Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear - Espaços Vetoriais

Lista 02 1 Seja V x y x y C Mostrar que V é um espaço vetorial sobre IR com a adição e a multiplicação por escalares definidas assim I x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ e x₂ y₂ V e II ax y ax ay a R e x y V 2 Seja IR x₁ x₂ xᵢ IR Considerando sobre IR as operações dadas por x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ e a x₁ x₂ ax₁ ax₂ mostrar que IR é um espaço vetorial sobre R 3 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do IR³ a W x y z IR³ x 0 b W x y z IR³ x Z c W x y z IR³ y é irracional d W x y z IR³ x 3z 0 e W x y z IR³ ax by cz 0 com a b c IR 4 Mostrar que são subespaços vetoriais de Mₙ IR os seguintes subconjuntos a U A Mₙ IR Aᵗ A b V A Mₙ IR AT TA onde T é uma matriz dada de Mₙ IR 5 Verificar que não são subespaços vetoriais do IR³ a x y z IR³ x 1 b x y z IR³ x² y z 0 c x y z IR³ x y z d x y z IR³ x y Q Em cada caso quais axiomás não se verificam Q é o conjunto dos números racionais 6 Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço PIR de todos os polinômios reais Leia o apêndice II a W ft PIR ft tem grau maior que 2 b W ft f0 2f1 c W ft ft 0 t IR d W ft ft ft 0 7 Seja I 0 1 Verificar se são subespaços vetoriais de CI veja exercício resolvido nº 4 a f CI f0 0 b f CI ₀¹ ftdt 0 c f CI f0 f1 d f CI ft 0 em todos os pontos de I menos um número finito deles 8 Seja V um espaço vetorial Se UⱼⱼJ é uma família de subespaços vetoriais de V mostrar que ⱼJ Uⱼ também é um subespaço vetorial de V 9 Mostrar que os polinômios 1 t 1 t² 1 t³ e 1 geram P₃IR 10 Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do IR³ a U x y z x 2y 0 b V x y z x z 0 e x 2y 0 c W x y z x 2y 3z 0 d U V e V W 11 Mostrar que os números complexos 2 3i e 1 2i geram o espaço vetorial C sobre IR 12 Mostrar com um exemplo que a união de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não precisa ser um subespaço vetorial desse espaço