim as propriedades que se baseiam nas nocoes de proximidade e limite Elas estao fortemente relacionadas com o comportamento das funcoes contınuas As demonstracoes que daremos se basearao apenas nos axiomas dos numeros reais e nas consequˆencias que deles deduzimos nos capıtulos anteriores Utilizaremos porem com frequˆencia cada vez maior a linguagem geometrica segundo a qual nos referiremos ao corpo R como a reta diremos ponto em vez de numero real traduziremos a b por a esta a esquerda de b dados x y R interpretaremos o valor absoluto x y como distˆancia do ponto x ao ponto y e finalmente veremos o intervalo a b como o segmento de reta cujos extremos sao os pontos a e b Salinas Reyes Edwin 3 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Estudaremos neste capıtulo as principais propriedades topologicas dos subconjuntos da reta Chamamse assim as propriedades que se baseiam nas nocoes de proximidade e limite Elas estao fortemente relacionadas com o comportamento das funcoes contınuas As demonstracoes que daremos se basearao apenas nos axiomas dos numeros reais e nas consequˆencias que deles deduzimos nos capıtulos anteriores Utilizaremos porem com frequˆencia cada vez maior a linguagem geometrica segundo a qual nos referiremos ao corpo R como a reta diremos ponto em vez de numero real traduziremos a b por a esta a esquerda de b dados x y R interpretaremos o valor absoluto x y como distˆancia do ponto x ao ponto y e finalmente veremos o intervalo a b como o segmento de reta cujos extremos sao os pontos a e b Salinas Reyes Edwin 3 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Dado um conjunto X R um ponto x X chamase ponto interior de X quando existe um intervalo aberto a b tal que x a b X Isto quer dizer que todos os pontos suficientemente proximos de x ainda pertencem ao conjunto X Observacao Para que x X seja um ponto interior do conjunto X e necessario e suficiente que exista ϵ 0 tal que x ϵ x ϵ X Com efeito se x a b X seja ϵ o menor dos numeros positivos x a e b x Entao x ϵ x ϵ a b logo x ϵ x ϵ X Salinas Reyes Edwin 4 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Dado um conjunto X R um ponto x X chamase ponto interior de X quando existe um intervalo aberto a b tal que x a b X Isto quer dizer que todos os pontos suficientemente proximos de x ainda pertencem ao conjunto X Observacao Para que x X seja um ponto interior do conjunto X e necessario e suficiente que exista ϵ 0 tal que x ϵ x ϵ X Com efeito se x a b X seja ϵ o menor dos numeros positivos x a e b x Entao x ϵ x ϵ a b logo x ϵ x ϵ X Salinas Reyes Edwin 4 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Dado um conjunto X R um ponto x X chamase ponto interior de X quando existe um intervalo aberto a b tal que x a b X Isto quer dizer que todos os pontos suficientemente proximos de x ainda pertencem ao conjunto X Observacao Para que x X seja um ponto interior do conjunto X e necessario e suficiente que exista ϵ 0 tal que x ϵ x ϵ X Com efeito se x a b X seja ϵ o menor dos numeros positivos x a e b x Entao x ϵ x ϵ a b logo x ϵ x ϵ X Salinas Reyes Edwin 4 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Observacao Equivalentemente x e um ponto interior do conjunto X se e somente se existe ϵ 0 tal que y x ϵ entao y X De fato y x ϵ significa que y pertence ao intervalo aberto x ϵ x ϵ Definicao Dado X R o conjunto dos pontos x X que sao interiores a X sera representado por intX e chamado o interior do conjunto X Temos intX X e evidentemente se X Y entao intX intY Salinas Reyes Edwin 5 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Observacao Equivalentemente x e um ponto interior do conjunto X se e somente se existe ϵ 0 tal que y x ϵ entao y X De fato y x ϵ significa que y pertence ao intervalo aberto x ϵ x ϵ Definicao Dado X R o conjunto dos pontos x X que sao interiores a X sera representado por intX e chamado o interior do conjunto X Temos intX X e evidentemente se X Y entao intX intY Salinas Reyes Edwin 5 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo Se o conjunto X possui algum ponto interior ele deve conter pelo menos um intervalo aberto logo e infinito Assim se X x1 x2 