Exercícios Resolvidos Algebra Linear - Independencia Linear Bases e Dimensao

1 Quais os subconjuntos abaixo do IR3 são linearmente independentes a 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 5 b 1 1 1 1 0 1 1 0 2 c 0 0 0 1 2 3 4 1 2 d 1 1 1 1 2 1 3 2 1 2 Quais dos subconjuntos abaixo de P4IR são linearmente independentes a 1 x 1 x2 2x 1 x2 b 2x x2 1 x 1 x2 1 c xx 1 x3 2x3 x2 x d x4 x 1 x3 x 1 x2 1 3 Demonstrar que o conjunto 1 ex e2x de vetores de C0 1 é LI 4 Dar uma base e a dimensão do subespaço W de IR4 onde W x y z t IR4 x y y e x 3y t 0 5 Sendo W e U subespaços do IR4 de dimensão 3 que dimensões pode ter W U se 1 2 1 0 1 1 0 1 1 5 2 1 é um sistema de geradores de W U 6 Sendo W o subespaço do exercício 4 e U o subespaço do IR4 gerado por 1 2 1 3 e 3 1 1 4 determinar uma base e a dimensão de U W e de U W 7 Achar uma base e a dimensão do seguinte subespaço de IR4 U x y z t x y 0 e x 2y t 0 8 No espaço vetorial IR3 consideremos os seguintes subespaços U x y z x 0 V x y z y 2z 0 e W 1 1 0 0 0 2 Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços U V W U V V W e U V W 9 Determinar as coordenadas do vetor u 4 5 3 IR3 em relação às seguintes bases a canônica b 1 1 1 1 2 0 3 1 0 c 1 2 1 0 3 2 1 1 4 10 Determinar as coordenadas de 1 2i C em relação à seguinte base de C sobre IR 1 i 1 i 11 Determinar as coordenadas do polinômio t3 em relação à seguinte base de P3IR 1 2 t t2 1 1 t t3 A matriz de mudança de uma base B do IR2 para a base 1 1 0 2 desse mesmo espaço é 1 0 2 3 Determinar a base B 12 A matriz de mudança da base 1 t 1 t2 para uma base C ambas do mesmo subespaço de P2IR é 1 2 1 1 Determinar a base C 13 Considere as bases B e1 e2 e3 e C g1 g2 g3 de IR3 assim relacionadas g1 e1 e2 e3 g2 2e2 3e3 g3 3e1 e3 a Determinar as matrizes de mudança de B para C e de C para B b Se um vetor u de IR3 apresenta coordenadas 1 2 e 3 em relação a B quais as coordenadas de u relativamente a C 1 a considere o conjunto 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 5 IR3 O conjunto não é linearmente independente LI Pois a dim IR3 3 e qualquer subconjunto de IR3 com mais de três vetores é linearmente dependente LD b considere o conjunto 1 1 1 1 0 1 1 0 2 IR3 Vejamos se o conjunto é LI Sejam a b c IR Considere a equação a1 1 1 b1 0 1 c1 0 2 0 0 0 a seja a b c 0 1 a 0 2 a b 2c 0 3 De 2 temos a 0 Substituindo a0 em 3 temos b 2c De 1 temos 0 b c 0 0 2c c 0 3c 0 c 0 como b 2c e c 0 então b 0 Logo a b c 0 e portanto o conjunto dado é LI c Considere o conjunto 000123412 T ℝ3 O conjunto não é LI pois qualquer conjunto que contém o vetor nulo é LD d Considere o conjunto 111121321 T ℝ3 Vejamos se o conjunto é LI Sejam abc ℝ Considere a equação a111 b121 c321 000 ou seja 0 b 3c 0 0 2b 2c 0 0 b c 0 Vamos resolver o sistema escalonando a