Exercícios Resolvidos e Problemas sobre Espaços Vetoriais

1 Seja V x y x y ℂ Mostrar que V é um espaço vetorial sobre IR com a adição e a multiplicação por escalares definidas assim I x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ V e II ax y ax ay a IR e x y V 2 Seja R x₁ x₂ xᵢ R Considerando sobre R as operações dadas por x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ e a x₁ x₂ ax₁ ax₂ mostrar que IR é um espaço vetorial sobre R 3 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do IR³ a W x y z IR³ x 0 b W x y z IR³ x Z c W x y z IR³ y é irracional d W x y z IR³ x 3z 0 e W x y z IR³ ax by cz 0 com a b c IR 4 Mostrar que são subespaços vetoriais de MₙIR os seguintes subconjuntos a U A MₙIR Aᵗ A b V A MₙIR AT TA onde T é uma matriz dada de MₙIR 5 Verificar que não são subespaços vetoriais do IR³ a x y z IR³ x 1 b x y z IR³ x² y z 0 c x y z IR³ x y z d x y z IR³ x y Q Em cada caso quais axiomas não se verificam Q é o conjunto dos números racionais 6 Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço PIR de todos os polinômios reais Leia o apêndice II a W ft PIR ft tem grau maior que 2 b W ft f0 2f1 c W ft ft 0 t IR d W ft ft ft 0 7 Seja I 0 1 Verificar se são subespaços vetoriais de CI veja exercício resolvido no 4 a f CI f0 0 b f CI ₀¹ ft dt 0 c f CI f0 f1 d f CI ft 0 em todos os pontos de 1 menos um número finito deles 8 Seja V um espaço vetorial Se UⱼⱼJ é uma família de subespaços vetoriais de V mostrar que ⱼJ Uⱼ também é um subespaço vetorial de V 9 Mostrar que os polinômios 1 t 1 t² 1 t³ e 1 geram P₃IR 10 Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do IR³ a U x y z x 2y 0 b V x y z x z 0 e x 2y 0 c W x y z x 2y 3z 0 d U V e V W 11 Mostrar que os números complexos 2 3i e 1 2i geram o espaço vetorial C sobre IR 12 Mostrar com um exemplo que a união de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não precisa ser um subespaço vetorial desse espaço 1 Seja V x y x y ℂ munido das opera ções I x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ V II ax y ax ay a IR e x y V Vejamos se V é um espaço vetorial sobre IR sejam μ x₁ y₁ υ x₂ y₂ ω x₃ y₃ V a b IR Temos Ia μ υ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₂ x₁ y₂ y₁ pois é comutativo x₂ y₂ x₁ y₁ υ μ Logo μ υ υ μ Ib u vw x1y1 x2y2 x3y3 x1y1 x2x3 y2y3 x1 x2x3 y1 y2y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 pois é associativo x1 x2 y1 y2 x3 y3 x1y1 x2y2 x3 y3 uvw logo u vw uvw Ic Elemento neutro 0 elemento neutro de V é o vetor 0 00 0 ℂ logo u 0 x1y1 00 x1y1 u logo u 0 u Id Elemento oposto Temos que mostrar que u V u V tal que u u 0 Basta tomar u u Pois u u u u x1y1 x1y1 00 0 IIa αbu abx1y1 abx1 by1 abx1 aby1 abx1 aby1 por propriedade de multiplicação por escalar em ℂ abx1y1 logo abu abu IIb abu abx1y1 abx1 aby1 ax1 bx1 ay1 by1 ax1 ay1 bx1 by1 ax1y1 bx1y1 a u b u logo abu a u b u IIc auv ax1x2 y1y2 ax1x2 ay1y2 ax1 ax2 ay1 ay2 ax1 ay1 ax2 ay2 ax1y1 ax2y2 a u a v logo auv a u a v Iid 1u 1x₁ y₁ 1x₁ 1y₁ x₁ y₁ u Logo 1u u Como todos os axiomas de espaço vetorial são verificados segue que V é um espaço vetorial sobre R 2 Seja R x₁ x₂ xᵢ R munido dos operações I x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ R II ax₁ x₂ ax₁ ax₂ a R e x₁ x₂ R Vejamos que R é um espaço vetorial a prova é similar para qndo mostrarmos para dimensões finito por exemplo qndo mostrase que R² é espaço vetorial Sejam u x₁ x₂ v y₁ y₂ w z₁ z₂ R e a b R Temos Ia u v x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ y₁ x₁ y₂ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ v u Logo u v v u Ib u v w x₁ x₂ y₁ z₁ y₂ z₂ x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ x₁ y₁ x₂ y₂ z₁ z₂ μ v ω Logo u v w u v w Ic Elemento neutro O elemento neutro de R é o 0 0 0 Logo u 0 x₁ x₂ 0 0 x₁ 0 x₂ 0 x₁ x₂ u Assum temos que u 0 u Id Elemento oposto o elemento oposto de u R é u R Pois u u x1 x2 x1 x2 0 0 0 Logo u u 0 IIa abu abx1 x2 abx1 b x2 abx1 abx2 abx1 abx2 abx1 x2 Logo abu abu IIb abu abx1 x2 abx1 abx2 ax1 bx1 ax2 bx2 ax1 ax2 bx1 bx2 ax1 x2 bx1 x2 au bu Logo abu au bu IIc auv ax1y1 x2y2 ax1y1 ax2y2 ax1 ay1 ax2 ay2 ax1 ax2 ay1 ay2 ax1 x2 ay1 y2 Logo auv au av IId 1u 1x1 x2 1x1 1x2 x1 x2 u Logo 1u u Portanto R é um espaço vetorial Lembrando Sejam X um corpo e V um espaço vetorial sobre K Um conjunto S V é um subespaço vetorial se i S isto equivale a mostrar que o elemento neutro pertence à S ii Se u1 u2 S então u1 u2 S iii Se u S e λ K então λu S 3 a Seja W xyz IR3 x 0 IR3 Vejamos se W é um subespaço do IR3 Note que podemos reescrever W da seguinte maneira W 0yz y z IR Sejam u v W com u 0y1z1 e v 0y2z2 e λ IR Temos i W Pois tomando y z 0 segue que 000 W ii u v 00 y1y2 z1z2 0 y1y2 z1z2 W Pois a primeira coordenada de u v é zero e as demais y1 y2 z1 z2 IR Logo u v W iii λu λ0y1z1 λ0 λy1 λz1 0 λy1 λz1 W Pois a primeira coordenada de λu é zero e λy1 λz1 IR Logo λu W Portanto W é um subespaço do IR3 b Seja W xyz IR3 x Z IR3 W não é um subespaço vetorial Pois v 351 W Tome λ 12 λ IR Temos λv 12 351 325212 W Pois a primeira coordenada x 32 Z c Seja W xyz IR3 y é irracional IR3 W não é um subespaço do IR3 Suponha u 1 2 3 3 v 4 2 3 1 W Temos u v 1 2 3 3 4 2 3 1 5 2 4 W Pois 2 não é um número irracional Além disso 000 W pois 0 não é irracional 1d Seja W x y z ℝ³ x 3z 0 γ ℝ³ Vejamos se W é um subespaço do ℝ³ Primeiro observe que podemos reescrever W da seguinte maneira W x y z ℝ³ x 3z 3z y z z y ℝ Logo se v W v 3z y z Sejam u 3z₁ y₁ z₁ v 3z₂ y₂ z₂ W e λ ℝ Temos i W ϕ Pois tomando y z 0 segue que 0 0 0 W ii u v 3z₁ y₁ z₁ 3z₂ y₂ z₂ 3z₁ 3z₂ y₁ y₂ z₁ z₂ 3z₁ z₂ y₁ y₂ z₁ z₂ W Logo u v W ii λu λ3z₁ y₁ z₁ λ3z₁ λy₁ λz₁ 3λz₁ λy₁ λz₁ W Logo u v W Portanto W é um subespaço do ℝ³ 1c Seja W x y z ℝ³ ax by cz 0 γ ℝ³ com a b c ℝ Vejamos se W é um subespaço do ℝ³ Podemos reescrever W como W x y z ℝ³ x by cz com a b c ℝ e a 0 bycza y z y z a b c ℝ e a 0 Sejam u by₁cz₁a y₁ z₁ v by₂cz₂a y₂ z₂ W e λ ℝ i W 0 Tomando y z 0 temos 0 0 0 W ii u v by₁cz₁a y₁ z₁ by₂cz₂a y₂ z₂ by₁cz₁by₂cz₂a y₁ y₂ z₁ z₂ by₁ y₂ cz₁ z₂a y₁ y₂ z₁ z₂ W Logo u v W iii λu λby1 cz1 a y1 z1 λby1 cz1 a λy1 λz1 bλy1 cλz1 a λy1 λz1 W Logo λu W Portanto W é um subespaço do R3 4a Seja U A MnlR At A MnlR Vejamos se U é um subespaço de MnlR Sejam A B U então At A e Bt B e λ R Temos i U Pois seja 0 MnlR a matriz nula Temos 0t 0 Logo 0 U ii Para verificar se A B U temos que mostrar que A B A Bt Temos A B At Bt pois