xn e um conjunto finito nenhum dos seus pontos e interior ou seja temos intX Melhor ainda como todo intervalo aberto e um conjunto naoenumeravel se intX entao X e naoenumeravel Em particular o conjunto Q dos numeros racionais nao possui pontos interiores isto e intQ Seguese que intZ Se X a b ou X b ou X a entao intX X No primeiro caso para todo x X temos x a b X No segundo caso dado arbitrariamente x X escolhemos a x e temos x a b X Salinas Reyes Edwin 6 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo Se o conjunto X possui algum ponto interior ele deve conter pelo menos um intervalo aberto logo e infinito Assim se X x1 x2 xn e um conjunto finito nenhum dos seus pontos e interior ou seja temos intX Melhor ainda como todo intervalo aberto e um conjunto naoenumeravel se intX entao X e naoenumeravel Em particular o conjunto Q dos numeros racionais nao possui pontos interiores isto e intQ Seguese que intZ Se X a b ou X b ou X a entao intX X No primeiro caso para todo x X temos x a b X No segundo caso dado arbitrariamente x X escolhemos a x e temos x a b X Salinas Reyes Edwin 6 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo Sejam X c d Y c e Z d Entao intX c d intY c e intZ d Basta examinar X Para cada x c d temos x c d X logo c d intX Por outro lado c intX porque todo intervalo aberto contendo c possuira pontos a esquerda de c logo nao estara contido em c d Definicao Um subconjunto A R chamase um conjunto aberto quando todos os seus pontos sao interiores isto e quando intA A Assim A e aberto se e somente se para cada x A existe um intervalo aberto a b tal que x a b A Salinas Reyes Edwin 7 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo Sejam X c d Y c e Z d Entao intX c d intY c e intZ d Basta examinar X Para cada x c d temos x c d X logo c d intX Por outro lado c intX porque todo intervalo aberto contendo c possuira pontos a esquerda de c logo nao estara contido em c d Definicao Um subconjunto A R chamase um conjunto aberto quando todos os seus pontos sao interiores isto e quando intA A Assim A e aberto se e somente se para cada x A existe um intervalo aberto a b tal que x a b A Salinas Reyes Edwin 7 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O conjunto vazio e aberto Um intervalo limitado ou nao e um conjunto aberto se e somente se e um intervalo aberto Isto decorre do Exemplo acima Todo conjunto aberto naovazio e naoenumeravel Assim Q e Z seus subconjuntos e os conjuntos finitos da reta nao sao abertos Nenhum conjunto formado apenas por numeros irracionais pode ser aberto pois nao contem intervalos Teorema Se A1 R e A2 R sao abertos entao A1 A2 e aberto Seja AλλL uma famılia arbitraria de conjuntos abertos Aλ R A reuniao A λLAλ e um conjunto aberto Salinas Reyes Edwin 8 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O conjunto vazio e aberto Um intervalo limitado ou nao e um conjunto aberto se e somente se e um intervalo aberto Isto decorre do Exemplo acima Todo conjunto aberto naovazio e naoenumeravel Assim Q e Z seus subconjuntos e os conjuntos finitos da reta nao sao abertos Nenhum conjunto formado apenas por numeros irracionais pode ser aberto pois nao contem intervalos Teorema Se A1 R e A2 R sao abertos entao A1 A2 e aberto Seja AλλL uma famılia arbitraria de conjuntos abertos Aλ R A reuniao A λLAλ e um conjunto aberto Salinas Reyes Edwin 8 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O conjunto vazio e aberto Um intervalo limitado ou nao e um conjunto aberto se e somente se e um intervalo aberto Isto decorre do Exemplo acima Todo conjunto aberto naovazio e naoenumeravel Assim Q e Z seus subconjuntos e os conjuntos finitos da reta nao sao abertos Nenhum conjunto formado apenas por numeros irracionais pode ser aberto pois nao contem intervalos Teorema Se A1 R e A2 R sao abertos entao A1 A2 e aberto Seja AλλL uma famılia arbitraria de conjuntos abertos Aλ R A reuniao A λLAλ e um conjunto aberto Salinas Reyes Edwin 8 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O conjunto vazio e aberto Um intervalo limitado ou nao e um conjunto aberto se e somente se e um intervalo aberto Isto decorre do Exemplo acima Todo