matriz ampliada do sistema Seja A a matriz ampliada do sistema Então A 1130 1220 1110 L2 L1 L2 L3 L1 L3 1130 0110 0040 Logo a b 3c 0 b c 0 4c 0 onde obtemos a b c 0 Portanto o conjunto dado é LI Em resumo os conjuntos LI são os dos itens b e d 2 a Considere o conjunto 1 x 1 x2 2x 1 x2 P4IR Sejam a b c d IR Considere a equação a1 bx 1 cx2 2x 1 d x2 0 ou seja a b c 0 1 b 2c 0 2 c d 0 3 De 3 temos d c De 2 temos b 2c De 1 temos w b c 0 w 2c c 0 w 2c c 0 w 3c 0 w 3c Como o sistema possui infinitas soluções segue que o conjunto dado não é LI b Considere o conjunto 2x x2 1 x 1 x2 1 Sejam w b c d IR Considere a equação w2x bx2 1 cx 1 dx2 1 0 ou seja b c d 0 1 w c 0 2 b d 0 3 De 3 temos b d De 2 temos w c De 1 temos b c d 0 d c d 0 2d c 0 c 2d Como w c e c 2d então w 2d como o sistema possui infinitas soluções então o conjunto dado não é LI 1 c considere o conjunto xx1 x3 2x3 x2 x7 x2 x x3 2x3 x2 x7 sejam a b c d e IR considere a equação ax2 x bx3 c2x3 x2 dx 0 a seja a d 0 1 a c 0 2 b 2c 0 3 De 1 temos d a De 2 temos c a De 3 temos b 2c 0 b 2a 0 b 2a Como o sistema possui infinitas soluções então o conjunto dado não é LI 1 d Considere o conjunto x4 x 1 x3 x 1 x2 1 C P4IR Sejam a b c ɛ IR considere a equação ax4 x 1 bx3 x 1 cx2 1 0 a seja a b c 0 a b 0 c 0 b 0 a 0 donde obtemos a b c 0 e portanto o conjunto dado é LI Em resumo o único conjunto LI é do item d 1 3 Vejamos que o conjunto 1 ex e2x de vetores de C01 é LI O wronskiano é dado por W 1 ex e2x 0 ex 2 e2x 0 ex 4 e2x 14e3x 2e3x 0 0 2 e2x 0 como o wronskiano é diferente de zero segue que o conjunto 1 ex e2x é LI 4 Considere W xyzt ℝ⁴ x y y e x 3y t 0 subespaço do ℝ⁴ Se v W então v deve satisfazer as equações x y y 1 x 3y t 0 2 De 1 temos x 2y De 2 temos x 3y t 0 2y 3y t 0 y t 0 t y Logo v 2yyzy Observe que 2yyzy y2101 z0010 Logo os vetores 2101 e 0010 formam uma base para W Portanto B 21010010 é uma base de W e dim W 2 5 Sejam W e U subespaços do ℝ⁴ de dimensão 3 e 121011011521 um sistema de geradores de W U Vamos determinar uma base para W U a partir dos vetores geradores de W U Para isto considere a seguinte matriz M 1 2 1 0 1 1 0 1 1 5 2 1 cujos os linhas são os vetores geradores Vamos escalonar a matriz M M 1 2 1 0 1 1 0 1 1 5 2 1 L₂L₁L₂ L₃ L₁ L₃ 1 2 1 0 0 3 1 1 0 3 1 1 1 2 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0 Como as linhas 1 e 2 não são nulas segue que os vetores 1 2 1 0 e 1 1 0 1 são LI e além disso geram W U logo β 1 2 1 0 1 1 0 1 é uma base de W U e dimW U 2 sabemos que dimW U dim W dim U dimW U logo dimW U 3 3 2 6 2 4 Portanto dimW U 4 6 Sejam W o subespaço gerado pelos vetores 2 1 0 1 0 0 1 0 e U subespaço gerado por 1 2 1 3 e 3 1 1 4 Vamos determinar uma base e a dimensão de U W e U W Pela questão 4 B1 2 1 0 1 0 0 1 0 t é uma base de W Temos que U é