Limites de Funções - Definições, Propriedades e Indeterminações

Limites de Funcoes ANALISE IAULAS VIRTUAIS Pr Edwin Oswaldo Salinas Reyes Universidade federal do oeste da Bahia CCET 1931 de maio de 2022 Salinas Reyes Edwin 1 20 Limites de Funcoes 1 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Salinas Reyes Edwin 2 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Retomaremos agora a nocao de limite sob uma forma mais geral Em vez de sequˆencias como no topico anterior consideraremos funcoes reais f X R definidas em subconjuntos arbitrarios X R Salinas Reyes Edwin 3 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Definicao Seja f X R uma funcao com valores reais definida num subconjunto X R Seja a R um ponto de acumulacao de X isto e a X Diremos que o numero real L e o limite de f x quando x tende para a e escreveremos lim xa f x L para significar o seguinte para cada numero real ϵ 0 dado arbitrariamente podemos encontrar δ 0 de modo que se tenha f x L ϵ sempre que x X e 0 x a δ Portanto quando a a e ponto de acumulacao do domınio de f a expressao limxa f x L e uma abreviatura para a afirmacao abaixo ϵ 0 δ 0 x X 0 x a δ f x L ϵ Salinas Reyes Edwin 4 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Definicao Seja f X R uma funcao com valores reais definida num subconjunto X R Seja a R um ponto de acumulacao de X isto e a X Diremos que o numero real L e o limite de f x quando x tende para a e escreveremos lim xa f x L para significar o seguinte para cada numero real ϵ 0 dado arbitrariamente podemos encontrar δ 0 de modo que se tenha f x L ϵ sempre que x X e 0 x a δ Portanto quando a a e ponto de acumulacao do domınio de f a expressao limxa f x L e uma abreviatura para a afirmacao abaixo ϵ 0 δ 0 x X 0 x a δ f x L ϵ Salinas Reyes Edwin 4 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Em linguagem mais simples e possıvel tornar f x arbitrariamente proximo de L desde que se tome x X suficientemente proximo de a e diferente de a Observacao Ao considerarmos o limite limxa f x nao exigimos que a pertenca ao domınio da funcao f Nos casos mais interessantes de limite temse x X Mesmo que se tenha a X a afirmacao limxa f x Lnada diz a respeito do valor f a Ela descreve apenas o comportamento dos valores f x para x proximo de a com x a Se limxa f x L entao o ponto L e aderente ao conjunto f X a pois cada intervalo aberto de centro L contem pontos deste conjunto Salinas Reyes Edwin 5 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Em linguagem mais simples e possıvel tornar f x arbitrariamente proximo de L desde que se tome x X suficientemente proximo de a e diferente de a Observacao Ao considerarmos o limite limxa f x nao exigimos que a pertenca ao domınio da funcao f Nos casos mais interessantes de limite temse x X Mesmo que se tenha a X a afirmacao limxa f x Lnada diz a respeito do valor f a Ela descreve apenas o comportamento dos valores f x para x proximo de a com x a Se limxa f x L entao o ponto L e aderente ao conjunto f X a pois cada intervalo aberto de centro L contem pontos deste conjunto Salinas Reyes Edwin 5 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Unicidade do limite Sejam X R f X R a X Se limxa f x L1 e limxa f x L2 entao L1 L2 Teorema Sejam X R f X R a X Dado Y X tal que a Y ponhamos g f Y Se limxa f x L entao limxa gx L Se Y I X onde I e um intervalo aberto contendo a entao limxa gx L implica que limxa f x L Observacao A primeira parte do Teorema anterior e analoga a afirmacao de que toda subsequˆencia de uma sequˆencia convergente e ainda convergente e possui o mesmo limite A segunda parte afirma que a existˆencia e o valor limxa dependem apenas do comportamento de f numa vizinhanca de a Salinas Reyes Edwin 6 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Unicidade do limite Sejam X R f X R a X Se limxa f x L1 e limxa