Oscilações Livres: Fenômenos e Força Restauradora

Física Fundamental II 3 Oscilações Livres Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 1 31 Fenômenos oscilatórios e a Força restauradora Uma oscilação é um movimento no qual uma partícula passa pela mesma posição indo e voltando Um exemplo que ilustra a situação é o do bloco preso a uma mola A força elástica que atua sobre o bloco vale 𝐹𝑒 𝑘𝑥 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 2 A constante 𝒌 A constante 𝑘 chamada constante elástica da mola é o que informa se a mola irá puxar o bloco mais intensamente ou não de acordo com distensão da mola 𝑥 Como kFx uma constante maior significa que uma força maior é necessária para esticar um mesmo valor 𝑥 ou dito de outra forma é tanto mais difícil esticar uma mola quanto maior for 𝑘 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 3 𝑘 pequeno 𝑘 grande Esta força é chamada força restauradora ou força elástica pois ela sempre puxa a partícula de volta para a posição de equilíbrio É também chamada Lei de Hooke em homenagem a Robert Hooke 16351703 cientista inglês Ela não é a única forma de descrever uma oscilação mas é sempre uma primeira aproximação para qualquer oscilação Para o exemplo da mola veja a animação interativa abaixo httpsphetcoloradoedusimshtmlmassesandspringsbasicslatestmassesandspringsbasicsallhtmllocaleptBR Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 4 A temperatura em um sólido é caracterizada pela vibração das partículas Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 5 As ondas são fenômenos oscilatórios As molas amortecem através de uma oscilação 32 O Movimento Harmônico Simples MHS Uma partícula sujeita exclusivamente a uma força restauradora experimenta o chamado movimento harmônico simples Vamos considerar o exemplo da mola sendo 𝑚 a massa do bloco e 𝑥 sua posição sendo 𝑘 a constante da mola Pela segunda lei de Newton a força resultante 𝐹 é igual a 𝐹𝑒 Então 𝑚 ሷ𝑥 𝑘𝑥 onde ሷ𝑥 representa a segunda derivada de 𝑥 em relação ao tempo Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 6 Solução da Equação Diferencial Podemos reescrever a equação anterior da seguinte forma ሷ𝑥 𝜔2𝑥 0 onde 𝜔 𝑘 𝑚 Esta grandeza é chamada frequência angular Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 7 Equação que descreve o movimento Harmônico Simples MHS Método de Solução Substituindo o teste 𝑥 𝑡 𝑒𝜆𝑡 na equação diferencial do problema obtemos a chamada equação característica 𝜆2 𝜔2 0 Note que 𝜔 é uma constante que caracteriza a oscilação a chamada frequência angular enquanto que 𝜆 é uma constante a ser determinada Note também que o método de testar a solução 𝑥 𝑡 𝑒𝜆𝑡 transformou a equação diferencial ሷ𝑥 𝜔2𝑥 0 na equação algébrica 𝜆2 𝜔2 0 ou seja diminuiu enormemente o nível de dificuldade do problema Mas isso é útil em geral apenas para equações linearescom coeficientes constantes Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 8 Método de Solução A equação característica deste problema é uma equação algébrica do tipo polinomial do segundo grau em 𝜆 𝜆2 𝜔2 0 Suas soluções são portanto 𝜆1 𝑖𝜔 e 𝜆2 𝑖𝜔 Daí vemos que há pelo menos duas soluções para 𝑥 𝑡 que são 𝑥1 𝑡 𝑒𝜆1𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑡 e 𝑥2 𝑡 𝑒𝜆2𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑡 Vamos analisar essas soluções do ponto de vista das equações diferenciais Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 9 Método de Solução De acordo com a teoria das Equações Diferenciais a equação do MHS que é ሷ𝑥 𝜔2𝑥 0 é uma EDO Equação Diferencial Ordinária pois a derivada é ordinária derivada total e não parcial sendo também linear o que significa que uma combinação linear de soluções é também solução da equação A linearidade é definida pelas duas propriedades independentes abaixo I Se 𝑥1 𝑡 é uma solução da EDO e 𝑥2 𝑡 é uma outra solução da EDO então a soma 𝑥 𝑡 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 é também uma solução da EDO II Se 𝑥1 𝑡 é uma solução da EDO e 𝑐 é