Análise Matricial de Estruturas Parte 2-2021 2

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 4. Análise Matricial de Estruturas – Parte 2 Exemplo 1: Utilizando o Método da Rigidez Direta determine o diagrama de momentos fletores da viga hiperestática abaixo com rigidez à flexão EI constante. Discretização: com 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0 Matrizes elementares de rigidez: 𝐾𝑒 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝐾𝑒1 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝐾𝑒2 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 −12 6𝐿 4𝐿2 −6𝐿 −12 −6𝐿 12 + 12 6𝐿 0 0 2𝐿2 0 0 −6𝐿 + 6𝐿 −12 6𝐿 6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 + 6𝐿 0 0 −12 0 0 6𝐿 4𝐿2 + 4𝐿2 −6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 12 −6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 4𝐿2 3 4 5 6 1 2 3 4 3 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 𝐾𝑒1 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝐾𝑒2 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 2 3 4 5 6 Matriz de Rigidez: 𝐾 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 −12 6𝐿 4𝐿2 −6𝐿 −12 −6𝐿 24 6𝐿 0 0 2𝐿2 0 0 0 −12 6𝐿 6𝐿 2𝐿2 0 0 0 −12 0 0 6𝐿 8𝐿2 −6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 12 −6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 4𝐿2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Vetor de Forças: −𝑃 −𝑃𝐿/4 −𝑃 − 𝑃/2 𝑃𝐿/4 − 𝑃𝐿/8 −𝑃/2 𝑃𝐿/8 2𝑃𝐿/8 2𝑃/2 2𝑃/2 2𝑃𝐿/8 𝑃/2 𝑃/2 𝑃𝐿/8 𝑃𝐿/8 0 0 0 −𝑃𝐿 0 0 0 0 𝑅𝐵 0 𝑅𝐶 𝑀𝐶 ∗ Vetor de Forças: 𝐹 = −𝑃 −𝑃𝐿/4 −𝑃 − 𝑃/2 𝑃𝐿/4 − 𝑃𝐿/8 −𝑃/2 𝑃𝐿/8 + 0 0 0 −𝑃𝐿 0 0 + 0 0 𝑅𝐵 0 𝑅𝐶 𝑀𝐶 ∗ = −𝑃 −𝑃𝐿/4 −3𝑃/2 + 𝑅𝐵 −7𝑃𝐿/8 −𝑃/2 + 𝑅𝐶 𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐶 ∗ Reordenação dos vetores e matrizes: 1 2 4 3 5 6 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0 𝐷 = 𝑑1 𝑑2 𝑑3 = 0 𝑑4 𝑑5 = 0 𝑑6 = 0 𝐷𝑜𝑟𝑑 = 𝑑1 𝑑2 𝑑4 𝑑3 = 0 𝑑5 = 0 𝑑6 = 0 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐾 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 −12 6𝐿 4𝐿2 −6𝐿 −12 −6𝐿 24 6𝐿 0 0 2𝐿2 0 0 0 −12 6𝐿 6𝐿 2𝐿2 0 0 0 −12 0 0 6𝐿 8𝐿2 −6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 12 −6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 4𝐿2 𝐾𝑜𝑟𝑑 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 2𝐿2 6𝐿 2𝐿2 8𝐿2 −12 0 0 −6𝐿 0 0 0 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 0 0 0 −6𝐿 0 0 2𝐿2 24 −12 6𝐿 −12 12 −6𝐿 6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 1 2 4 3 5 6 1 2 4 3 5 6 Reordenação dos vetores e matrizes: 𝐹 = −𝑃 −𝑃𝐿/4 −3𝑃/2 + 𝑅𝐵 −7𝑃𝐿/8 −𝑃/2 + 𝑅𝐶 𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐶 ∗ 1 2 4 3 5 6 𝐹𝑜𝑟𝑑 = −𝑃 −𝑃𝐿/4 −7𝑃𝐿/8 −3𝑃/2 + 𝑅𝐵 −𝑃/2 + 𝑅𝐶 𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐶 ∗ 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 2𝐿2 6𝐿 2𝐿2 8𝐿2 −12 0 0 −6𝐿 0 0 0 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 