conjunto aberto naovazio e naoenumeravel Assim Q e Z seus subconjuntos e os conjuntos finitos da reta nao sao abertos Nenhum conjunto formado apenas por numeros irracionais pode ser aberto pois nao contem intervalos Teorema Se A1 R e A2 R sao abertos entao A1 A2 e aberto Seja AλλL uma famılia arbitraria de conjuntos abertos Aλ R A reuniao A λLAλ e um conjunto aberto Salinas Reyes Edwin 8 22 Corolário Se A1 A2 An são subconjuntos abertos de ℝ então A1 A2 An é aberto Corolário Se A1 A2 An são subconjuntos abertos de ℝ então A1 A2 An é aberto Observação A interseção de uma infinidade de conjuntos abertos pode não ser um conjunto aberto Por exemplo se considerarmos os conjuntos abertos An 1n 1n n123 temos n ℕ An 0 mas o conjunto 0 não é aberto Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Diremos que um ponto a e aderente a um conjunto X R quando a for limite de uma sequˆencia de pontos xn X Todo ponto a X e aderente a X basta tomar a sequˆencia de pontos xn a Mas podese ter a aderente a X sem que a pertenca a X na realidade este e o caso mais interessante Teorema Um ponto a R e aderente a um conjunto X R se e somente se para todo ϵ 0 temse X a ϵ a ϵ Salinas Reyes Edwin 10 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Diremos que um ponto a e aderente a um conjunto X R quando a for limite de uma sequˆencia de pontos xn X Todo ponto a X e aderente a X basta tomar a sequˆencia de pontos xn a Mas podese ter a aderente a X sem que a pertenca a X na realidade este e o caso mais interessante Teorema Um ponto a R e aderente a um conjunto X R se e somente se para todo ϵ 0 temse X a ϵ a ϵ Salinas Reyes Edwin 10 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Diremos que um ponto a e aderente a um conjunto X R quando a for limite de uma sequˆencia de pontos xn X Todo ponto a X e aderente a X basta tomar a sequˆencia de pontos xn a Mas podese ter a aderente a X sem que a pertenca a X na realidade este e o caso mais interessante Teorema Um ponto a R e aderente a um conjunto X R se e somente se para todo ϵ 0 temse X a ϵ a ϵ Salinas Reyes Edwin 10 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario Sejam X R limitado inferiormente e Y R limitado superiormente Entao a inf X e aderente a X e b supY e aderente a Y Definicao Chamaremos fecho do conjunto X ao conjunto X formado pelos pontos aderentes a X Evidentemente X Y entao X Y Temse tambem X X para todo X No caso de ser X X diremos que o conjunto X e fechado Assim um conjunto X R e fechado se e somente se todo ponto aderente a X pertence a XEm outras palavras para que X seja fechado e necessario e suficiente que cumpra a seguinte condicao se xn X para todo n N e lim xn a entao a inX Quando X R e naovazio limitado e fechado temse supX X e inf X X Salinas Reyes Edwin 11 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario Sejam X R limitado inferiormente e Y R limitado superiormente Entao a inf X e aderente a X e b supY e aderente a Y Definicao Chamaremos fecho do conjunto X ao conjunto X formado pelos pontos aderentes a X Evidentemente X Y entao X Y Temse tambem X X para todo X No caso de ser X X diremos que o conjunto X e fechado Assim um conjunto X R e fechado se e somente se todo ponto aderente a X pertence a XEm outras palavras para que X seja fechado e necessario e suficiente que cumpra a seguinte condicao se xn X para todo n N e lim xn a entao a inX Quando X R e naovazio limitado e fechado temse supX X e inf X X Salinas Reyes Edwin 11 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario Sejam X R limitado inferiormente e Y R limitado superiormente Entao a inf X e aderente a X e b supY e aderente a Y Definicao Chamaremos fecho do conjunto X ao conjunto X formado pelos pontos aderentes a X Evidentemente X Y entao X Y Temse tambem X X para todo X No caso de ser X X diremos que o conjunto X e fechado Assim um conjunto X R e fechado se e somente se todo ponto aderente a X pertence a X Em outras palavras para que X seja fechado e necessario e suficiente que cumpra a seguinte condicao se xn X para todo n N e lim xn a entao a inX Quando X R e naovazio limitado e fechado temse supX X e inf X X Salinas Reyes