uma constante real ou complexa então o produto 𝑥 𝑡 𝑐 𝑥1 𝑡 é também uma solução da EDO A equação do MHS é linear pois tomando duas soluções quaisquer 𝑥1 𝑡 e 𝑥2 𝑡 e um número qualquer 𝑐 de modo formal ou seja sem fixalas verificase que as propriedades I e II acima são satisfeitas Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 10 Método de Solução A definição anterior de linearidade é logicamente equivalente como se pode demonstrar a considerar que dadas duas soluções 𝑥1 𝑡 e 𝑥2 𝑡 a combinação linear delas será também solução Definição Dadas duas soluções 𝑥1 𝑡 e 𝑥2 𝑡 uma combinação linear delas é uma solução 𝑥 𝑡 da forma 𝑥 𝑡 𝑐1𝑥1 𝑡 𝑐2𝑥2 𝑡 sendo 𝑐1 e 𝑐2 duas constantes Além disso há outros resultados da teoria das EDs que mostram que uma equação diferencial linear de ordem n precisa ter n soluções bem diferentes para que possamos considerar a sua solução geral como a combinação linear dessas soluções bem diferentes No caso a EDO do MHS é de ordem 2 pois a derivada de maior grau é 2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 11 Método de Solução Esse conceito de bem diferente é uma forma intuitiva de falar em independência linear Duas funções 𝑥1 𝑡 e 𝑥2 𝑡 são linearmente independentes abreviado li por definição quando uma não puder ser escrita como múltipla da outra É o caso por exemplo do seno e do cosseno 𝑥1 𝑡 cos 2𝑡 e 𝑥2 𝑡 sen 2𝑡 são funções li pois uma não pode ser escrita como múltipla da outra Como contraexemplo temos as funções 𝑥1 𝑡 5 𝑡2 2 e 𝑥2 𝑡 𝑡2 20𝑡 100 Elas não são li pois como se pode verificar 𝑥2 𝑡 4𝑥1 𝑡 Dizemos que elas são linearmente dependentes ld Outro exemplo de funções li são exponenciais 𝑥1 𝑡 𝑒𝜆1𝑡 e 𝑥1 𝑡 𝑒𝜆2𝑡 são li sempre que os coeficientes sejam diferentes 𝜆1 𝜆2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 12 Método de Solução Portanto sendo a equação do MHS uma EDO linear como obtivemos as soluções 𝑥1 𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑡 e 𝑥2 𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑡 estas soluções são li De acordo com o estudo das EDOs Lineares sendo a equação do MHS de ordem 2 duas soluções li geram o espaço das soluções Isso significa em outras palavras que a solução geral da equação do MHS é uma combinação linear das soluções anteriores o que se escreve da seguinte forma 𝑥 𝑡 𝑐1𝑥1 𝑡 𝑐2𝑥2 𝑡 ou seja 𝑥 𝑡 𝑐1𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑐2𝑒𝑖𝜔𝑡 Esta é portanto a solução geral da Equação Diferencial do Movimento Harmônico Simples Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 13 Solução Geral Obtemos duas soluções básicas e a solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear destas soluções básicas A solução em termos de exponenciais imaginárias pode ser reescrita como uma combinação de senos e cossenos Podemos fazer uma mudança de variáveis nas constantes para reescrever a solução da forma 𝑥 𝑡 𝑥𝑚 cos𝜔𝑡 𝜙 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 14 Observação Para reescrever a solução geral como o termo anterior o procedimento é o seguinte 1 Expanda ambas as exponenciais complexas usando a identidade de Euler 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜃 𝑖 sen 𝜃 2 Observe que o cosseno é uma função par e o seno é uma função ímpar ou seja cos 𝜃 cos 𝜃 e sen 𝜃 sen 𝜃 3 Isso permite reescrever 𝑥 𝑡 𝑐1 𝑐2 cos 𝜔𝑡 𝑖 𝑐2 𝑐1 sen 𝜔𝑡 4 Sendo 𝑐3 𝑐1 𝑐2 e 𝑐4 𝑖 𝑐2 𝑐1 podemos escrever 𝑐3 e 𝑐4 em coordenadas polares da seguinte forma 𝑐3 𝐴 cos 𝜙 e 𝑐4 𝐴 sen 𝜙 onde fizemos uma mudança de variável nas constantes 5 Aplicando a equação do cosseno da soma de dois ângulos temos cos 𝜔𝑡 𝜙 cos 𝜔𝑡 cos 𝜙 sen 𝜔𝑡 sen 𝜙 6 Com isso a solução geral é 𝑥 𝑡 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝜙 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 15 33 Período Frequência Energia Cinética Energia Potencial Energia média e Conservação da Energia no MHS O Período 𝑇 do movimento é o tempo necessário para completar uma oscilação A frequência 𝑓 é o número de oscilações por unidade de tempo Ambas