gerado por 1 2 1 3 e 3 1 1 4 Além disso 1 2 1 3 e 3 1 1 4 são LI De fato dados a b ℝ considere a equação ao1 2 1 3 b3 1 1 4 0 0 0 0 ou seja a o 3b 0 2a b 0 ω b 0 3a 4b 0 2b 0 2a b 0 3a 4b 0 donde obtemos o b 0 Logo B2 1 2 1 3 3 1 1 4 t é uma base de U Determinemos uma base e a dimensão de U W 1 2 1 3 3 1 1 4 2 1 0 1 0 0 1 0 L2 3L1 L2 L3 2L1 L3 1 2 1 3 0 5 4 5 0 3 2 5 0 0 1 0 1 2 1 3 0 5 4 5 0 0 215 2 0 0 1 0 L4 52 L3 L4 1 2 1 3 0 5 4 5 0 0 215 2 0 0 0 5 Logo U W é gerado por 12130545002520005 e β 12130545002520005 é uma base de U W e dim U W 4 Como dim U W dim U W dim U dim W segue que dim U W dim U dim W dim U W 2 2 4 0 Logo dim U W 0 e U W 0000 Ém resumo β 12130545002520005 é uma base de U W e dim U W 4 Ui U W 0000 e dim U W 0 7 considera o seguinte subespaço do IR⁴ U xyzt x y 0 e x 2y t 0 Se v xyzt U então v deve satisfazer as equações x y 0 1 x 2y t 0 2 De 1 temos x y De 2 temos x 2y t 0 y 2y t 0 3y t 0 t 3y Assim temos que v yyz3y Note que v yyz3y y 1103 z 0010 Portanto B 111030010 é uma base de U e dim U 2 8 Considere os seguintes subespaços do IR3 U xyz x 0 V xyz y 2z 0 e W 110 002 Base e dimensão de U Se u xyz U então u 0yz Logo u 0yz y010 z 001 Portanto B1 010 001 é uma base de U e dim U 2 Base e dimensão de V Se v xyz V então v satisfaz a equação y 2z 0 ou seja y 2z Logo v x 2z z x100 z 021 Portanto B2 100 021 é uma base de V e dim V 2 Base e dimensão de W Como W é gerado pelos vetores 110 e 002 podemos extrair uma base dos geradores Observe que 110 e 002 são LI De fato dados ab IR considere a equação a110 b002 000 ou seja a0 a0 2b 0 onde obtemos a b 0 Portanto B3 110 002 é uma base de W e dim W 2 Base e dimensão de U V Se u xyz U V então u deve satisfazer x 0 y 2z Logo u 0 2z z z 0 2 1 Portanto B4 021 é uma base de U V e dim U V 1 Base e dimensão de V W Temos matrix calculations shown Portanto B5 100 021 110 é uma base de V W e dim V W 3 Base e dimensao de V V W Temos 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 1 0 L3 L4 L5 L1 L5 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 L5 L3 L5 L4 2 L3 L4 L4 L2 L4 Portanto B6 100 010 001 é uma base de V V W e dim V V W 3 a Considera o vetor u 453 R3 a Seja B 100 010 001 a base canônica de R3 Vamos encontrar as coordenadas de u em relação a base canônica B Para isto basta escrever u como combinação linear dos vetores da base B Sejam a b c R considere a equação 453 a100 b010 c001 a seja a 4 b 5 c 3 Portanto as coordenadas de u em relação a base canônica B é dada por 4 5 3 b Considere a base de R3 B 111 120 310 Vamos encontrar as coordenadas de u 453 em relação à base B Observeamos u como combinação linear dos vetores da base B Sejam a b c R considere a equação 453 a111 b120 c310 a seja a b 3c 4 1 a 2b c 5 2 a 3 3 De 3 temos a 3 De 2 temos a 2b c 5 3 2b c 5 c 5 3 