Subespaços Vetoriais-Definições-Exemplos e Exercícios Resolvidos

Defina o conceito de subespaço vetorial Dê um exemplo de subespaço vetorial 2 Seja Ca b o conjunto das funções reais contínuas definidas no intervalo a b Sejam ainda os subconjuntos U f Ca b fx fx x a b V f Ca b fx fx x a b a Mostre que U e V são subespaços de Ca b b Mostre que Ca b U V 3 Defina o conceito de conjunto linearmente independente Suponha que v1 vn é um subconjunto LI de um espaço vetorial Mostrar que αv1 αvn também é LI desde que os escalares α sejam todos não nulos 4 No espaço vetorial R3 consideremos os seguintes subespaços U x y z x0 V x y z x 2z 0 e W 1 1 0 0 0 2 Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços U V W U V V W e U V W 2 A Seja V um espaço vetor e W V Dizemos que W é um subespaço vetor s quando para quaisquer x y W e α R então temos x y W e αx R B Considere V R2 e W 0 a a R então se x 0 a y 0 b W e α R temos x y 0 a 0 b 0 a b W pois a b R e αx α 0 a 0 αa W pois α R daí W é um subspaço vetor de V 2 A Dados f g U legamos que f g U Note que f gx fx gx fx gx x a b Portanto f g U Dado α R temos αfx α fx α fx αfx x a b Daí α f U Dados f g V então f gx fx gx fx gx fx gx f gx x a b Logo f g V Seja V um espaço vetorial Um conjunto de vetores V1 Vn em V e dito LI quando a equacao α1V1 αnVn 0 onde α1 αn IR implique que α1α2 αn0 B Supondo V1 Vn um conjunto LI e α1 αn numeros reais nao nulos Assim dados β1 βn IR com β1α1V1 βnαnVn 0 Isto implica β1α1 V1 βnαn Vn 0 Como V1 Vn e LI segue que β1α10 β2α20 βnαn0 Como αi 0 i1 n entao β1 β2 βn 0 Portanto α1V1 αnVn e um conjunto LI U x y z x 0 V x y z y 2z 0 W 1 1 0 0 0 2 Note que U 0 y z y z IR Dados 0 y z U entao 0 y z 0 y 0 0 0 z y0 1 0 z0 0 1 Assimao U 0 1 0 0 0 1 Como 0 1 0 0 0 1 e LI pois se α1 α2 IR com α1 0 1 0 α2 0 0 1 0 0 0 implica 0 α1 α2 0 0 0 logo α1 α2 0 Portanto 0 1 0 0 0 1 e uma base para U Logo dim U 2 Dado α IR entao αΨx αΨx α fx αfx αΨx x a b Dai αΨ V Portanto U e V sao subespaços de Ca b 2 B Como U V Ca b é suficiente ver que Ca b U V Com efeito dado f Ca b então se f U Temos fx fx0 x a b Se f V então fx 0 fx x a b E como dado f U V 0 fx fx e fx fx temos fx fx fx fx 0 Logo fx 0 f 0 Dai Ca b U V V x 2z z z ℝ³ Dado x 2z z V então x 2z z x 0 0 0 2z z x 1 0 0 z 0 2 1 Logo V 1 0 0 0 2 1 Como 1 0 0 0 2 1 é LI então é uma base para V portanto dim V 2 Como W 1 1 0 0 0 2 então dado d1 d2 ℝ com d1 1 1 0 d2 0 0 2 0 0 0 isto é d1 d1 2 d2 0 0 0 d1 0 e 2 d2 0 d2 0 Portanto 1 1 0 0 0 2 é LI e assim é uma base para W Logo dim W 2 7 x y z U V x y z U 0 y z e x y z V x 2z z Portanto U V 0 2z z z ℝ Assim 0 2z z z 0 2 1 U V 0 2 1 Como 0 2 1 0 0 0 segue que 0 2 1 é LI e assim uma base para U V Portanto dim U V 1 V W 0 y z x 2z z 0 y z U e x 2z z V x y 2z z x y z U Dados x y 2z z V W temos x y 2z z x 0 0 0 y 0 0 2z z x 1 0 0 y 0 1 0 z 0 2 1 Portanto V W 1 0 0 0 1 0 0 2 1