A B U logo At A e Bt B A Bt por propriedade da matriz transposta Logo A B U iii λA λAt pois A U então At A λAt por propriedade da transposta Logo λA U Portanto U é um subespaço do MnlR b Seja V A MnlR AT TA T MnlR onde T é uma matriz dada de MnlR Vejamos se V é um subespaço do MnlR Sejam A B V e λ R temos i V Tomando A MnlR como a matriz nula isto é A 0 temos 0T 0 T0 Logo 0 V ii Para verificar que A B V temos que mostrar que A BT T A B Temos AT BT TA TB pois AT TA e BT TB T A B por propriedade de multiplicaçoes de matrizes Por outro lado AT BT A BT por propriedade de multiplicaçoes de matrizes logo A BT T A B e portanto A B V iii Para mostrar que λA V temos que verificar que λAT T λA Temos λAT λAT λ TA T λA logo λA V Propriedades da Multiplicaçao de uma matriz por outra A B C Mn 1 IR vale 1 A BC AC BC 2 C A B CA CB 3 se λ IR então λA B A λB λ AB Portanto V é um subespaco do Mn1IR 5 a seja V x y z IR3 x 1 IR3 Observe que podemos reescrever V como V 1 y z y z IR V não é um subespaço do IR3 suponha µ 1 y1 z1 υ 1 y2 z2 V temos µ υ 1 y1 z1 1 y2 z2 2 y1 y2 z1 z2 V Pois a primeira coordenada x 1 1b seja V x y z IR3 x2 y z 0 Podemos reescrever V como V x y z IR3 z x2 y x y x2 y x y IR V não é um subespaço do IR3 suponha µ x1 y1 x1 2 y1 2 υ x2 y2 x2 2 y2 2 V Temos µ υ x1 y1 x1 2 y1 x2 y2 x2 2 y2 x1 x2 y1 y2 x1 2 x2 2 y1 y2 V Pois x1 2 x2 2 x1 x2 2 com x1 x2 IR contraexemplo υ 1 2 1 µ 1 1 1 V temos υ μ 2 3 2 V Pois 2 43 c Seja V xyz IR3 x y z IR3 suponha u 103 e λ 1 temos λu 1103 103 V Pois não vale x y z 1 0 3 Logo V não é um subespaço do IR3 d Seja V xyz IR3 x y Q suponha u 200 v 001 V Temos u v 201 V Pois x y 2 0 2 Q Portanto V não é um subespaço do IR3 6 a Considere W ft PIR gra ft 2 Sejam ft t3 2t gt t3 t W Temos ft gt t3 2t t3 t t W Pois gra de ft gt é menor que 2 Portanto W não é um subespaço vetorial do PIR b Considere W ft f0 2f1 Vejamos se W é um subespaço vetorial Sejam f g W e λ IR i W Pois tomando f 0 temos f0 0 2f1 ii Temos que mostrar que f g0 2f g1 f g0 f0 g0 2f1 2g1 2f1 g1 2f g1 Logo f g W iii Temos que 1ℓ0 1ℓ0 121ℓ1 21ℓ1 Logo 1ℓ W Portanto W é um subespaço do P1R c Considere W ft ft 0 t ℝ O polinômio nulo não pertence à W pois 0t 0 t ℝ Portanto W não é um subespaço do P1R d Considere W ft ft ft 0 Sejam fg W e λ ℝ Temos i W Φ Tomando f 0 temos 0t 0 Logo 0t 0t 0 0 0 Assim segue que 0 W ii Para mostrar que f g W precisamos mostrar que f gt f gt 0 Temos f gt f gt ft gt ft gt ft ft gt gt 0 0 0 Logo f g W iii Precisamos mostrar que λf W ou seja λft λft 0 Temos λft λft λft λft λft ft λ0 0 Logo λf W Portanto W é um subespaço de P1R 7 a seja Vf CI f00 Vejamos se V é um subespaço vetorial de CI Sejam fg V e λ R temos i V Pois a função nula f 0 CI e f00 logo 0 V ii Para mostrar que fg V temos que mostrar que fg00 Temos fg0 f0g0000 logo fg V iii Para mostrar que λf V temos que mostrar que λf00 Temos λf0 λf0 λ00 logo λf V Portanto V é um subespaço vetorial b Considere Vf CI ₀¹ ft dt 0 Vejamos se V é um subespaço de CI Sejam fg V e λ R i V Tomando f 0 e CI temos ₀¹ 0t dt ₀¹ 0 dt 0 logo 0 V ii temos fgt ₀¹ fgt dt ₀¹ ftgt dt ₀¹ ft dt ₀¹ gt dt 0 0 0 logo f g V iii λft ₀¹ λft dt ₀¹ λ ft dt λ ₀¹ ft dt λ0 0 logo λ f V Portanto