2b c 8 2b De 1 temos a b 3c 4 3 b 38 2b 4 3 b 24 6b 4 5b 4 3 24 5b 25 b 5 como c 8 2b e b 5 então c 2 Portanto as coordenadas de u 4 5 3 em relação à base β é 3 5 2 c Considere a base do IR3 α 121 032 114 Expressemos u 4 5 3 como combinação linear dos vetores da base α Sejam abc IR considere a equação 4 5 3 a 1 2 1 b 0 3 2 c 1 1 4 a seja a c 4 2a 3b c 5 a 2b 4c 3 Vamos resolver o sistema por escalonamento Seja A a matriz ampliada do sistema Então A 1 0 1 4 l2 2 l1 l2 l3 2l1 l2 2 3 1 5 l3 l1 l3 1 2 4 3 1 0 1 4 0 3 1 13 0 2 3 1 1 h3 23 l2 l3 1 0 1 4 0 3 1 13 0 0 113 233 logo x z 4 y z 13 113 z 233 donde obtemos x 2111 y 4011 z 2311 Portanto as coordenadas de u 4 5 3 em relação à base α é 2111 4011 2311 10 considera a base de C B 1 i 1 i Seja 1 2i C Determinemos as coordenadas de 1 2i em relação à base B Dados a b IR considere a equação 1 2i a 1 i b 1 i a seja a b 1 a b 2 2b 1 b 12 como b 12 e a 1 b então a 1 12 a 32 Portanto as coordenadas de 1 2i em relação a base B é 32 12 11 Considere a seguinte base de P3IR B 1 2 t t2 1 1 t t3 Vamos encontrar as coordenadas de t3 P3IR em relação à base B Seja ω b c d IR considere o equação ω1 b2 t ct2 1 d1 t t3 t3 ou seja ω 2b c d 0 1 b d 0 2 c 0 3 d 1 4 De 4 temos d 1 De 3 temos c 0 De 2 temos b d logo b 1 De 1 temos ω 2b c d 0 ω 2 0 1 0 ω 3 Portanto os coordenadas de t3 em relação a base B é 3 1 0 1 12 A matriz de mudança de base B 1 t 1 t2 para uma base C de P2IR é dada por IBC 1 2 1 1 Seja C v1 v2 Por definição da matriz mudança de base temos 1 t 1v1 1v2 e 1 t2 2v1 v2 Considere o sistema v1 v2 1 t 2v1 v2 1 t2 3v1 2 t t2 Logo v1 23 13 t 13 t2 Como v2 1 t v1 temos v2 1 t 23 13 t 13 t2 v2 1 t 23 13 t 13 t2 v2 13 23 t 13 t2 Portanto a base C é dada por C 23 13 t 13 t2 13 23 t 13 t2 13 Considere as bases B e1 e2 e3 e C g1 g2 g3 de IR3 tais que g1 e1 e2 e3 g2 2e2 3e3 g3 3e1 e3 1a Pela relação acima temos que as coordenadas dos vetores gi i123 em relação a base B são g1B 1 1 1 g2B 0 2 3 g3B 3 0 1 Portanto a matriz mudança de base de B para C é dada por MBC 1 0 3 1 2 0 1 3 1 Para encontrarmos a matriz mudança de base de C para B basta calcular a inversa de MBC Temos 1 0 3 1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 3 1 0 0 1 w2 w1 w2 w3 w1 w3 1 0 3 1 0 0 0 2 3 1 1 0 0 3 4 1 0 1 12 w2 w2 w3 3w2 w3 1 0 3 1 0 0 0 1 32 12 12 0 0 3 4 1 0 1 1 0 3 1 0 0 0 1 32 12 12 0 0 0 1 1 1 3 2 w1 3w3 w1 w2 32 w3 w2 1 0 0 2 9 6 0 1 0 1 4 3 0 0 1 1 3 2 MBC1 MCB Portanto a matriz mudança de base de C para B é McB 2 9 6 1 4 3 1 3 2 b Seja u R3 as coordenados de u em relação a B é 1 2 e 3 Queremos encontrar as coordenadas de u em relação a C Sejam w b c as coordenadas de u em relação a C Então w b c 2 9 6 1 4 3 1 3 2 1 2 3 McB 2 18 18 1 8 9 1 6 6 2 0 1 Portanto as coordenadas de u em relação a base C é 2 0 1