estão relacionadas por 𝑓 1 𝑇 uma vez que ocorre uma oscilação num tempo igual ao período 𝑇 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 16 A frequência angular do movimento 𝜔 está relacionada com a frequência 𝑓 assim 𝜔 2𝜋𝑓 Ou em termos do período 𝜔 2𝜋 𝑇 Unidade de 𝑓 hertz Hz 1𝑠1 Unidade de 𝜔 rads Período no MHS No MHS temos 𝜔 𝑘𝑚 Então o período vale 𝑇 2𝜋 𝜔 2𝜋 𝑘𝑚 2𝜋 𝑚 𝑘 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 17 Energia Cinética do MHS A energia cinética de um movimento unidimensional num eixo 𝑥 é dada por 𝐾 1 2 𝑚 ሶ𝑥2 onde ሶ𝑥 é a velocidade da partícula ou seja ሶ𝑥 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡 Derivando a posição em relação ao tempo ሶ𝑥 𝑡 𝑥𝑚𝜔 sen 𝜔𝑡 𝜙 Com isso determinamos a energia cinética 𝐾 1 2 𝑚𝜔2𝑥𝑚 2 sen2 𝜔𝑡 𝜙 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 18 Energia Potencial A energia potencial em relação à posição de equilíbrio é dada por 𝑈 𝑥 න 0 𝑥 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 1 2 𝑘𝑥2 ቚ 0 𝑥 1 2 𝑘𝑥2 Dessa forma da expressão de 𝑥 𝑈 𝑥 1 2 𝑚𝜔2𝑥𝑚 2 cos2 𝜔𝑡 𝜙 Onde também foi usado que 𝜔 𝑘𝑚 o que leva a 𝑘 𝑚𝜔2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 19 Energia Mecânica e Conservação A energia total ou energia mecânica é igual à soma da energia cinética com a potencial 𝐸 𝐾 𝑈 1 2 𝑚𝜔2𝑥𝑚 2 Note que este valor é constante logo a energia no MHS é conservada Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 20 Expressando as energias em função de 𝑥 Graças à conservação anterior para um MHS com energia fixa E as energias cinética e potencial podem ser expressas como funções da posição assim 𝑈 𝑥 1 2 𝑘𝑥2 𝐾 𝐸 1 2 𝑘𝑥2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 21 34 Aplicações do MHS I Pêndulo de Torção O pêndulo de torção é um objeto que rotaciona de forma oscilante como ilustra a figura ao lado Há um ângulo médio tomado como zero e o objeto oscila de 𝜃𝑚 até 𝜃𝑚 Esta oscilação é causada por um torque que obedece a uma lei do tipo lei de Hooke da seguinte forma 𝜏 𝜅𝜃 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 22 34 Aplicações do MHS I Pêndulo de Torção Aplicando a segunda lei de Newton para rotações 𝜏𝑧 𝐼𝛼 sendo 𝛼 ሷ𝜃 a aceleração angular e 𝐼 a inércia rotacional do objeto em relação ao eixo de rotação Com isso a 2ª Lei para rotações conduz a ሷ𝜃 𝜔2𝜃 0 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 23 34 Aplicações do MHS I Pêndulo de Torção desde que se defina a constante abaixo que possui o papel de frequência angular do movimento 𝜔 𝜅 𝐼 Vemos portanto que se trata de um MHS Podemos calcular o seu período que resulta 𝑇 2𝜋 𝐼 𝜅 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 24 Exemplo Um disco cuja inércia rotacional é 1 2 𝑀𝑅2 sendo 𝑀 a sua massa e 𝑅 o seu raio oscila em torno do seu eixo de simetria sujeito a um torque restaurador Experimentalmente se verificam no laboratório os seguintes dados a Determine a constante de Hooke 𝜅 desse torque restaurador b Determine a frequência angular 𝜔 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 25 Dado Valor Período 08𝑠 Raio 10𝑐𝑚 Massa 25kg 34 Aplicações do MHS II Pêndulo Simples Uma partícula presa por um fio oscilando é um pêndulo simples Aplicando a segunda lei para rotações 𝜏𝑧 𝐼𝛼 sendo 𝐼 a inércia rotacional e 𝛼 a aceleração angular Aplicando a definição de torque verificando que o torque do peso na situação da figura está no sentido horário sendo portanto negativo temos 𝜏pesoz 𝐿𝑚𝑔 sen 𝜋 𝜃 𝐿𝑚𝑔 sen 𝜃 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 26 34 Aplicações do MHS II Pêndulo Simples Como 𝛼 ሷ𝜃 𝑑2𝜃𝑑𝑡2 comparando 𝜏pesoz com a segunda lei para rotações e considerando que a inércia rotacional da situação ao lado é 𝐼 𝑚𝐿2 temos ሷ𝜃 𝑔 𝐿 sen 𝜃 0 Equação que pode ser simplificada para 𝜃𝑚 pequeno levando a sendo 𝜔 𝑔𝐿 ሷ𝜃 𝜔2𝜃 0 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 27 34 Aplicações do MHS II Pêndulo Simples A partir dessa frequência angular podemos determinar de forma usual o período 𝑇 2𝜋 𝜔 2𝜋 𝐿 𝑔 Isso significa que o período do pêndulo