Oscilações Forçadas e o Fenômeno da Ressonância

Física Fundamental II 4 Oscilações Forçadas e o Fenômeno da Ressonância Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 1 41 Oscilador sujeito a uma força externa senoidal Oscilador Amortecido Forçado conceitos e exemplos mecânicos e elétricos Vimos no tópico anterior que o amortecimento produz uma dissipação de energia Alguns sistemas físicos oscilatórios operam recebendo uma força externa também oscilatória que visa compensar as dissipações causadas pelo amortecimento Um exemplo disso é a corrente elétrica alternada que utilizamos em nosso diaadia Essas forças podem ser representadas matematicamente por uma função que depende do tempo da seguinte forma 𝐹ext 𝑡 𝐹0 cos 𝜔𝑡 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 2 Forma geral de uma força externa oscilatória com frequência angular 𝜔 A Equação Diferencial do Sistema Então se uma partícula de massa 𝑚 está sujeita às forças abaixo Força elástica 𝐹𝑒 𝑘 𝑥 Força de amortecimento 𝐹𝑎 𝑏 v b ሶ𝑥 Força externa oscilatória 𝐹ext 𝐹0 cos 𝜔𝑡 a segunda lei de Newton que afirma que 𝐹res 𝑚 ሷ𝑥 aplicada a essa partícula fornece o seguinte 𝑚 ሷ𝑥 𝑘𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝐹0 cos 𝜔𝑡 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 3 A Equação Diferencial do Sistema Então partindo de 𝑚 ሷ𝑥 𝑘𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝐹0 cos 𝜔𝑡 podemos dividir pela massa m e agrupar os termos que dependem da função posição 𝑥𝑡 para obter ሷ𝑥 2𝛽 ሶ𝑥 𝜔0 2𝑥 𝐷 cos 𝜔𝑡 onde 𝛽 𝑏2𝑚 é o parâmetro de amortecimento igual ao que conceituamos no tópico anterior 𝜔0 é a frequência natural de oscilação pois é a frequência que a partícula teria se não houvesse amortecimento ou força externa e 𝐷 𝐹0𝑚 Note a semelhança com o oscilador amortecido a única diferença é o termo 𝐴 cos 𝜔𝑡 justamente a força por unidade de massa externa que atua sobre o sistema Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 4 Equação de movimento que representa o Oscilador Amortecido Forçado Em que sistemas essa ideia se aplica Circuitos de corrente alternada Utilizada em nossas residências Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 5 Transmissão de sinais eletromagnéticos rádio tv internet etc Amortecedores de automóveis 42 Determinação da Solução do Oscilador Amortecido Forçado A seguir vamos resolver a equação diferencial do oscilador amortecido forçado para que possamos interpretar seu resultado e discutir suas consequências A equação é ሷ𝑥 2𝛽 ሶ𝑥 𝜔0 2𝑥 𝐷 cos 𝜔𝑡 Vamos classificala Tratase de uma EDO equação diferencial ordinária pois a incógnita que é a função 𝑥𝑡 está sendo derivada por uma derivada ordinária que não é parcial É uma equação de segunda ordem pois o maior grau da derivada é dois no primeiro termo ሷ𝑥 É uma equação linear pois a combinação linear de soluções fornece uma nova solução Possui coeficientes constantes o que significa que os termos que multiplicam 𝑥 e suas derivadas são números e não funções É uma equação nãohomogênea o que significa que nem todos os termos dependem de 𝑥 Isso é devido justamente à força externa que introduz o termo 𝐷 cos 𝜔𝑡 que depende apenas do tempo não de 𝑥 Essa classificação é fundamental para determinar o método de solução Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 6 Ponto chave a equação é nãohomogênea O fato de a equação ser nãohomogênea mas ser linear nos permite resolvêla da seguinte forma A solução total da equação é igual a uma soma 𝑥 𝑡 𝑥ℎ 𝑡 𝑥𝑝 𝑡 onde 𝑥ℎ 𝑡 é a solução da parte homogênea da equação que é ሷ𝑥 2𝛽 ሶ𝑥 𝜔0 2𝑥 0 e 𝑥𝑝 𝑡 é a chamada solução particular que é uma solução que satisfaz a equação não homogênea ሷ𝑥 2𝛽 ሶ𝑥 𝜔0 2𝑥 𝐷 cos 𝜔𝑡 Note que 𝑥ℎ 𝑡 já foi determinada é a posição em função do tempo para o oscilador amortecido que depende da relação entre 𝛽 e 𝜔0 como vimos no tópico 3 Já a função 𝑥𝑝 𝑡 precisa ser determinada Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 7 Solução particular A determinação de soluções particulares de EDOs não é um processo totalmente determinado Ele depende da forma do termo nãohomogêneo No caso como o termo é um cosseno supomos que a solução particular tem a seguinte forma 𝑥𝑝 𝑡 𝐵 cos 𝜔𝑡 𝛿 sendo 𝐴 e 𝛿 constantes a serem