f x L2 entao L1 L2 Teorema Sejam X R f X R a X Dado Y X tal que a Y ponhamos g f Y Se limxa f x L entao limxa gx L Se Y I X onde I e um intervalo aberto contendo a entao limxa gx L implica que limxa f x L Observacao A primeira parte do Teorema anterior e analoga a afirmacao de que toda subsequˆencia de uma sequˆencia convergente e ainda convergente e possui o mesmo limite A segunda parte afirma que a existˆencia e o valor limxa dependem apenas do comportamento de f numa vizinhanca de a Salinas Reyes Edwin 6 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Unicidade do limite Sejam X R f X R a X Se limxa f x L1 e limxa f x L2 entao L1 L2 Teorema Sejam X R f X R a X Dado Y X tal que a Y ponhamos g f Y Se limxa f x L entao limxa gx L Se Y I X onde I e um intervalo aberto contendo a entao limxa gx L implica que limxa f x L Observacao A primeira parte do Teorema anterior e analoga a afirmacao de que toda subsequˆencia de uma sequˆencia convergente e ainda convergente e possui o mesmo limite A segunda parte afirma que a existˆencia e o valor limxa dependem apenas do comportamento de f numa vizinhanca de a Salinas Reyes Edwin 6 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X R f X R a X Se existe limxa f x entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existem A 0 δ 0 tais que 0 x a δ x X f x A Teorema Sejam X R f g h X R a X Se para todo x X x a for f x gx hx e alem disso tivermos limxa f x limxa hx L entao limxa gx L Teorema Sejam X R a X f g X R Se limxa f x L e limxa gx M com L M entao existe δ 0 tal que x X 0 x a δ f x gx Salinas Reyes Edwin 7 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X R f X R a X Se existe limxa f x entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existem A 0 δ 0 tais que 0 x a δ x X f x A Teorema Sejam X R f g h X R a X Se para todo x X x a for f x gx hx e alem disso tivermos limxa f x limxa hx L entao limxa gx L Teorema Sejam X R a X f g X R Se limxa f x L e limxa gx M com L M entao existe δ 0 tal que x X 0 x a δ f x gx Salinas Reyes Edwin 7 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X R f X R a X Se existe limxa f x entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existem A 0 δ 0 tais que 0 x a δ x X f x A Teorema Sejam X R f g h X R a X Se para todo x X x a for f x gx hx e alem disso tivermos limxa f x limxa hx L entao limxa gx L Teorema Sejam X R a X f g X R Se limxa f x L e limxa gx M com L M entao existe δ 0 tal que x X 0 x a δ f x gx Salinas Reyes Edwin 7 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Corolario Se limxa f x L entao existe δ 0 tal que x X 0 x a δ f x 0 Se f x gx para todo x X x a e limxa f x L limxa gx M entao L M Teorema Sejam X R f X R a X Para que limxa f x L e necessario e suficiente que se tenha limnf xn L para toda sequˆencia de pontos xn X a tal que limnxn a Salinas Reyes Edwin 8 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Corolario Se limxa f x L entao existe δ 0 tal que x X 0 x a δ f x 0 Se f x gx para todo x X x a e limxa f x L limxa gx M entao L M Teorema Sejam X R f X R a X Para que limxa f x L e necessario e suficiente que se tenha limnf xn L para toda sequˆencia de pontos xn X a tal que limnxn a Salinas Reyes Edwin 8 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Corolario Se limxa f x L entao existe δ 0 tal que x X 0 x a δ f x 0 Se f x gx para todo x X x a e limxa f x L limxa gx M entao L M Teorema Sejam X R f X R a X Para que limxa f x L e necessario e suficiente que se tenha limnf xn L para toda sequˆencia de pontos xn X a tal que limnxn a Salinas Reyes Edwin 8 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X R a X e f g X R Se limxa f x L e limxa gx M entao limxa f x gx L M e limxa f x gx L M Se M 0 entao limxa f xgx LM Se limxa f x 0 e existe uma constante A tal que gx A para todo x X a entao limxa f xgx 0 mesmo que nao exista