simples depende apenas do comprimento do fio Logo não depende de qualquer outra grandeza como a massa da partícula Por isso é que se constroem relógios de pêndulo Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 28 Sobre a aproximação A função seno pode ser expandida em uma série de Taylor como uma soma infinita de potências da seguinte forma sen 𝜃 𝜃 𝜃3 3 𝜃5 5 𝜃7 7 Quanto mais próximo de zero for o ângulo 𝜃 menores serão os termos após 𝜃 sendo que cada potência maior fornece uma correção cada vez menor Então para uma oscilação pequena a amplitude 𝜃𝑚 é próxima de zero e podemos tomar na expansão acima apenas o primeiro termo Isso significa fazer a aproximação sen 𝜃 𝜃 Com isso a equação original do pêndulo ሷ𝜃 𝑔 𝐿 sen 𝜃 0 se torna uma equação linear que é a equação do MHS ሷ𝜃 𝑔 𝐿 𝜃 0 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 29 Sobre a aproximação A equação do pêndulo simples também pode ser estudada diretamente sem simplificações através dos seguintes métodos Solução Analítica através da solução direta da equação ሷ𝜃 𝑔 𝐿 sen 𝜃 0 Solução numérica utilizando discretização e derivada numérica Análise qualitativa através da técnica dos sistemas dinâmicos No entanto cada um desses métodos de solução exige uma técnica que foge ao escopo de nosso curso Por isso estudamos apenas a simplificação do problema o que limita nossa análise para pequenas oscilações apenas Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 30 34 Aplicações do MHS III Pêndulo Físico A figura ao lado é uma forma genérica de representar uma oscilação de um corpo que não precisa ter o mesmo formato da figura pode ter qualquer formato na verdade Este objeto é posto para oscilar em torno de um eixo que está perpendicular à figura e passa pelo ponto O Note que matematicamente a situação ao lado é a mesma do pêndulo simples até antes do ponto no qual fixamos 𝐼 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 31 34 Aplicações do MHS III Pêndulo Físico Mantendo então 𝐼 genérico a segunda lei de Newton para rotações conduz a 𝐼 ሷ𝜃 𝑀𝑔ℎ sen 𝜃 trocando 𝐿 que era o comprimento do fio pelo ℎ que é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa do pêndulo físico Reorganizando ሷ𝜃 𝑀𝑔ℎ 𝐼 sen 𝜃 0 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 32 34 Aplicações do MHS III Pêndulo Físico Dessa forma definindo a frequência do oscilador 𝜔 𝑀𝑔ℎ𝐼 temos ሷ𝜃 𝜔2 sen 𝜃 0 Para pequenas oscilações podemos fazer a mesma aproximação para considerar que o pêndulo oscila como um MHS usual de equação ሷ𝜃 𝜔2𝜃 0 Do 𝜔 acima determinamos o período 𝑇 2𝜋 𝐼 𝑀𝑔ℎ Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 33 Fonte D Halliday R Resnick J Walker Fundamentos de Física volume 1 10ª edição Editora LTC Tabela de Momentos de Inércia Parte I Fonte D Halliday R Resnick J Walker Fundamentos de Física volume 1 10ª edição Editora LTC Tabela de Momentos de Inércia Parte II O Teorema dos Eixos Paralelos Para podermos determinar a Inércia Rotacional de um objeto em um outro eixo que não seja aquele que passa pelo seu centro de massa que é o fornecido pelas tabelas devemos aplicar o chamado Teorema dos Eixos Paralelos A inércia rotacional da esfera de raio 𝑅 em relação ao eixo ao lado que passa pelo CM é conhecida 𝐼 2 5 𝑀𝑅2 Porém qual seria a Inércia rotacional em relação a um outro eixo paralelo ao primeiro eixo Eixo que passa pelo CM CM Eixo Paralelo O Teorema dos Eixos Paralelos Eixo que passa pelo CM CM Eixo Paralelo Sendo 𝑳 distância entre os eixos 𝑴 massa do corpo rígido 𝑰𝑪𝑴 momento de inércia do corpo rígido em relação ao CM 𝑰 momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo paralelo o teorema dos eixos paralelos afirma que 𝐼 𝐼𝐶𝑀 𝑀𝐿2 𝑳 𝑴 Exemplo Esfera em relação a um eixo tangente à esfera Inicialmente a inércia da esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa vale 𝐼𝐶𝑀 2 5 𝑀𝑅2 Aplicando o Teorema dos eixos paralelos e notando que a distância entre os eixos 𝑙 é neste caso o próprio raio da esfera 𝑅 temos 𝐼 𝐼𝐶𝑀 𝑀𝐿2 𝐼 2 5 𝑀𝑅2 𝑀𝑅2 𝐼 7 5 𝑀𝑅2 