Edwin 11 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario Sejam X R limitado inferiormente e Y R limitado superiormente Entao a inf X e aderente a X e b supY e aderente a Y Definicao Chamaremos fecho do conjunto X ao conjunto X formado pelos pontos aderentes a X Evidentemente X Y entao X Y Temse tambem X X para todo X No caso de ser X X diremos que o conjunto X e fechado Assim um conjunto X R e fechado se e somente se todo ponto aderente a X pertence a XEm outras palavras para que X seja fechado e necessario e suficiente que cumpra a seguinte condicao se xn X para todo n N e lim xn a entao a inX Quando X R e naovazio limitado e fechado temse supX X e inf X X Salinas Reyes Edwin 11 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O fecho do intervalo aberto a b e o intervalo fechado a b Alem disso e claro que o fecho de a b e o proprio a b logo todo intervalo limitado fechado e um conjunto fechado Tambem sao fechados os conjuntos a b e R Notese o caso particular a b que da a a a Assim todo conjunto reduzido a um unico ponto e fechado O fecho do conjunto Q dos numeros racionais e a reta R Tambem o fecho do conjunto I dos numeros irracionais e R Em particular Q e I nao sao conjuntos fechados Teorema Um conjunto F R e fechado se e somente se seu complementar R F e aberto Salinas Reyes Edwin 12 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O fecho do intervalo aberto a b e o intervalo fechado a b Alem disso e claro que o fecho de a b e o proprio a b logo todo intervalo limitado fechado e um conjunto fechado Tambem sao fechados os conjuntos a b e R Notese o caso particular a b que da a a a Assim todo conjunto reduzido a um unico ponto e fechado O fecho do conjunto Q dos numeros racionais e a reta R Tambem o fecho do conjunto I dos numeros irracionais e R Em particular Q e I nao sao conjuntos fechados Teorema Um conjunto F R e fechado se e somente se seu complementar R F e aberto Salinas Reyes Edwin 12 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O fecho do intervalo aberto a b e o intervalo fechado a b Alem disso e claro que o fecho de a b e o proprio a b logo todo intervalo limitado fechado e um conjunto fechado Tambem sao fechados os conjuntos a b e R Notese o caso particular a b que da a a a Assim todo conjunto reduzido a um unico ponto e fechado O fecho do conjunto Q dos numeros racionais e a reta R Tambem o fecho do conjunto I dos numeros irracionais e R Em particular Q e I nao sao conjuntos fechados Teorema Um conjunto F R e fechado se e somente se seu complementar R F e aberto Salinas Reyes Edwin 12 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo O fecho do intervalo aberto a b e o intervalo fechado a b Alem disso e claro que o fecho de a b e o proprio a b logo todo intervalo limitado fechado e um conjunto fechado Tambem sao fechados os conjuntos a b e R Notese o caso particular a b que da a a a Assim todo conjunto reduzido a um unico ponto e fechado O fecho do conjunto Q dos numeros racionais e a reta R Tambem o fecho do conjunto I dos numeros irracionais e R Em particular Q e I nao sao conjuntos fechados Teorema Um conjunto F R e fechado se e somente se seu complementar R F e aberto Salinas Reyes Edwin 12 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario R e o conjunto vazio sao fechados Se f1 F2 sao fechados entao F1 F2 e fechado Se FλλL e uma famılia arbitraria de conjuntos fechados entao λLFλ e fechado Observacao A reuniao de uma famılia arbitraria de conjuntos fechados pode nao ser um conjunto fechado Basta tomar um conjunto qualquer X R que nao seja fechado Temse X xXx Cada ponto x X forma um conjunto fechado x mas a reuniao X nao e um fechado Salinas Reyes Edwin 13 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario R e o conjunto vazio sao fechados Se f1 F2 sao fechados entao F1 F2 e fechado Se FλλL e uma famılia arbitraria de conjuntos fechados entao λLFλ e fechado Observacao A reuniao de uma famılia arbitraria de conjuntos fechados pode nao ser um conjunto fechado Basta tomar um conjunto qualquer X R que nao seja fechado Temse X xXx Cada ponto x X forma um conjunto fechado x mas a reuniao X nao e um fechado