Transformações Lineares Injetoras Sobrejetoras e Bijetoras - Teoremas e Definições

Corolário Sejam U e V espaços vetoriais sobre R com a mesma dimensão finita n e suponhamos F U V uma transformação linear Então são equivalentes às seguintes afirmações I F é sobrejetora II F é bijetora III F é injetora IV F transforma uma base de U em uma base de V isto é se B é uma base de U então FB é base de V Teorema 2 Dois espaços U e V de dimensão finita são isomorfos se e somente se dim U dim V Demonstração Lembrando Definição 1 Sejam U e V espaços vetoriais Uma aplicação T U V é uma transformação linear se dados u1 u2 U λ R valem i Tu1 u2 Tu1 Tu2 ii Tλu1 λTu1 Definição 2 Uma transformação linear T U V é injetora se e somente se u1 u2 U Tu1 Tu2 u1 u2 Observação 1 T U V é injetora se e somente se KerT 0T De fato suponha que T é injetora Se v KerT ou seja Tv 0 Por propriedade de transformação linear temos T0 0 Como T é injetora então v 0 Logo KerT 0T Reciprocamente suponha que KerT 0T Sejam u1 u2 U tais que Tu1 Tu2 Então Tμ1 T μ2 0 ou seja T μ1 μ2 0 Portanto μ1 μ2 0 logo μ1 μ2 Portanto T é injetora Definicao 3 Uma transformacão linear T U V é sobrejetora se e somente se Im T V ou seja v V u U tol que Tiu v Definição 4 Uma transformacão linear T U V é bijetora se e somente se T é injetora e sobrejetora Definição 5 Uma transformacão linear T U V é um isomorfismo se T for bijetora Teorema do Núcleo e da Imagem Sejam U e V espaços vetoriais da dimensão Finita se T U V é uma transformaçăo linear então dim U dim Ker T dim Im T Corolário Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR com mesma dimensao finita ne suponhamos F U V uma transformacão linear Entao sao equivalentes as seguintes afirmações ii F é sobrejetora ii F é bijetora iii F é injetora iv F transforma uma base de U em uma base de V isto é se B é uma base de U entao F B é uma base de V Demonstração Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR com mesma dimensão finita n ii ii Suponha F U V é uma transformaçăo linear sobrejetora então dim ImF dim V por definição de sobrejetividade Pelo teorema do núcleo e da imagem temos dim U dim Ker F dim ImF Como dim ImF dim V n segue que dim U dim KerF n Por hipótese dim U n logo dim KerF n n 0 Portanto Ker F 0 1 implicando que F é injetora Logo F é sobrejetora e injetora e portanto F é bijetora iii ii Se F é bijetora então por definicão F é sobrejetora e injetora iii ii Seja B μ1 μ2 μn uma base de U precisamos mostrar que B Fμ1 Fμ2 Fμn é uma base de V Como F é injetora a quantidade de elementos de B e B sao iguais ou seja ambas contem n vetores Como dim V n e B contém n vetores então para mostrar que B é uma base de V basta mostrar que B é um conjunto LI Sejam a1 a2 an R Considere a equação a1Fu1 a2Fu2 anFun 0 Como F é linear então Fa1u1 a2u2 anun 0 Como F é injetora isto é kerF 0 e a1u1 a2u2 anun kerF então a1u1 a2u2 anun 0 Como os vetores u1 u2 un são LI pois são vetores da base B de V segue que a1 a2 an 0 o que prova que B Fu1 Fu2 Fun é LI e portanto é uma base de V suponha que se B u1 un é uma base de V então B Fu1 Fun é uma base de V Seja v V como B é uma base de V podemos escrever v como combinação linear dos vetores da base B ou seja v a1Fu1 anFun com a1 an R Como F é linear segue que v Fa1u1 anun Se u V podemos expressálo como combinação linear dos vetores de B isto é u a1u1 anun com a1 an R Logo para todo v V v a1Fu1 anFun existe a1u1 anun u V tal que Fu Fa1u1 anun v Portanto F é sobrejetora Teorema Dois espaços U e V de dimensão finita são isomorfos se e somente se dim U dim V Demonstração Como U e V são isomorfos existe o isomorfismo F U V ou seja F é uma transformação linear sobrejetora e injetora Como F é injetora pela observação 1 KerF 0 ou seja dim KerF 0 Além disso F é sobrejetora logo ImF V ou seja dim ImF dim V Pelo teorema do núcleo e da imagem temos dim U dim KerF dim ImF 0 dim V dim V Portanto dim U dim V Suponha que dim U dim V Sejam B u1 un uma base de U e B v1 vn uma base de V Considere a aplicação F U V definida por FΣ ωi ui Σ ωi vi Afirmação 1 F é linear Sejam x Σ ωi ui y Σ bi ui U λ R Temos i Fx y FΣ ωi bi ui Σ ωi bi vi Σ ωi vi Σ bi vi FΣ ωi ui FΣ bi ui Fx Fy Logo Fx y Fx Fy ii Fλ x Fλ Σ ωi ui FΣ λ wi ui Σ λ ωi vi λ Σ ωi vi λ FΣ ωi ui λ Fx Logo Fλ x λ Fx Portanto F é linear