determinadas É justamente a determinação dessas constantes que irá resolver o problema Vamos agora substituir essa proposta de solução na equação nãohomogênea Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 8 Solução particular Derivando uma vez temos ሶ𝑥𝑝 𝑡 𝜔𝐵 sen 𝜔𝑡 𝛿 Derivando novamente ሷ𝑥𝑝 𝑡 𝜔2𝐵 cos 𝜔𝑡 𝛿 sendo 𝐴 e 𝛿 constantes a serem determinadas É justamente a determinação dessas constantes que irá resolver o problema Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 9 Solução particular Exercício A substituição das relações anteriores na equação diferencial conduz ao resultado abaixo 𝐵 𝐹0𝑚 𝜔0 2 𝜔2 2 4𝛽2𝜔2 𝛿 tg1 2𝛽𝜔 𝜔0 2 𝜔2 com a solução particular dada por 𝑥𝑝 𝑡 𝐵 cos 𝜔𝑡 𝛿 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 10 43 Análise da Solução fase transiente e fase estacionária Como a solução é uma soma da solução homogênea com a particular vamos ter três casos um para cada solução da homogênea que corresponde ao oscilador amortecido 1 Caso I Sobreamortecido A solução é 𝑥 𝑡 𝑐1𝑒 𝛽 𝛽2𝜔02 𝑡 𝑐2𝑒 𝛽 𝛽2𝜔02 𝑡 𝐵 cos 𝜔𝑡 𝛿 2 Caso II Criticamente Amortecido A solução é 𝑥 𝑡 𝑐1 𝑐2𝑡 𝑒𝛽𝑡 𝐵 cos 𝜔𝑡 𝛿 3 Caso III Subamortecido A solução é 𝑥 𝑡 𝐴𝑒𝛽𝑡 cos𝜔𝑡 𝜙 𝐵 cos 𝜔𝑡 𝛿 onde 𝜔 𝜔0 2 𝛽2 12 e 𝐴 é a amplitude da parte homogênea Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 11 Análise do Caso III Podemos analisar separadamente cada caso Vamos utilizar como exemplo o oscilador subamortecido onde há uma oscilação inicial Os demais ficarão como exercício A dinâmica fundamentalmente será a mesma como veremos O gráfico a seguir exemplifica o caso III Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 12 Os valores utilizados no gráfico acima foram 𝜔0 1rad𝑠 𝛽 01rad𝑠 𝜔 02rad𝑠 𝐹0 1𝑁 𝐴 1𝑚 𝜙 0 rad sendo também 𝑚 1kg 𝑘 1𝑁𝑚 𝑏 02 kgs Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 13 Exemplo de oscilador subamortecido forçado Interpretação do gráfico A curva vermelha representa a solução total ou seja a solução efetiva verdadeira do problema Essa solução é a soma da solução homogênea com a solução particular A solução homogênea em azul representa o oscilador amortecido ou seja o problema sem a força externa logo representa uma solução que decai exponencialmente de acordo com o fator 𝑒𝛽𝑡 tendendo a zero rapidamente Já a solução particular em verde representa justamente o efeito da força externa que causa um comportamento estável igual a uma forma de onda ou seja uma oscilação harmônica perfeita proporcional a cos𝜔𝑡 𝛿 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 14 Dessa forma o efeito da solução homogênea decai com o tempo ficando apenas a solução particular após um certo período Nós nos referimos a esse fenômeno dizendo que a solução homogênea fornece apenas um efeito transiente ou seja algo passageiro que não domina o movimento da partícula a não ser no início Após a fase transiente a solução particular causada pela força externa é que irá dominar Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 15 Fase Transiente Fase Estacionária Determinada pela Solução Particular 44 Ressonância da Amplitude Pela discussão anterior o termo dominante em se tratando de uma oscilação amortecida forçada é a solução particular Vamos considerar então que 𝑥 𝑡 𝐵 cos 𝜔𝑡 𝛿 representa a posição da partícula num eixo 𝑥 num instante 𝑡 Sendo que a amplitude é uma função da frequência 𝐵 𝐵 𝜔 dada pela expressão mencionada anteriormente 𝐵 𝜔 𝐹0𝑚 𝜔0 2 𝜔2 2 4𝛽2𝜔2 Podemos então verificar sob que condições a amplitude será máxima Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 16 44 Ressonância da Amplitude Considerando que a amplitude 𝐵 é uma função da frequência angular 𝜔 isto é 𝐵 𝐵𝜔 o ponto de máximo será encontrado caso exista quando a derivada de 𝐵 em relação a 𝜔 for zero pontos que anulam a derivada são chamados de pontos críticos Derivando então e igualando a zero encontramos 𝑑𝐵 𝑑𝜔 0 𝜔𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 2𝛽2 Este valor de 𝜔 é então o valor que irá maximizar a amplitude Portanto quando a força externa tiver exatamente esse valor de frequência a amplitude da oscilação será máxima ou seja esse é o caso desejável em que a força externa consegue produzir o maior efeito sobre a partícula Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 