Eixo que passa pelo CM CM Eixo Paralelo 𝑳 𝑹 𝑴 Exemplo Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 39 Exercício Dicas Podemos somar os momentos de inércia dos dois objetos Note que é preciso aplicar o teorema dos eixos paralelos duas vezes Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 40 35 Oscilador sujeito à força restauradora 𝐹𝑒 𝑘𝑥 e uma força de amortecimento 𝐹𝑎 𝑏v Equação característica do problema Uma forma de modelar matematicamente o efeito de uma força que dissipa energia é através de uma força dependente da velocidade ou seja da forma 𝐹v Existem muitas formas de modelar essa força sendo a mais simples uma proporção direta 𝐹𝑎 𝑏 v onde o sinal negativo indica o fato de que a força de resistência atua no sentido oposto ao movimento e 𝑏 é uma constante a ser determinada experimentalmente Essa oposição faz com que a partícula perca energia e o movimento tende a cessar Verificaremos como essa dissipação é descrita matematicamente Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 41 Equação de Movimento Considerando uma partícula sobre a qual atuam apenas duas forças sendo uma a força elástica dada por 𝐹𝑒 𝑘𝑥 e a outra a de amortecimento proporcional à velocidade 𝐹𝑎 𝑏v b ሶx temos a segunda lei de Newton 𝐹𝑅 𝐹𝑒 𝐹𝑎 𝑚 ሷ𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑘𝑥 Daí rearranjando os termos e isolando ሷ𝑥 a equação de movimento se torna ሷ𝑥 𝑡 2𝛽 ሶ𝑥 𝑡 𝜔0 2 𝑥 𝑡 0 onde definimos 𝜔0 𝑘𝑚 e 𝛽 𝑏2𝑚 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 42 O que representa essa equação A equação anterior é uma equação diferencial do tipo ordinária pois só envolve derivadas ordinárias não envolve derivadas parciais linear a combinação linear de soluções é uma solução de segunda ordem a maior ordem de derivada de 𝑥 𝑡 que aparece é 2 com coeficientes constantes que são iguais a 1 2𝛽 e 𝜔0 2 Essa equação descreve um oscilador amortecido um objeto que oscila ou tenta oscilar mas que dissipa energia no processo tendendo ao repouso com o passar do tempo É uma versão mais próxima de osciladores macroscópicos reais do que o MHS que é mais idealizado O estudo matemático das soluções da equação acima permite descrever de fato o movimento de forma quantitativa Para isso devemos analisar três casos Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 43 Resolução da EDO Para resolver a equação supomos uma solução básica do tipo 𝑥 𝑡 𝑒𝜆𝑡 O que conduz à seguinte equação característica 𝜆2 2𝛽𝜆 𝜔2 0 Aplicando o método usual de resolução de equações algébricas do segundo grau encontramos 𝜆 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 44 36 Determinação dos três tipos de Solução e seus significados físicos Subamortecida Criticamente Amortecida e Sobreamortecida Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 45 Classificação das soluções A expressão 𝜆 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 representa na verdade três possibilidades dado que o radical pode ser positivo negativo ou nulo I Caso I 𝜷 𝝎𝟎 Neste caso 𝛽2 𝜔0 2 0 e a equação característica tem duas raízes reais distintas dadas por 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 e 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 II Caso II 𝜷 𝝎𝟎 Neste caso 𝛽2 𝜔0 2 0 e a equação característica tem exatamente uma raiz real dada por 𝜆 𝛽 𝑏2𝑚 III Caso III 𝜷 𝝎𝟎 Neste caso 𝛽2 𝜔0 2 0 e a equação característica tem duas raízes complexas distintas dadas por 𝛽 𝑖 𝜔0 2 𝛽2 e 𝛽 𝑖 𝜔0 2 𝛽2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 46 Significado dos coeficientes O coeficiente 𝛽 é proporcional a 𝑏 a constante de amortecimento Então 𝛽 mede o efeito do amortecimento nas soluções de 𝜆 Já a constante 𝜔0 é a chamada frequência angular natural de oscilação pois se não houvesse amortecimento a partícula estaria num MHS com este valor de frequência Então no estudo das possíveis soluções existe uma competição entre os fatores 𝛽 e 𝜔0 É justamente essa competição que determina o tipo de solução Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 