Salinas Reyes Edwin 13 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo Todo conjunto finito F x1 x2 xn e fechado pois seu complementar e aberto Por motivo analogo Z e fechado Existem conjuntos que nao sao fechados nem abertos como Q I ou um intervalo do tipo a b ou a b Os conjunto R e sao ao mesmo tempo fechados e abertos Salinas Reyes Edwin 14 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Seja X R Um numero a R chamase ponto de acumulacao do conjunto X quando todo intervalo aberto a ϵ a ϵ de centro a contem algum ponto x X diferente de a O conjunto dos pontos de acumulacao de X sera representado pela notacao X A condicao a X exprimese simbolicamente do modo seguinte para todo ϵ 0 existe um x X tal que 0 x a ϵ Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes a X a lim xn onde xn e uma sequˆencia de elementos de X dois a dois distintos Todo intervalo aberto contendo a possui uma infinidade de elementos de X Salinas Reyes Edwin 15 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Seja X R Um numero a R chamase ponto de acumulacao do conjunto X quando todo intervalo aberto a ϵ a ϵ de centro a contem algum ponto x X diferente de a O conjunto dos pontos de acumulacao de X sera representado pela notacao X A condicao a X exprimese simbolicamente do modo seguinte para todo ϵ 0 existe um x X tal que 0 x a ϵ Teorema Dados X R e a R as seguintes afirmacoes sao equivalentes a X a lim xn onde xn e uma sequˆencia de elementos de X dois a dois distintos Todo intervalo aberto contendo a possui uma infinidade de elementos de X Salinas Reyes Edwin 15 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario Se X entao X e infinito Exemplo Seja X 1 12 13 1n Entao X Mais geralmente se lim xn a e a xn para todo n N entao pondo X x1 x1 xn temos X a Se porem for a X podese ter X a ou X Por exemplo para a sequˆencia a a a vale X Ja a sequˆencia a a 1 a a 12 a a 13 da X a a b a b a b a b a b Q I R R Z N Salinas Reyes Edwin 16 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Corolario Se X entao X e infinito Exemplo Seja X 1 12 13 1n Entao X Mais geralmente se lim xn a e a xn para todo n N entao pondo X x1 x1 xn temos X a Se porem for a X podese ter X a ou X Por exemplo para a sequˆencia a a a vale X Ja a sequˆencia a a 1 a a 12 a a 13 da X a a b a b a b a b a b Q I R R Z N Salinas Reyes Edwin 16 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Um ponto a X que nao e ponto de acumulacao de X chamase um ponto isolado de X Para que a X seja um ponto isolado e necessario e suficiente que exista ϵ 0 tal que a ϵ a ϵ X a Todo ponto a Z e um ponto isolado de Z Teorema Para todo X R temse X X X Ou seja o fecho de um conjunto X e obtido acrescentandose a X os seus pontos de acumulacao Corolario X e fechado se e somente se X X Se todos os pontos do conjunto X sao isolados entao X e enumeravel Salinas Reyes Edwin 17 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Um ponto a X que nao e ponto de acumulacao de X chamase um ponto isolado de X Para que a X seja um ponto isolado e necessario e suficiente que exista ϵ 0 tal que a ϵ a ϵ X a Todo ponto a Z e um ponto isolado de Z Teorema Para todo X R temse X X X Ou seja o fecho de um conjunto X e obtido acrescentandose a X os seus pontos de acumulacao Corolario X e fechado se e somente se X X Se todos os pontos do conjunto X sao isolados entao X e enumeravel Salinas Reyes Edwin 17 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Um ponto a X que nao e ponto de acumulacao de X chamase um ponto isolado de X Para que a X seja um ponto isolado e necessario e suficiente que exista ϵ 0 tal que a ϵ a ϵ X a Todo ponto a Z e um ponto isolado de Z Teorema Para todo X R temse X X X Ou seja o fecho de um conjunto X e obtido acrescentandose a X os seus pontos de acumulacao Corolario X e fechado se e somente se X X Se todos os pontos do conjunto X sao isolados entao X e enumeravel Salinas Reyes Edwin 17 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Um ponto a X que nao e ponto de acumulacao de X chamase um ponto isolado de X Para que a X seja um ponto isolado e necessario e suficiente que exista ϵ 0 tal que a ϵ a ϵ X a Todo ponto