V é um subespaço do CI c Considere V f CI f0 f1 0 Sejam f g V e λ ℝ i V Tomando f 0 temos que 00 0 01 Logo 0 V ii Temos que f g0 f0 g0 f1 g1 f g1 Logo f g V iii λf0 λf0 λf1 λf1 Logo λf V Portanto V é um subespaço de CI a Considere V f CI ft 0 em todos os pontos de I menos um número finito deles Note que V 0 Caso contrário se existe x I tal que fx 0 com f CI Então existe uma vizinhança x tal que f não se anula nessa vizinhança Portanto V é um subespaço do CI b Seja V um espaço vetorial Se UjjJ é uma família de subespaços de V então jJ Uj é um subespaço de V Prova Vejamos que jJ Uj é um subespaço vetorial de V i jJ Uj Como cada Uj é um subespaço de V então o vetor nulo denotemos por 0 pertence a todo Uj ou seja 0 Uj j J Logo 0 jJ Uj ii Sejam u v jJ Uj Como u v jJ Uj então u v Uj j J Logo como cada Uj é um subespaço vetorial segue que u v Uj j J Logo u v Uj j J iii Sejam u Uj e λ IR j J como u Uj então u Uj j J Além disso cada Uj é um subespaço vetorial segue que λu Uj j J Então λu Uj j J Portanto Uj é um subespaço vetorial de V j J 9 Vamos mostrar que os polinômios 1 t 1 t² 1 t³ e 1 geram P₃IR Para isto basta mostrar que um polinômio qualquer w₀ w₁ t w₂ t² w₃ t³ P₃IR pode ser escrito como combinação linear de 1 t 1 t² 1 t³ e 1 Sejam w₀ b c d IR considere a equação w₀ w₁ t w₂ t² w₃ t³ w₀ 1 t b 1 t² c 1 t³ d 1 ou ainda w₀ w₁ t w₂ t² w₃ t³ w₀ 1 t b 1 2t t² c 1 3t 3t² t³ d ou seja w₀ b c d w₀ 1 w 2b 3c w₁ 2 b 3c w₂ 3 c w₃ 4 De 4 c w₃ De 3 b 3c w₂ b 3 w₃ w₂ b w₂ 3 w₃ De 2 w₀ 2b 3c w₁ w₀ 2 w₂ 3 w₃ 3 w₃ w₁ w₀ 2w₂ 6w₃ 3 w₃ w₁ w₀ w₁ 2w₂ 3 w₃ w₀ w₁ 2w₂ 3w₃ w₂ 3w₃ w₃ d w₀ d w₀ w₁ w₂ w₃ Logo se w₀ w₁ t w₂ t² w₃ t³ P₃IR então w₀ w₁ t w₂ t² w₃ t³ w₁ 2w₂ 3 w₃ 1 t w₂ 3w₃ 1 t² w₃ 1 t³ w₀ w₁ w₂ w₃ 1 Portanto os polinômios 1 t 1 t² 1 t³ e 1 geram P₃IR 10 a Seja U x y z x 2y 0 Se v U então v deve satisfazer a equação x 2y 0 ou seja x 2y Logo v 2y y z Observe que v 2y y z y2 1 0 z0 0 1 Portanto os vetores 2 1 0 e 0 0 1 geram U U 2 1 0 0 0 1 b Seja V x y z x z 0 e x 2y 0 Se v V então v deve satisfazer x z 0 x 2y 0 onde obtemos z x e y x2 Logo v x x2 x Observe que v x x2 x x1 12 1 Portanto o vetor 1 12 1 gera V V 1 12 1 c Seja W x y z x 2y 3z 0 Se v W então v deve satisfazer a equação x 2y 3z 0 ou seja x 2y 3z Logo v 2y 3z y z Note que v 2y 3z y z y2 1 0 z3 0 1 Portanto os vetores 2 1 0 e 3 0 1 geram W W 2 1 0 3 0 1 d Se v U V então v V e v U Como não existe vetor comum aos dois subespaços segue que U V 0 e Sabemos que V W é a união dos geradores de W e V Logo V W 1 12 1 2 1 0 3 0 1 11 Devemos mostrar que todo z C pode ser escrito como combinação linear de 23i e 12i Considere z x yi e a b IR Considere a seguinte equação x yi a23i b12i a b IR 2a b x 1 3a 2b y 2 De 1 b x 2a De 2 3a 2b y 3a 2x 2a y 3a 2x 4a y 7a 2x y a 2x y7 Como b x 2a então b x 2 2x y7 b x 4x7 2y7 b 3x 2y7 Logo qualquer z C pode ser escrito como combinação linear de 23i e 12i isto é z 2x y72 3i 3x 2y71 2i Portanto 23i e 12i geram o espaço vetorial C sobre IR 12 Considere U xy IR² x y 0 e W xy IR² x y 0 subespaços de IR² O conjunto U W não é um subespaço de IR² De fato Temos que u 11 W logo u U W e w 11 W logo w U W Mas u w 11 11 20 U W Portanto U W não é um subespaço de IR²