47 Exemplo experimental No vídeo abaixo é possível ver uma demonstração de um oscilador amortecido constituído por um ímã de neodímio que sofre uma frenagem magnética devido à indução eletromagnética o chamado freio magnético Uma placa de metal é colocada cada vez mais próxima do ímã o que faz com que o amortecimento aumente imagine que 𝛽 aumenta a cada aproximação da placa No início o movimento é subamortecido depois atinge o amortecimento crítico e depois fica superamortecido Essa transição é visível no vídeo httpswwwyoutubecomwatchv99ZE2RGwqSMt15s Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 48 Análise Física do Caso I Caso I 𝛽 𝜔0 Neste caso 𝛽2 𝜔0 2 0 e a equação característica tem duas raízes reais distintas dadas por 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 e 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 Como 𝛽 representa o amortecimento e 𝜔0 representa a frequência natural de oscilação o caso 𝛽 𝜔0 é aquele no qual o amortecimento é muito mais forte do que a oscilação Por isso chamamos este caso 𝛽 𝜔0 de superamortecimento ou oscildor superamortecido ou ainda de sobreamortecimento ou oscilador sobreamortecido Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 49 Análise Física do Caso I Neste caso como as soluções têm a forma 𝑥 𝑡 𝑒𝜆𝑡 a solução geral do caso superamortecido é 𝑥 𝑡 𝑐1𝑒 𝛽 𝛽2𝜔02 𝑡 𝑐2𝑒 𝛽 𝛽2𝜔02 𝑡 onde 𝑐1 e 𝑐2 representam duas constantes que surgem durante a resolução da equação diferencial que precisam das condições iniciais abaixo para serem determinadas 𝑥0 a posição inicial Precisamos saber o valor da posição da partícula no instante inicial do movimento ሶ𝑥0 a velocidade inicial Precisamos saber o valor da velocidade da partícula no instante inicial do movimento Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 50 Unidades Analisando as grandezas com as quais estamos lidando e suas relações matemáticas podemos construir a tabela abaixo Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 51 Grandeza Unidade SI Comprimento 𝑥 m Tempo 𝑡 e Período 𝑇 s Força 𝐹 N Constante Elástica k Nm Frequência Angular 𝜔 s1 Coeficiente 𝑏 kgs Coeficiente 𝛽 s1 Exemplo 1 Um oscilador de 200g está sujeito a uma força de amortecimento 𝐹𝑎 5kgsv e uma força elástica 𝐹𝑒 3𝑁𝑚𝑥 a Identifique as constantes 𝑏 e 𝑘 com suas unidades SI b Determine os valores das constantes 𝛽 e 𝜔0 com suas unidades SI c Este oscilador é superamortecido Justifique d Escreva a forma da sua solução 𝑥𝑡 com as constantes 𝑐1 e 𝑐2 e Imponha a condição inicial 𝑥 0 0𝑚 para obter uma relação entre 𝑐1 e 𝑐2 f Reescreva a solução 𝑥𝑡 em termos dessa relação g Imponha a condição inicial ሶ𝑥 0 1𝑚𝑠 para obter as constantes 𝑐1 e 𝑐2 h Escreva finalmente a função 𝑥𝑡 que realmente descreve este oscilador i Plote o gráfico desta função usando um site ou software adequado para plotar x versus t Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 52 Gráfico do Exemplo Anterior Sobreamortecido Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 53 A solução final é 𝑥 𝑡 004𝑒06 𝑡 𝑒244 𝑡 Exercício 1 Um oscilador de 100g está sujeito a uma força de amortecimento 𝐹𝑎 10kgsv e uma força elástica 𝐹𝑒 4𝑁𝑚𝑥 a Identifique as constantes 𝑏 e 𝑘 com suas unidades SI b Determine os valores das constantes 𝛽 e 𝜔0 com suas unidades SI c Este oscilador é superamortecido Justifique d Escreva a forma da sua solução 𝑥𝑡 com as constantes 𝑐1 e 𝑐2 e Imponha a condição inicial 𝑥 0 0𝑚 para obter uma relação entre 𝑐1 e 𝑐2 f Reescreva a solução 𝑥𝑡 em termos dessa relação g Imponha a condição inicial ሶ𝑥 0 35𝑚𝑠 para obter as constantes 𝑐1 e 𝑐2 h Escreva finalmente a função 𝑥𝑡 que realmente descreve este oscilador i Plote o gráfico desta função usando um site ou software adequado para plotar x versus t Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 54 Análise Física do Caso II Caso II 𝛽 𝜔0 Neste caso 𝛽2 𝜔0 2 0 e a equação característica tem apenas uma raiz que é real dada por 𝜆 𝛽 Como 𝛽 representa o amortecimento e 𝜔0 representa a frequência natural de