limxa gx Vejamos agora o que ocorre com o limite de uma funcao composta A situacao que temos em mente e a seguinte X Y R f X R g Y R a X b Y limxa f x b e limyb gy c Para que tenha sentido falar em gf x x X supomos que f X Y Gostarıamos de poder concluir nestas condicoes que limxagf x c Salinas Reyes Edwin 9 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X R a X e f g X R Se limxa f x L e limxa gx M entao limxa f x gx L M e limxa f x gx L M Se M 0 entao limxa f xgx LM Se limxa f x 0 e existe uma constante A tal que gx A para todo x X a entao limxa f xgx 0 mesmo que nao exista limxa gx Vejamos agora o que ocorre com o limite de uma funcao composta A situacao que temos em mente e a seguinte X Y R f X R g Y R a X b Y limxa f x b e limyb gy c Para que tenha sentido falar em gf x x X supomos que f X Y Gostarıamos de poder concluir nestas condicoes que limxagf x c Salinas Reyes Edwin 9 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Com efeito a e ponto de acumulacao do domınio da funcao g f X R Logo tem sentido considerar limxa gf x Alem disso como gy tende para c quando y tende para b e plausıvel imaginar que isto ocorre em particular para y da forma y f x Ha entretanto uma dificuldade para que gy se aproxime de c e necessario que y fique proximo de b mas sempre seja y b E nada garante que f x b Vejamos um exemplo simples f R R e a funcao identicamente nula g R R e definida por gx 1 se x 0 g0 0 Entao limx0 f x 0 limy0 gx 1 mas limx0 gf x 0 e nao 1 Salinas Reyes Edwin 10 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Com efeito a e ponto de acumulacao do domınio da funcao g f X R Logo tem sentido considerar limxa gf x Alem disso como gy tende para c quando y tende para b e plausıvel imaginar que isto ocorre em particular para y da forma y f x Ha entretanto uma dificuldade para que gy se aproxime de c e necessario que y fique proximo de b mas sempre seja y b E nada garante que f x bVejamos um exemplo simples f R R e a funcao identicamente nula g R R e definida por gx 1 se x 0 g0 0 Entao limx0 f x 0 limy0 gx 1 mas limx0 gf x 0 e nao 1 Salinas Reyes Edwin 10 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Pode ocorrer ainda que quando x a f x assuma infinitas vezes o valor b para valores de x diferentes Neste caso se limyb gy for diferente de gb entao nao existira limxa gf x embora existam lim x af x b e limyb gy c Por exemplo sejam f R R e g R R definidas assim f x 0 se x e irracional e f x x se x e racional gy 0 se y 0 e g0 1 Entao limx0 f x 0 e limy0 gy 0 mas nao existe limx0 gf x pois se x e racional e diferente de zero temos gf x 0 enquanto x 0 irracional da gf x 1 Salinas Reyes Edwin 11 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X Y Rf X R g Y R com f X Y Sejam a X e b Y Y Se limxa f x b e limyb gy c temse limxa gf x c desde que seja c gb Exemplo Seja f R R a aplicacao identidade isto e f x x para todo x R Entao e evidente que limxa f x a para qualquer a R Pelo teorema anterior limxa f x f x a2 ou seja limxa x2 a2 O mesmo teorema aplicado n 1 vezes nos fornece lim x axn an para todo n N Salinas Reyes Edwin 12 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X Y Rf X R g Y R com f X Y Sejam a X e b Y Y Se limxa f x b e limyb gy c temse limxa gf x c desde que seja c gb Exemplo Seja f R R a aplicacao identidade isto e f x x para todo x R Entao e evidente que limxa f x a para qualquer a R Pelo teorema anterior limxa f x f x a2 ou seja limxa x2 a2 O mesmo teorema aplicado n 1 vezes nos fornece lim x axn an para todo n N Salinas Reyes Edwin 12 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Sejam X Y Rf X R g Y R com f X Y Sejam a X e b Y Y Se limxa f x b e limyb gy c temse limxa gf x c desde que seja c gb Exemplo Seja f R R a aplicacao identidade isto e f x x para todo x R Entao e evidente que limxa f x a para qualquer a R Pelo teorema