Lista de Exercicios Resolvidos - Espaços Vetoriais e Subespaços

Lista 02 1 Seja V x y x y ℂ Mostrar que V é um espaço vetorial sobre ℝ com a adição e a multiplicação por escalares definidas assim I x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ è x₂ y₂ V e II ax y ax ay a ℝ e x y V 2 Seja ℝᶦ x₁ x₂ xᵢ ℝ Considerando sobre ℝᶦ as operações dadas por x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ e a x₁ x₂ ax₁ ax₂ mostrar que ℝᶦ é um espaço vetorial sobre ℝ 3 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do ℝ³ a W x y z ℝ³ x 0 b W x y z ℝ³ x ℤ c W x y z ℝ³ y é irracional d W x y z ℝ³ x 3z 0 e W x y z ℝ³ ax by cz 0 com a b c ℝ 4 Mostrar que são subespaços vetoriais de Mₙ ℝ os seguintes subconjuntos a U A Mₙ ℝ Aᵗ A b V A Mₙ ℝ AT TA onde T é uma matriz dada de Mₙ ℝ 5 Verificar que não são subespaços vetoriais do ℝ³ a x y z ℝ³ x 1 b x y z ℝ³ x² y z 0 c x y z ℝ³ x y z d x y z ℝ³ x y ℚ Em cada caso quais axiomas não se verificam ℚ é o conjunto dos números racionais 6 Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço Pℝ de todos os polinômios reais Leia o apêndice II a W ft Pℝ ft tem grau maior que 2 b W ft f0 2f1 c W ft ft 0 t ℝ d W ft ft ft 0 7 Seja I 0 1 Verificar se são subespaços vetoriais de CI veja exercício resolvido nº 4 a f CI f0 0 b f CI ₀¹ ftdt 0 c f CI f0 f1 d f CI ft 0 em todos os pontos de I menos um número finito deles 8 Seja V um espaço vetorial Se Uⱼⱼ J é uma família de subespaços vetoriais de V mostrar que ⱼₑⱼ Uⱼ também é um subespaço vetorial de V 9 Mostrar que os polinômios 1 t 1 t² 1 t³ e 1 geram P₃ ℝ 10 Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do ℝ³ a U x y z x 2y 0 b V x y z x z 0 e x 2y 0 c W x y z x 2y 3z 0 d U V e V W 11 Mostrar que os números complexos 2 3i e 1 2i geram o espaço vetorial C sobre ℝ 12 Mostrar com um exemplo que a união de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não precisa ser um subespaço vetorial desse espaço