oscilação o caso 𝛽 𝜔0 representa uma situação crítica na qual se separam os casos sobre e subamortecido Por isso chamamos este caso 𝛽 𝜔0 de amortecimento crítico ou dizemos que o oscilador está criticamente amortecido Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 55 Análise Física do Caso II Neste caso a solução da equação envolve outros métodos de solução como a variação dos parâmetros que conduzem a 𝑥 𝑡 𝑐1 𝑐2𝑡 𝑒𝛽𝑡 onde 𝑐1 e 𝑐2 representam duas constantes que surgem durante a resolução da equação diferencial que precisam das condições iniciais abaixo para serem determinadas 𝑥0 a posição inicial Precisamos saber o valor da posição da partícula no instante inicial do movimento ሶ𝑥0 a velocidade inicial Precisamos saber o valor da velocidade da partícula no instante inicial do movimento Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 56 Exemplo 1 Um oscilador de 4kg está sujeito a uma força de amortecimento 𝐹𝑎 40kgsv e uma força elástica 𝐹𝑒 100𝑁𝑚𝑥 a Identifique as constantes 𝑏 e 𝑘 com suas unidades SI b Determine os valores das constantes 𝛽 e 𝜔0 com suas unidades SI c Este oscilador é criticamente amortecido de fato Justifique d Escreva a forma da sua solução 𝑥𝑡 com as constantes 𝑐1 e 𝑐2 e Imponha a condição inicial 𝑥 0 5𝑚 para obter uma relação entre 𝑐1 e 𝑐2 f Reescreva a solução 𝑥𝑡 em termos dessa relação g Imponha a condição inicial ሶ𝑥 0 0𝑚𝑠 para obter as constantes 𝑐1 e 𝑐2 h Escreva finalmente a função 𝑥𝑡 que realmente descreve este oscilador i Plote o gráfico desta função usando um site ou software adequado para plotar x versus t Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 57 Gráfico do Exemplo Anterior Sobreamortecido Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 58 A solução final é 𝑥 𝑡 5 1 5𝑡 𝑒5𝑡 Exercício 1 Um oscilador de 125kg está sujeito a uma força de amortecimento 𝐹𝑎 1875kgsv e uma força elástica 𝐹𝑒 8𝑁𝑚𝑥 a Identifique as constantes 𝑏 e 𝑘 com suas unidades SI b Determine os valores das constantes 𝛽 e 𝜔0 com suas unidades SI c Este oscilador é criticamente amortecido de fato Justifique d Escreva a forma da sua solução 𝑥𝑡 com as constantes 𝑐1 e 𝑐2 e Imponha a condição inicial 𝑥 0 15𝑚 para obter uma relação entre 𝑐1 e 𝑐2 f Reescreva a solução 𝑥𝑡 em termos dessa relação g Imponha a condição inicial ሶ𝑥 0 0𝑚𝑠 para obter as constantes 𝑐1 e 𝑐2 h Escreva finalmente a função 𝑥𝑡 que realmente descreve este oscilador i Plote o gráfico desta função usando um site ou software adequado para plotar x versus t Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 59 Análise Física do Caso III Caso III 𝜔0 𝛽 Neste caso 𝜔0 2 𝛽2 0 e a equação característica tem duas raízes reais distintas dadas por 𝛽 𝑖 𝜔0 2 𝛽2 e 𝛽 𝑖 𝜔0 2 𝛽2 Como 𝛽 representa o amortecimento e 𝜔0 representa a frequência natural de oscilação o caso 𝜔0 𝛽 é aquele no qual o amortecimento é mais fraco do que a oscilação Por isso chamamos este caso 𝜔0 𝛽 de subamortecimento ou oscildor sub amortecido Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 60 Análise Física do Caso I Neste caso como as soluções têm a forma 𝑥 𝑡 𝑒𝜆𝑡 a solução geral do caso superamortecido é 𝑥 𝑡 𝑐1𝑒 𝛽𝑖 𝜔02𝛽2 𝑡 𝑐2𝑒 𝛽𝑖 𝜔02𝛽2 𝑡 onde 𝑐1 e 𝑐2 representam duas constantes que surgem durante a resolução da equação diferencial que precisam das condições iniciais abaixo para serem determinadas 𝑥0 a posição inicial Precisamos saber o valor da posição da partícula no instante inicial do movimento ሶ𝑥0 a velocidade inicial Precisamos saber o valor da velocidade da partícula no instante inicial do movimento Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 61 Análise Física do Caso I A solução anterior pode ser reescrita de uma forma mais intuitiva assim 𝑥 𝑡 𝐴𝑒𝛽𝑡 cos𝜔𝑡 𝜙 sendo 𝜔 𝜔0 2 𝛽2 é a frequência de oscilação efetiva e 𝜙 é a constante de fase que tem um papel semelhante à constante de fase do MHS A imposição das condições iniciais será a responsável pela determinação das constantes 𝐴 e 𝜙 que substituem as constantes 𝑐1 e 𝑐2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 