anterior limxa f x f x a2 ou seja limxa x2 a2 O mesmo teorema aplicado n 1 vezes nos fornece lim x axn an para todo n N Salinas Reyes Edwin 12 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Exemplo De forma analoga utilizando o mesmo teorema anterior para todo polinˆomio px anxn an1xn1 a1x a0 temse limxa px pa seja qual for a R Tambem para toda funcao racional f x px qx quociente de dois polinˆomios temse limxaf x f a desde que o denominador nao se anule no ponto a isto e qa 0 Salinas Reyes Edwin 13 20 Exemplo Um dos exemplos mais populares de uma função sem limite é dado por f R 0 R onde fx sen1x Tomandose xn 1nπ temos xn 0 e lim fxn 0 Exemplo Um dos exemplos mais populares de uma função sem limite é dado por f R 0 R onde fx sen1x Tomandose xn 1nπ temos xn 0 e lim fxn 0 Por outro lado para xn 2nπ π21 vale xn 0 e lim fxn 1 Assim não existe limx0 sen1x Mas esta função é limitada Logo vale limx0 gxsen1x 0 para toda função g R 0 R tal que limx0 gx 0 Em particular para todo n N temos limx0 xn sen1x 0 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Sejam X R f X R e a X Lembramos que a notacao X representa o conjunto dos pontos de acumulacao a direita de X Temse a X se e somente se para todo δ 0 vale X a a δ Por exemplo 0 e ponto de acumulacao a direita de 0 1 Consideremos portanto a ponto de acumulacao a direita do domınio da funcao f X RDiremos que o numero real L e o limite a direita de f x quando x tende para a e escreveremos lim xa f x L quando para todo ϵ 0 dado for possıvel obter δ 0 tal que f x L ϵ sempre que x X e 0 x a δ Ou seja temse limxa f x L se e somente se para todo ϵ 0 dado existe δ 0 tal que x a a δ X f x L ϵ L ϵ Salinas Reyes Edwin 15 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Sejam X R f X R e a X Lembramos que a notacao X representa o conjunto dos pontos de acumulacao a direita de X Temse a X se e somente se para todo δ 0 vale X a a δ Por exemplo 0 e ponto de acumulacao a direita de 0 1 Consideremos portanto a ponto de acumulacao a direita do domınio da funcao f X R Diremos que o numero real L e o limite a direita de f x quando x tende para a e escreveremos lim xa f x L quando para todo ϵ 0 dado for possıvel obter δ 0 tal que f x L ϵ sempre que x X e 0 x a δ Ou seja temse limxa f x L se e somente se para todo ϵ 0 dado existe δ 0 tal que x a a δ X f x L ϵ L ϵ Salinas Reyes Edwin 15 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Sejam X R f X R e a X Lembramos que a notacao X representa o conjunto dos pontos de acumulacao a direita de X Temse a X se e somente se para todo δ 0 vale X a a δ Por exemplo 0 e ponto de acumulacao a direita de 0 1 Consideremos portanto a ponto de acumulacao a direita do domınio da funcao f X RDiremos que o numero real L e o limite a direita de f x quando x tende para a e escreveremos lim xa f x L quando para todo ϵ 0 dado for possıvel obter δ 0 tal que f x L ϵ sempre que x X e 0 x a δ Ou seja temse limxa f x L se e somente se para todo ϵ 0 dado existe δ 0 tal que x a a δ X f x L ϵ L ϵ Salinas Reyes Edwin 15 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas De modo analogo se define o limite a esquerda Se a e um ponto de acumulacao a esquerda isto e a X do domınio da funcao f X R diremos que o limite a esquerda de f x quando x tende para a e o numero L e escreveremos lim xa f x L para exprimir que a todo ϵ 0 dado podese fazer corresponder um δ 0 tal que x X 0 a x δ f x L ϵ ou seja x X a δ a f x L ϵ L ϵ A demonstracao do teorema abaixo e imediata Teorema Sejam X R f X R a X Ponhamos Y X a e g f Y Entao limxa f x L se e somente se limxa gx L Um resultado analogo vale para o limite a esquerda Portanto o limite a direita bem como o limite a esquerda recai no limite ordinario de uma restricao de f Salinas Reyes Edwin 16 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas De modo analogo se define