17 44 Ressonância da Amplitude Se o amortecimento for muito pequeno temos 𝛽 0 𝜔𝑚𝑎𝑥 𝜔0 Isso significa que o melhor efeito é obtido quando a frequência da força externa é igual à frequência 𝜔0 que representa a chamada frequência natural de oscilação da partícula pois é a frequência com a qual a partícula oscilaria naturalmente se não houvesse amortecimento e uma força externa Por esse motivo a condição 𝜔 𝜔0 é a condição para o fenômeno chamado de ressonância que é a amplificação da oscilação devida à correspondência entre a frequência da força externa e a frequência natural de oscilação da partícula Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 18 Condição de Ressonância O Fator de Qualidade Ao se aplicar uma força externa com o objetivo de manter a oscilação de um sistema devese justamente buscar o efeito da ressonância pois isto irá maximizar a amplitude Mas isso irá depender do amortecimento uma vez que a expressão exata da frequência de ressonância da amplitude é 𝜔𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 2𝛽2 que depende de 𝛽 Devido ao caso em que esse oscilador é elétrico vem uma definição de fator de qualidade que é uma grandeza que mede a eficiência de transformação da força externa em oscilação do sistema A definição para circuitos se traduz num sistema mecânico na definição abaixo 𝑄 𝜔𝑚𝑎𝑥 2𝛽 𝜔0 2 2𝛽2 2𝛽 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 19 Definição do fator de Qualidade 𝑸 do sistema Gráfico da Amplitude em Função da Frequência O gráfico acima mostra como a amplitude varia em função da frequência angular 𝜔 da força externa para vários valores de amortecimento 𝛽 A curva vermelha representa todos os pontos de máximo de todas as amplitudes relativas Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 20 Análise do gráfico anterior Vimos que a amplitude 𝐵 das oscilações amortecidas forçadas depende da frequência angular 𝜔 Vimos que o máximo de 𝐵 em função de 𝜔 ocorre quando 𝜔 𝜔0 2 2𝛽2 Na verdade 𝐵é uma função de 𝜔 e de 𝛽 Mas 𝛽 é uma característica da força de amortecimento Então é interessante observar o comportamento de 𝐵𝜔 para vários valores de 𝛽 Cada curva azul do gráfico anterior representa uma função 𝐵𝜔 para cada valor de 𝛽 Das curvas azuis vemos que quanto menor o valor de 𝛽 maior o pico da curva ou seja maior o valor máximo da amplitude 𝐵 Dito de outra forma quanto maior o valor de 𝛽 menor o pico da amplitude 𝐵 Isso significa que quanto menor o amortecimento maior a ressonância e maior o fator de qualidade 𝑄 A curva tracejada sobre 𝜔0 representa uma assíntota primeiro o ponto de máximo da amplitude que é a frequência de ressonância 𝜔0 2 2𝛽2 se aproxima de 𝜔0 à medida que 𝛽 diminui fato representado no gráfico pelo escurecimento da curva quando o pico aumenta A curva vermelha representa todos os pontos de máximo de todas as curvas 𝐵𝜔 sendo que cada valor de 𝛽 caracteriza uma curva Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 21 45 A Ressonância da Potência A força externa oscilatória fornece energia para o sistema através do trabalho que ela realiza Para mensurar esta transmissão de energia em função do tempo utilizase o conceito de potência uma grandeza definida por 𝑃 𝑑𝑊 𝑑𝑡 onde estamos particularizando para o trabalho 𝑊 Da definição de trabalho mostrase aplicando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia que a potência deve ser igual a 𝑃 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑡 ሶ𝑥 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 22 Com isso a potência vale 𝑃 𝑡 𝜔𝐹0 2 cos 𝜔𝑡 sen 𝜔𝑡 𝛿 𝑚 𝜔0 2 𝜔2 2 4𝛽2𝜔2 O seu valor médio num intervalo de tempo de um período é 𝑃 1 𝑇 න 0 𝑇 𝑃 𝑡 𝑑𝑡 𝛽𝜔2𝐹0 2 𝑚 𝜔0 2 𝜔2 2 4𝛽2𝜔2 Após derivar em relação a 𝜔 e igualar a zero obtemos os valores críticos para 𝑃 Destes que são 0 𝜔0 𝜔0 𝑖𝜔0 𝑖𝜔0 o único valor real positivo é o próprio 𝜔0 sendo portanto a única solução capaz de representar de fato uma frequência física 𝜔 𝜔0 verificando portanto que a frequência que maximiza também a potência é a frequência natural de oscilação Dessa forma a ressonância irá maximizar a potência ou seja a taxa com que a força externa realiza trabalho sobre a partícula Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 23