0 0 0 −6𝐿 0 0 2𝐿2 24 −12 6𝐿 −12 12 −6𝐿 6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝑑1 𝑑2 𝑑4 0 0 0 = −𝑃 −𝑃𝐿/4 −7𝑃𝐿/8 −3𝑃/2 + 𝑅𝐵 −𝑃/2 + 𝑅𝐶 𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐶 ∗ Sistema reordenado: Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 2𝐿2 6𝐿 2𝐿2 8𝐿2 𝑑1 𝑑2 𝑑4 = −𝑃 −𝑃𝐿/4 −7𝑃𝐿/8 𝑑1 = − 17𝑃𝐿3 96𝐸𝐼 ; 𝑑2 = 7𝑃𝐿2 32𝐸𝐼 ; 𝑑3 = − 𝑃𝐿2 32𝐸𝐼 Sistema reordenado: −3𝑃/2 + 𝑅𝐵 −𝑃/2 + 𝑅𝐶 𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐶 ∗ = 𝐸𝐼 𝐿3 −12 −6𝐿 0 0 0 −6𝐿 0 0 2𝐿2 −17𝑃𝐿3/(96𝐸𝐼) 7𝑃𝐿2/(32𝐸𝐼) −𝑃𝐿2/(32𝐸𝐼) 𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 𝑅𝐵 𝑅𝐶 𝑀𝐶 ∗ = 37𝑃/16 11𝑃/16 −3𝑃𝐿/16 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 2𝐿2 6𝐿 2𝐿2 8𝐿2 −12 0 0 −6𝐿 0 0 0 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 0 0 0 −6𝐿 0 0 2𝐿2 24 −12 6𝐿 −12 12 −6𝐿 6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝑑1 𝑑2 𝑑4 0 0 0 = −𝑃 −𝑃𝐿/4 −7𝑃𝐿/8 −3𝑃/2 + 𝑅𝐵 −𝑃/2 + 𝑅𝐶 𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐶 ∗ Kll Kpl Klp Kpp Dl Dp Fl Fp 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 −17𝑃𝐿3/(96𝐸𝐼) 7𝑃𝐿2/(32𝐸𝐼) 𝑑3 = 0 −𝑃𝐿2/(32𝐸𝐼) = −𝑃 + 𝑉𝐴 −𝑃𝐿/4 + 𝑀𝐴 −𝑃 + 𝑉𝐵 𝑃𝐿/4 + 𝑀𝐵 𝑉𝐴 𝑀𝐴 𝑉𝐵 𝑀𝐵 = 0 0 2𝑃 −𝑃𝐿 Esforços internos - elemento 1: 2𝑃𝐿/8 2𝑃/2 2𝑃/2 2𝑃𝐿/8 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝑑3 = 0 −𝑃𝐿2/(32𝐸𝐼) 𝑑5 = 0 𝑑6 = 0 = −𝑃/2 + 𝑉𝐵 −𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐵 −𝑃/2 + 𝑉𝐶 𝑃𝐿/8 + 𝑀𝐶 𝑉𝐵 𝑀𝐵 𝑉𝐶 𝑀𝐶 = 5𝑃/16 0 11𝑃/16 −3𝑃𝐿/16 Esforços internos - elemento 2: 𝑃/2 𝑃/2 𝑃𝐿/8 𝑃𝐿/8 Diagramas de esforços internos: 𝑉𝐴 𝑀𝐴 𝑉𝐵 𝑀𝐵 = 0 0 2𝑃 −𝑃𝐿 𝑉𝐵 𝑀𝐵 𝑉𝐶 𝑀𝐶 = 5𝑃/16 0 11𝑃/16 −3𝑃𝐿/16 M Q Exemplo 2: Utilizando o Método da Rigidez Direta obter os valores dos momentos fletores nos pontos A e B da viga hiperestática abaixo sabendo que a rotação do nó B é 5,291x10-4 rad no sentido anti-horário. Considere a rigidez à flexão EI = 4320 kN.m2. Discretização: com 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑3 = 𝑑5 = 0 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 Esforços internos - elemento 1: 𝐾𝑒 = 𝐸𝐼 𝐿3 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 𝐾𝑒1 = 4320 43 12 24 24 64 −12 24 −24 32 −12 −24 24 32 12 −24 −24 64 𝐾𝑒1 = 810 1620 1620 4320 −810 1620 −1620 2160 −810 −1620 1620 2160 810 −1620 −1620 4320 𝐹𝑒 = −6 + 𝑉𝐴 −4 + 𝑀𝐴 −6 + 𝑉𝐵 4 + 𝑀𝐵 Esforços internos - elemento 1: 6 6 4 4 𝐷𝑒 = 0 0 0 5,291 10−4 𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 810 1620 1620 4320 −810 1620 −1620 2160 −810 −1620 1620 2160 810 −1620 −1620 4320 0 0 0 5,291 10−4 = −6 + 𝑉𝐴 −4 + 𝑀𝐴 −6 + 𝑉𝐵 4 + 𝑀𝐵 2160 5,291 10−4 = −4 + 𝑀𝐴 4320 5,291 10−4 = 4 + 𝑀𝐵 1,143 = −4 + 𝑀𝐴 𝑀𝐴 = 5,143 𝑘𝑁. 𝑚 2,286 = 4 + 𝑀𝐵 𝑀𝐵 = −1,714 𝑘𝑁. 𝑚 Os momentos fletores estão com os sinais conforme a convenção de sinais do método da Rigidez Direta 𝑀𝐴 = 5,143 𝑘𝑁. 𝑚 𝑀𝐵 = −1,714 𝑘𝑁. 𝑚 𝑀𝐴 = − 5,143 𝑘𝑁. 𝑚 𝑀𝐵 = −1,714 𝑘𝑁. 𝑚