a Z e um ponto isolado de Z Teorema Para todo X R temse X X X Ou seja o fecho de um conjunto X e obtido acrescentandose a X os seus pontos de acumulacao Corolario X e fechado se e somente se X X Se todos os pontos do conjunto X sao isolados entao X e enumeravel Salinas Reyes Edwin 17 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Uma cobertura de um conjunto X R e uma famılia C CλλL de conjuntos Cλ R tais que X λLCλ isto e para todo x X existe algum λ L tal que x Cλ Uma subcobertura de C e uma subfamılia C CλλL L L tal que ainda se tem X λLCλ Exemplo Os intervalos C1 0 23 C2 13 1 e C3 12 910 constituem uma cobertura C C1 C2 C3 do intervalo 14 34 Aqui L 1 2 3 Com efeito 14 34 C1 C2 C3 0 1 Tomando L 1 3 temos a subfamılia C C1 C3 a qual e uma subcobertura de C pois ainda vale 14 34 C1 C3 0 910 Salinas Reyes Edwin 18 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Uma cobertura de um conjunto X R e uma famılia C CλλL de conjuntos Cλ R tais que X λLCλ isto e para todo x X existe algum λ L tal que x Cλ Uma subcobertura de C e uma subfamılia C CλλL L L tal que ainda se tem X λLCλ Exemplo Os intervalos C1 0 23 C2 13 1 e C3 12 910 constituem uma cobertura C C1 C2 C3 do intervalo 14 34 Aqui L 1 2 3 Com efeito 14 34 C1 C2 C3 0 1 Tomando L 1 3 temos a subfamılia C C1 C3 a qual e uma subcobertura de C pois ainda vale 14 34 C1 C3 0 910 Salinas Reyes Edwin 18 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo Seja X 1 12 13 1n X e um conjunto infinito e seus pontos sao todos isolados isto e X X Assim para cada x X podemos obter um intervalo aberto Ix de centro x tal que Ix X x A famılia C IxxX assim formada e uma cobertura de X pois cada x X pertence a Ix Notese que C nao possui subcobertura propria se omitirmos qualquer Ix o ponto x fica descoberto pois x nao pertence a Iy algum com y x Teorema Teorema de BorelLebesgue Seja F R um conjunto limitado e fechado Toda cobertura F λLAλ de F por meio de abertos admite uma subcobertura finita F Aλ1 Aλn Salinas Reyes Edwin 19 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Exemplo Seja X 1 12 13 1n X e um conjunto infinito e seus pontos sao todos isolados isto e X X Assim para cada x X podemos obter um intervalo aberto Ix de centro x tal que Ix X x A famılia C IxxX assim formada e uma cobertura de X pois cada x X pertence a Ix Notese que C nao possui subcobertura propria se omitirmos qualquer Ix o ponto x fica descoberto pois x nao pertence a Iy algum com y x Teorema Teorema de BorelLebesgue Seja F R um conjunto limitado e fechado Toda cobertura F λLAλ de F por meio de abertos admite uma subcobertura finita F Aλ1 Aλn Salinas Reyes Edwin 19 22 Exemplo A própria reta ℝ sendo um conjunto fechado mas ilimitado possui a cobertura aberta ℝ n ℕ n n a qual não admite subcobertura finita Com efeito a reunião de um número finito de intervalos n n é igual ao maior deles e portanto não pode ser ℝ A própria reta ℝ sendo um conjunto fechado mas ilimitado possui a cobertura aberta ℝ nℕn n a qual não admite subcobertura finita Com efeito a reunião de um número finito de intervalos n n é igual ao maior deles e portanto não pode ser ℝ Por outro lado o intervalo 01 sendo um conjunto limitado mas não fechado possui a cobertura aberta 01 nℕ1n2 da qual não se pode extrair uma subcobertura finita porque a reunião de um número finito de intervalos da forma 1n2 é o maior deles e portanto não pode conter 01 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Teorema As seguintes afirmacoes a respeito de um conjunto K R sao equivalentes K e limitado e fechado Toda cobertura aberta de K possui subcobertura finita Todo subconjunto infinito de K possui ponto de acumulacao pertencente a K Toda sequˆencia de pontos de K possui uma subsequˆencia que converge para um ponto de K Salinas Reyes Edwin 21 22 Topologia na Reta Real Conjuntos Abertos Pontos de Acumulacao Conjuntos Compactos Definicao Chamase compacto a um conjunto K R que cumpre uma das condicoes do Teorema anterior Por exemplo um intervalo a bconjunto 0 1 12 1n sao compactos Todo conjunto finito e compacto A reta R o conjunto Q dos racionais e Z nao sao compactos Salinas Reyes Edwin 22 22