62 Exemplo 1 Um oscilador de 64kg está sujeito a uma força de amortecimento 𝐹𝑎 2kgsv e uma força elástica 𝐹𝑒 121𝑁𝑚𝑥 a Identifique as constantes 𝑏 e 𝑘 com suas unidades SI b Determine os valores das constantes 𝛽 𝜔0 e 𝜔 𝜔0 2 𝛽2 com suas unidades SI c Este oscilador é subamortecido de fato Justifique d Escreva a forma da sua solução 𝑥𝑡 com as constantes 𝐴 𝜔 e 𝜙 e Imponha a condição inicial 𝑥 0 0𝑚 para determinar a constante de fase 𝜙 em radianos Dica Por simplicidade considere uma constante de fase positiva f Reescreva a solução 𝑥𝑡 em termos dessa relação g Imponha a condição inicial ሶ𝑥 3𝑠 4𝑚𝑠 para obter a amplitude 𝐴 h Escreva finalmente a função 𝑥𝑡 que realmente descreve este oscilador i Plote o gráfico desta função usando um site ou software adequado para plotar x versus t Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 63 Gráfico do Exemplo Anterior Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 64 A solução final é 𝑥 𝑡 418𝑒𝑡64 cos 138𝑡 134 Exercício 1 Um oscilador de 25kg está sujeito a uma força de amortecimento 𝐹𝑎 40kgsv e uma força elástica 𝐹𝑒 100𝑁𝑚𝑥 a Identifique as constantes 𝑏 e 𝑘 com suas unidades SI b Determine os valores das constantes 𝛽 𝜔0 e 𝜔 𝜔0 2 𝛽2 com suas unidades SI c Este oscilador é subamortecido de fato Justifique d Escreva a forma da sua solução 𝑥𝑡 com as constantes 𝐴 e 𝜙 e Imponha a condição inicial 𝑥 0 0𝑚 para determinar a constante de fase 𝜙 em radianos Dica Por simplicidade considere uma constante de fase positiva f Reescreva a solução 𝑥𝑡 em termos com os valores obtidos de 𝜔 e 𝜙 g Imponha a condição inicial ሶ𝑥 2𝑠 15𝑚𝑠 para obter a amplitude 𝐴 h Escreva finalmente a função 𝑥𝑡 que realmente descreve este oscilador i Plote o gráfico desta função usando um site ou software adequado para plotar x versus t Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 65 37 Análise da dissipação de energia nos osciladores amortecidos Devido à presença da força dependente da velocidade que é a força de amortecimento há dissipação de energia Essa dissipação pode ser calculada quando comparamos a energia mecânica durante o movimento 𝐸𝑡 com a energia mecânica inicial 𝐸0 𝐸0 Estes valores de energia dependerão dos casos considerados pois a energia mecânica é dada por 𝐸 𝑡 𝐾 𝑈 1 2 𝑚 v t 2 1 2 𝑘 𝑥 t 2 Como tanto 𝑥 𝑡 quanto v 𝑡 dependem do tipo de oscilador amortecido considerado de acordo com o sinal de 𝛽2 𝜔2 devemos analisar cada caso separadamente Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 66 Energia no Caso I Superamortecimento No caso superamortecido como vimos a solução é 𝑥 𝑡 𝑐1𝑒𝜆1𝑡 𝑐2𝑒𝜆2𝑡 sendo 𝜆1 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 e 𝜆2 𝛽 𝛽2 𝜔0 2 Daí derivando em relação ao tempo obtemos a velocidade v 𝑡 ሶ𝑥𝑡 𝑐1𝜆1𝑒𝜆1𝑡 𝑐2𝜆2𝑒𝜆2𝑡 Daí a energia mecânica do movimento é 𝐸 𝑡 1 2 𝑘 𝑐1𝑒𝜆1𝑡 𝑐2𝑒𝜆2𝑡 2 1 2 𝑚 𝑐1𝜆1𝑒𝜆1𝑡 𝑐2𝜆2𝑒𝜆2𝑡 2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 67 No exemplo abaixo 𝑚 1𝑘𝑔 𝑘 1𝑁𝑚 𝜔0 1𝑠1 𝛽 4 𝑐1 𝑐2 1𝑚 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 68 Energia no Caso II Amortecimento Crítico No caso superamortecido como vimos a solução é 𝑥 𝑡 𝑐1 𝑐2𝑡𝑒𝛽𝑡 Daí derivando em relação ao tempo obtemos a velocidade v 𝑡 ሶ𝑥𝑡 𝑐2 𝑐1𝛽 𝑐2𝛽𝑡 𝑒𝛽𝑡 Daí a energia mecânica do movimento é 𝐸 𝑡 1 2 𝑘 𝑐1 𝑐2𝑡 2𝑒2𝛽𝑡 1 2 𝑚 𝑐2 𝑐1𝛽 𝑐2𝛽𝑡 2𝑒2𝛽𝑡 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 69 No exemplo abaixo 𝑚 1𝑘𝑔 𝑘 001𝑁𝑚 𝜔0 𝛽 01𝑠1 𝑐1 1𝑚 e 𝑐2 5𝑚 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 70 Energia no Caso III Subamortecimento No caso superamortecido como vimos a solução é 𝑥 𝑡 𝐴𝑒𝛽𝑡 cos𝜔𝑡 𝜙 sendo 𝜔 𝜔0 2 𝛽2 e 𝜙 a constante de fase Daí derivando em relação ao tempo obtemos a velocidade v 𝑡 ሶ𝑥𝑡 𝐴𝑒𝛽𝑡 𝛽 cos𝜔𝑡 𝜙 𝜔 sen 𝜔𝑡 𝜙 Daí a energia mecânica do movimento é 𝐸 𝑡 1 2 𝑘𝐴2𝑒2𝛽𝑡 cos2𝜔𝑡 𝜙 1 2 𝑚𝐴2𝑒2𝛽𝑡 𝛽 cos 𝜔𝑡 𝜙 𝜔 sen 𝜔𝑡 𝜙 2 Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 71 No exemplo abaixo 𝑚 1𝑘𝑔 𝑘 1𝑁𝑚 𝜔0 1 𝛽 01𝑠1 𝜙 𝜋4 rad Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 72 Exercícios Prof Isaac Torres UFPA Faculdade de Física 2023 73