o limite a esquerda Se a e um ponto de acumulacao a esquerda isto e a X do domınio da funcao f X R diremos que o limite a esquerda de f x quando x tende para a e o numero L e escreveremos lim xa f x L para exprimir que a todo ϵ 0 dado podese fazer corresponder um δ 0 tal que x X 0 a x δ f x L ϵ ou seja x X a δ a f x L ϵ L ϵA demonstracao do teorema abaixo e imediata Teorema Sejam X R f X R a X Ponhamos Y X a e g f Y Entao limxa f x L se e somente se limxa gx L Um resultado analogo vale para o limite a esquerda Portanto o limite a direita bem como o limite a esquerda recai no limite ordinario de uma restricao de f Salinas Reyes Edwin 16 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas De modo analogo se define o limite a esquerda Se a e um ponto de acumulacao a esquerda isto e a X do domınio da funcao f X R diremos que o limite a esquerda de f x quando x tende para a e o numero L e escreveremos lim xa f x L para exprimir que a todo ϵ 0 dado podese fazer corresponder um δ 0 tal que x X 0 a x δ f x L ϵ ou seja x X a δ a f x L ϵ L ϵA demonstracao do teorema abaixo e imediata Teorema Sejam X R f X R a X Ponhamos Y X a e g f Y Entao limxa f x L se e somente se limxa gx L Um resultado analogo vale para o limite a esquerda Portanto o limite a direita bem como o limite a esquerda recai no limite ordinario de uma restricao de f Salinas Reyes Edwin 16 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Seja X R f X R e a X X Entao existe limxa f x L se e somente se existem e sao iguais os limites laterais limxa f x limxa f x limxa f x L Exemplo Para a funcao f R 0 R definida por f x x x x temos os limites laterais limx0 f x 1 e limx0 f x 1 Ja a funcao g R 0 R gx 1 x nao possui limite lateral a esquerda nem a direita no ponto 0 Salinas Reyes Edwin 17 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Teorema Seja X R f X R e a X X Entao existe limxa f x L se e somente se existem e sao iguais os limites laterais limxa f x limxa f x limxa f x L Exemplo Para a funcao f R 0 R definida por f x x x x temos os limites laterais limx0 f x 1 e limx0 f x 1 Ja a funcao g R 0 R gx 1 x nao possui limite lateral a esquerda nem a direita no ponto 0 Salinas Reyes Edwin 17 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Exemplo Seja f R R definida por f x e1x Entao limx0 f x 0 mas limx0 f x nao existe porque f x nao e limitada para x negativo perto de zero Salinas Reyes Edwin 18 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Definicao Seja X R ilimitado superiormente Dada f X R escrevese limx f x L quando o numero real L satisfaz a seguinte condicao para todo ϵ 0 existe A 0 tal que x X x A f x L ϵ Ou seja dado arbitrariamente ϵ 0 podese encontrar A 0 tal que f x L ϵ sempre que x A De maneira analoga definese limx f x L quando o domınio de f e ilimitado inferiormente para todo ϵ 0 deve existir A 0 tal que x A f x L ϵ Valem os resultados ja demonstrados para o limite quando x a a R com as adaptacoes evidentes Salinas Reyes Edwin 19 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Definicao Seja X R ilimitado superiormente Dada f X R escrevese limx f x L quando o numero real L satisfaz a seguinte condicao para todo ϵ 0 existe A 0 tal que x X x A f x L ϵ Ou seja dado arbitrariamente ϵ 0 podese encontrar A 0 tal que f x L ϵ sempre que x A De maneira analoga definese limx f x L quando o domınio de f e ilimitado inferiormente para todo ϵ 0 deve existir A 0 tal que x A f x L ϵ Valem os resultados ja demonstrados para o limite quando x a a R com as adaptacoes evidentes Salinas Reyes Edwin 19 20 Limites de Funcoes Definicao e propriedade dos limites Limites Laterais Limites no infinito limites infinitos expressoes indeterminadas Exemplo limx 1 x limx 1 x 0 Por outro lado nao existe limx senx Vale limx ex 0 mas nao existe limx ex no sentido da definicao acima Salinas Reyes Edwin 20 20